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[[Datei:Confidence intervall normal dist.svg|mini|Konfidenzintervalle zum Niveau 95 % für 100 Stichproben vom Umfang 30 aus einer [[Normalverteilung|normalverteilten]] Grundgesamtheit. Davon überdecken 94 Intervalle den exakten [[Erwartungswert]] μ = 5; die übrigen 6 tun das nicht.]]
Ein '''Konfidenzintervall''', kurz '''KI''', auch '''Vertrauensintervall''', '''Konfidenzbereich''', '''Vertrauensbereich''' oder '''Erwartungsbereich''' genannt, ist in der [[Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff|frequentistischen]] [[Statistik]] ein [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], das die [[Präzision (Statistik)|Präzision]] der [[Lagemaß (Stochastik)|Lageschätzung]] eines [[Parameter (Statistik)|Parameters]] (z. B. eines [[Mittelwert]]s) angeben soll. Das Konfidenzintervall gibt den Wertebereich an, der mit einer gewissen – typischerweise hohen – Wahrscheinlichkeit den Parameter der [[Häufigkeitsverteilung|Verteilung]] einer [[Zufallsvariable]]n überdeckt. Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das '''Konfidenzniveau''', auch '''Konfidenzkoeffizient''' genannt, festgelegt und entspricht der ''nominalen'' [[Überdeckungswahrscheinlichkeit]]. Ein häufig verwendetes Konfidenzniveau ist 95 %.

Die häufig anzutreffende Formulierung, dass der [[Wahrer Wert|wahre Wert]] mit 95 % Wahrscheinlichkeit im für die vorliegende [[Stichprobe]] berechneten Konfidenzintervall liegt, ist streng genommen nicht korrekt,<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/The_significance_test_controversy_and_the_bayesian_alternative Significance Test Controversy] (englisch)</ref><ref>''What is the Real Result in the Target Population?'' In: ''Statistics in Brief: Confidence Intervals''. {{PMC|2947664}} (englisch)</ref> da der wahre Wert keine Zufallsgröße, d. h. nicht ''[[Stochastik|stochastisch]]'' ist. Stochastisch sind vielmehr die obere und untere Grenze des Konfidenzintervalls. Folglich lautet die korrekte Formulierung: Bei der Berechnung eines Konfidenzintervalls mit einem bestimmten [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzverfahren]] überdeckt das Intervall den wahren Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit. Es handelt sich nicht um eine Eigenschaft des Intervalls, sondern des Verfahrens. Wird es für viele Stichproben aus derselben [[Grundgesamtheit]] wiederholt, so sollte es in ungefähr 95 % aller Fälle Konfidenzintervalle liefern, die den wahren Wert des betrachteten Parameters überdecken.

Das Schätzen von Parametern mit Hilfe von Konfidenzintervallen wird '''Intervallschätzung''' genannt, die entsprechende [[Schätzfunktion]] ein ''[[Bereichsschätzer|Bereichsschätzer oder Intervallschätzer]]''. Ein Vorteil gegenüber [[Punktschätzer]]n ist, dass man an einem Konfidenzintervall direkt die [[Statistische Signifikanz|Signifikanz]] ablesen kann: Ein für ein vorgegebenes Konfidenzniveau breites Intervall weist auf einen geringen [[Zufallsstichprobe|Stichprobenumfang]] oder auf eine starke [[Streuungsmaß (Statistik)|Variabilität]] in der Grundgesamtheit hin.

Konfidenzintervalle sind vom ähnlichen Bayesschen Konzept des [[Glaubwürdigkeitsintervall]]s abzugrenzen sowie vom [[Prognoseintervall]] und dem [[Toleranzintervall]] für einzelne mögliche Beobachtungswerte.

== Definition ==
Für ein fest vorgegebenes <math>\gamma \in (0,1)</math> ist ein ''<math>\gamma \cdot 100 \, \%</math>-Konfidenzintervall für <math>\vartheta</math> zum Konfidenzniveau <math>\gamma</math>'' (auch ''<math>\gamma</math>-Konfidenzintervall'') durch die beiden – auf einer [[Zufallsstichprobe]] <math>X_{1:n}</math> basierenden – [[Stichprobenfunktion|Statistiken]] <math>T_{u} = h_{u}(X_{1:n})</math> und <math>T_{v} = h_{v}(X_{1:n})</math> definiert, welche<ref>Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: [https://www.springer.com/de/book/9783642378867 ''Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes.''] Springer, Heidelberg u. a. 2014, ISBN 978-3-642-37886-7, S. 56.</ref>

:<math>P\left(T_{u} \leq \vartheta \leq T_{v}\right)=\gamma \quad \mathrm{f\ddot ur \;alle\;} \vartheta \in \Theta</math>

erfüllen. Die Statistiken <math>T_{u}</math> und <math>T_{v}</math> sind die ''Grenzen des Konfidenzintervalls'', für die stets <math>T_{u} < T_{v}</math> angenommen wird.

Die [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] <math>t_{u}</math> und <math>t_{v}</math> von <math>T_{u}</math> bzw. <math>T_{v}</math> bilden das ''Schätzintervall'' <math>[t_{u}, t_{v}]</math>.

Die Grenzen des Konfidenzintervalls sind Funktionen der Zufallsstichprobe <math>X_{1:n}</math> und daher ebenfalls zufällig. Im Gegensatz dazu ist der unbekannte Parameter <math>\vartheta</math> fest. Wenn man das [[Zufallsexperiment]] auf identische Art und Weise wiederholt, dann wird ein <math>\gamma \cdot 100 \, \%</math>-Konfidenzintervall den unbekannten Parameter <math>\vartheta</math> in <math>\gamma \cdot 100 \, \%</math> aller Fälle überdecken. Da der unbekannte Parameter <math>\vartheta</math> keine Zufallsvariable ist, kann man allerdings nicht sagen, dass <math>\vartheta</math> in einem realisierten <math>\gamma \cdot 100 \, \%</math>-Konfidenzintervall <math>[t_u, t_v]</math> mit Wahrscheinlichkeit <math>\gamma</math> liegt. Solch eine Interpretation ist dem [[Bayessche Statistik|bayesschen Pendant]] von Konfidenzintervall, den sogenannten [[Glaubwürdigkeitsintervall]]en vorbehalten.<ref>Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: [https://www.springer.com/de/book/9783642378867 ''Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes.''] Springer, Heidelberg u. a. 2014, ISBN 978-3-642-37886-7, S. 57.</ref> Oft setzt man <math>\gamma = 1- \alpha</math>. Die Wahrscheinlichkeit <math>1- \alpha</math> lässt sich als [[relative Häufigkeit]] interpretieren: Verwendet man für eine große Anzahl von Konfidenzschätzungen Intervalle, die jeweils das Niveau <math>1- \alpha</math> besitzen, so nähert sich die relative Häufigkeit, mit denen die konkreten Intervalle den Parameter überdecken, dem Wert <math>1- \alpha</math>.<ref>Karl Mosler und Friedrich Schmid: ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik.'' Springer-Verlag, 2011, S. 214.</ref>

== Formale Definition ==
=== Rahmenbedingungen ===
Gegeben sei ein [[statistisches Modell]] <math> (X, \mathcal A, (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta}) </math> sowie eine Funktion
:<math> g \colon \Theta \to \Gamma </math>,

die im parametrischen Fall auch [[Parameterfunktion (Statistik)|Parameterfunktion]] genannt wird. Die Menge <math> \Gamma </math> enthält die Werte, die Ergebnis einer Schätzung sein können. Meist ist <math> \Gamma \subset \R^n </math>.

=== Konfidenzbereich ===
Eine Abbildung
:<math> C \colon X \to \mathcal P(\Gamma) </math>

heißt ein Konfidenzbereich, Vertrauensbereich,<ref name="Georgii229" >{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=229|DOI=10.1515/9783110215274}} </ref> Bereichsschätzfunktion<ref name="Rüschendorf230" > {{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|Seiten=230-231|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}} </ref> oder ein Bereichsschätzer,<ref name="Georgii229" /> wenn sie die folgende Bedingung erfüllt:
* Für alle <math> \gamma \in \Gamma </math> ist die Menge <math> A(\gamma):= \{ x \in X \mid \gamma \in C(x) \} </math> in <math> \mathcal A </math> enthalten. (M)
Ein Konfidenzbereich ist also eine Abbildung, die jeder Beobachtung <math> x \in X </math> eine vorerst beliebige Teilmenge von <math> \Gamma </math> zuordnet (<math> \mathcal P (\Gamma) </math> ist hier die [[Potenzmenge]] der Menge <math> \Gamma </math>, also die Menge aller Teilmengen von <math> \Gamma </math>)

Die Bedingung (M) stellt sicher, dass allen Mengen <math> A(\gamma) </math> eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Dies wird zur Definition des Konfidenzniveaus benötigt.

=== Konfidenzintervall ===
Ist <math> \Gamma \subset \R </math> und ist <math> C(x) </math> für jedes <math> x \in X </math> immer ein Intervall, so heißt <math> C </math> auch ein Konfidenzintervall.<ref name="Georgii229" />

Werden Konfidenzintervalle in der Form
:<math> C_1(x)=(- \infty, b^+(x)] , \; C_2(x)=[ b^-(x), b^+(x)]\;\; \text{oder}\;\; C_3(x)=[b^-(x), + \infty) </math>,

definiert, so nennt man <math> b^+(x) </math> auch die obere Konfidenzschranke und <math> b^-(x) </math> die untere Konfidenzschranke.<ref name="Rüschendorf245" > {{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|Seiten=245|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}} </ref>

=== Konfidenzniveau und Irrtumsniveau ===
Gegeben sei ein Konfidenzbereich <math> C </math>. Dann heißt <math> C </math> ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau<ref name="Rüschendorf230" /> oder Sicherheitsniveau<ref name="Georgii229" /> <math> 1- \alpha </math>, wenn

:<math> P_\vartheta (\{x \in X \mid g(\vartheta) \in C(x)\}) \geq 1- \alpha \quad \mathrm{f\ddot ur \;alle\;} \vartheta \in \Theta </math>.

Der Wert <math> \alpha </math> wird dann auch das Irrtumsniveau<ref name="Georgii229" /> genannt. Eine allgemeinere Formulierung ist mit [[Formhypothesen]] möglich (siehe [[Formhypothesen#Konfidenzbereiche zu Formhypothesen]]).

Für die oben genannten Spezialfälle bei Konfidenzbereichen mit oberer und unterer Konfidenzschranke ergibt sich somit
:<math> P_\vartheta(g(\vartheta) \leq b^+(x)) \geq 1- \alpha </math>

bzw.
:<math> P_\vartheta(b^-(x) \leq g(\vartheta) \leq b^+(x)) \geq 1- \alpha </math>
und
:<math> P_\vartheta(b^-(x) \leq g(\vartheta) ) \geq 1- \alpha \quad \mathrm{f\ddot ur \;alle\;} \vartheta \in \Theta .</math>

== Konstruktion von Konfidenzintervallen ==
{{Siehe auch|Schätzung der Varianz einer Schätzfunktion}}

=== Konstruktion des Wald-Konfidenzintervalls ===
[[Wald-Konfidenzintervall]]e können mittels der sogenannten Wald-Statistik berechnet werden. Beispielsweise gilt für das asymptotische Wald-Konfidenzintervall, dass es mittels der [[Fisher-Information]], der negativen zweiten Ableitung der [[Log-Likelihood-Funktion]], konstruiert werden kann.<ref name = "Loglikelihood and Confidence Intervals">{{Internetquelle |url=http://personal.psu.edu/abs12//stat504/online/01b_loglike/01b_loglike_print.htm |titel=Supplement: Loglikelihood and Confidence Intervals |abruf=2021-07-14 |archiv-datum=2021-07-29 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20210729172345/http://personal.psu.edu/abs12//stat504/online/01b_loglike/01b_loglike_print.htm |offline=ja |archiv-bot=2026-01-14 21:10:22 InternetArchiveBot }}</ref> So umschließen die Intervallgrenzen des folgenden Konfidenzintervalls in 95 % der Fälle den [[Wahrer Wert|wahren]] Parameter <math>\theta</math> (asymptotisch für große Stichprobenumfänge)

:<math>\hat{\theta}_{ML} \pm 1{,}96 \frac{1}{\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ell(\hat{\theta}_{ML})}}</math>,

wobei <math>\ell(\cdot) = \log{\mathcal{L}}(\cdot)</math> die [[Log-Likelihood-Funktion]] und <math>-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ell(\hat{\theta}_{ML})</math> die beobachtete Fisher-Information darstellt (die Fisher-Information an der Stelle des ML-Schätzers <math>\hat{\theta}_{ML}</math>).

Der Ausdruck <math>\frac{1}{\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ell(\hat{\theta}_{ML})}} </math> wird auch als [[Standardfehler]] des [[Maximum-Likelihood-Schätzung|Maximum-Likelihood-Schätzers]] bezeichnet.<ref name="Loglikelihood and Confidence Intervals" /> Häufig wird statt der beobachteten Fisher-Information auch die erwartete Fisher-Information <math>\operatorname{E}\left(-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ell(\hat{\theta}_{ML})\right)</math> verwendet.<ref name="Loglikelihood and Confidence Intervals" />

==== Beispiel ====
Wird die Likelihood zum Beispiel mithilfe einer angenommenen [[Normalverteilung]] und einer Stichprobe (deren Variablen [[unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen]] sind) mit Größe <math>N</math> berechnet, so ist <math>-\frac{\partial^2}{\partial\mu^2} \ell(\hat{\mu}, \hat{\sigma}) = -\left( \frac{\partial^2}{\partial\mu^2} \sum_{i=1}^N \frac{ -(x_i -\mu)^2}{2\sigma^2} \right)_{(\mu =\hat{\mu}, \sigma =\hat{\sigma})}=\sum_{i=1}^N \frac{1}{\hat{\sigma}^2}=\frac{N}{\hat{\sigma}^2}</math> und somit
:<math>\frac{1}{\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ell(\hat{\theta}_{ML})}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{N}{\hat{\sigma}^2}}}=\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{N}},</math> also der bekannte [[Standardfehler]] des Mittelwertes.

=== Konstruktion anderer Konfidenzintervalle ===
Konfidenzintervalle lassen sich auch mithilfe von alternativen Parametrisierungen der Log-Likelihood-Funktion finden: zum Beispiel kann die [[Logit]]-Transformation oder der Logarithmus verwendet werden. Dies ist vorteilhaft, wenn die Log-Likelihood-Funktion sehr schief ist. Auch mithilfe des [[Likelihood-Quotienten-Test|Likelihood-Quotienten]] können Konfidenzintervalle konstruiert werden.<ref name="Loglikelihood and Confidence Intervals" />

Eine [[nichtparametrische Statistik|nichtparametrische]] Art Konfidenzintervalle zu schätzen sind [[Bootstrap-Konfidenzintervall]]e, bei denen man keine Verteilung annehmen muss, sondern [[Bootstrapping (Statistik)|Bootstrapping]] benutzt.

== Beschreibung des Verfahrens ==
Man interessiert sich für den unbekannten Parameter <math>\vartheta</math> einer Grundgesamtheit. Dieser wird durch eine [[Schätzfunktion]] aus einer Stichprobe vom Umfang <math>n</math> geschätzt. Es wird davon ausgegangen, dass die Stichprobe eine [[einfache Zufallsstichprobe]] ist, in etwa die Grundgesamtheit widerspiegelt und dass deshalb die Schätzung in der Nähe des wahren Parameters liegen müsste. Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable mit einer Verteilung, die den Parameter <math>\vartheta</math> enthält.

Man kann zunächst mit Hilfe der Verteilung ein Intervall angeben, das den unbekannten wahren Parameter <math>\vartheta</math> mit einer Wahrscheinlichkeit <math>\gamma = 1-\alpha</math> überdeckt. Ermitteln wir z. B. das 95-%-Konfidenzintervall für den wahren Erwartungswert <math>\mu</math> einer Grundgesamtheit, dann bedeutet dies, dass wir ein Konfidenzintervall ermitteln, das bei durchschnittlich 95 von 100 gleich großen Zufallsstichproben den Erwartungswert enthält.

== Beispiel ==
Das Verfahren kann anhand eines normalverteilten Merkmals mit dem ''unbekannten'' [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und der ''bekannten'' [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math> demonstriert werden: Es soll der Erwartungswert <math>\mu</math> dieser Normalverteilung geschätzt werden. Verwendet wird die [[erwartungstreue]] Schätzfunktion: der [[Stichprobenmittel]]wert <math> \overline X </math>.
[[Datei:normal.png|mini|hochkant=1.7|[[Zentrales Schwankungsintervall]] von <math>\overline{X}</math>]]

Der Erwartungswert der Grundgesamtheit wird anhand unserer Stichprobe geschätzt

: Schätzfunktion: <math>\overline X =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math>

: Punktschätzung: <math>\hat \mu =\overline x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\,,</math>

wobei die Zufallsvariable <math>X_i</math> <math>(i=1,\dotsc,n)</math> für die i-te Beobachtung (vor der Ziehung der Stichprobe) steht. Der Stichprobenmittelwert besitzt als [[Stichprobenverteilung]] eine Normalverteilung mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>\operatorname{Var}(\overline{X}) =\frac{\sigma^2}{n}</math> (siehe [[Stichprobenmittel#Eigenschaften]])

: <math>\overline X \sim \mathcal{N} \left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)\,</math>.

Die Grenzen des [[Zentrales Schwankungsintervall|zentralen Schwankungsintervalls]]

: <math>[\overline x_u; \overline x_o]</math>,

das <math>\mu</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>1-\alpha</math> überdeckt, bestimmen sich aus der Beziehung

: <math>P(\overline x_u \le \overline X \le \overline x_o )=1-\alpha</math>.

Man [[Zufallsvariable#Standardisierung|standardisiert]] zur [[Standardnormalverteilung]] <math>\mathcal{N}(0,1)</math> und erhält für die standardisierte Zufallsvariable

: <math>Z = \frac {\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
</math>

die Wahrscheinlichkeit

: <math>P \left( {-z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \le \frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_\left( 1-\tfrac{\alpha}{2} \right)} \right) =1-\alpha</math>,

wobei <math>\textstyle z_\left( 1-\frac {\alpha}{2} \right)</math> das <math>(1-\tfrac{\alpha}{2})</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] der Standardnormalverteilung ist. Löst man nach dem unbekannten Parameter <math>\mu</math> auf, so ergibt sich aus

: <math>P \left( { \overline X-z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right)\frac {\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline X+z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {\sigma}{\sqrt{n}}} \right) =1- \alpha
</math>

das <math>(1-\alpha)</math>-Konfidenzintervall für <math>\mu</math>
[[Datei:Konfidenz.png|mini|hochkant=1.37775|Mögliche Lage des unbekannten Parameter <math>\mu</math> im Schätzintervall um das beobachtete <math>\overline x</math>.]]

: <math>KI_{1-\alpha}(\mu) = \left[ { \overline X-z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {\sigma}{\sqrt{n}} ; \ \overline X+z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {\sigma}{\sqrt{n}}} \right].</math>

Das Schätzintervall, die Realisierung eines Konfidenzintervalles anhand einer konkreten Stichprobe, ergibt sich dann als

: <math>\left[ { \overline x-z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {\sigma}{\sqrt{n}} ; \ \overline x+z_\left( 1-\tfrac {\alpha}{2} \right) \frac {\sigma}{\sqrt{n}}} \right].</math>

Die Grenzen des Schätzintervalles hängen jedoch von <math>\overline x</math> ab und ändern sich damit von Stichprobe zu Stichprobe. Ist die Stichprobe aber extrem ausgefallen, überdeckt das Intervall den Parameter nicht. Dies ist in α × 100 % aller Stichproben der Fall, d. h., das durch <math>\overline x</math> bestimmte Intervall überdeckt den wahren Parameter <math>\mu</math> also mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>1-\alpha</math>.

Von besonderem Interesse ist die Breite des Konfidenzintervalls. Diese bestimmt sich durch die [[Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichung]] der Schätzfunktion und das gewählte Konfidenzniveau. Durch Erhöhung des Stichprobenumfangs kann die Breite verringert werden. Erwünscht ist in der Regel ein möglichst schmales Konfidenzintervall, denn dies weist bei konstantem Konfidenzniveau auf eine genaue Schätzung hin.

Als absoluter Fehler{{Anker|Absoluter Fehler}} <math>e</math> wird die halbe Breite des Konfidenzintervalls bezeichnet.
Im obigen Fall gilt also
: <math>e=z_{\left( 1-\frac{\alpha}2\right)} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,.</math>
Der absolute Fehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung (Breite des Konfidenzintervalls: <math>2e</math>).

Der absolute Fehler ist von Bedeutung, wenn bei einem gegebenen Konfidenzintervall und einer gegebenen Konfidenzintervalllänge der benötigte [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ermittelt werden soll. Die Frage lautet also: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (z. B. arithmetisches Mittel) mit vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?

Enthält die zugrundeliegende Stichprobe korrelierte Daten, so ist dies in der Schätzung der Standardabweichung <math>\sigma</math> zu berücksichtigen. Wird dies nicht berücksichtigt, so stößt man auf das Problem der [[Pseudoreplikation]].
[[Datei:Pseudoreplication correlation.webp|mini|Pseudoreplikation wegen korrelierter Daten: ohne Berücksichtigung der Korrelation ist das 90 % Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwertes zu klein. [[Blocking (Statistik)|Blocking]] kann für eine bessere Schätzung von <math>\sigma</math> verwendet werden.]]

== Ausgewählte Schätzintervalle ==
=== Übersicht für stetige Verteilungen ===
Eine Übersicht über alle Fälle bei normalverteilten Merkmalen findet sich unter ''[[Normalverteilungsmodell]]''.

{| class="wikitable"
| '''Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit bekannter Varianz <math>\sigma^2</math>:'''<br />
<math>\textstyle z_{(1-\tfrac{\alpha}{2})}</math> ist das <math>(1-\alpha/2)</math>-Quantil der Standardnormalverteilung.
| <math>\left[ { \overline x-z_{(1-\tfrac{\alpha}{2})}\frac {\sigma}{\sqrt{n}} \ ; \ \overline x+z_{(1-\tfrac{\alpha}{2})}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \right]</math>
|-
| '''Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit unbekannter Varianz:'''<br /> Die Varianz der Grundgesamtheit wird durch die [[korrigierte Stichprobenvarianz]]
: <math>s^2= \tfrac {1}{n-1}\sum (x_i-\overline x)^2</math>
geschätzt.

<math>\textstyle t_{(1-\tfrac{\alpha}{2};n-1)}</math> ist das <math>(1-\alpha/2)</math>-Quantil der [[t-Verteilung]] mit <math>(n-1)</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]].

Für <math>n > 30</math> kann das Quantil der t-Verteilung näherungsweise durch das entsprechende Quantil der Standardnormalverteilung ersetzt werden.
| <math>\left[{\overline x-t_{(1-\tfrac{\alpha}{2};n-1)}\frac{s}{\sqrt{n}}\ ;\ \overline x+t_{(1-\tfrac{\alpha}{2}; n-1)} \frac{s}{\sqrt{n}}} \right]
</math>
|-
| '''Erwartungswert eines unbekannt verteilten Merkmals mit unbekannter Varianz:'''<br /> Falls <math>n</math> genügend groß ist, kann aufgrund des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] das Konfidenzintervall bestimmt werden.
| <math>\left[ { \overline x-z_{(1-\tfrac {\alpha}{2})}\frac{s}{\sqrt{n}}\ ;\ \overline x+z_{(1-\tfrac{\alpha}{2})}\frac{s}{\sqrt{n}}} \right]
</math>
|-
| '''Standardabweichung eines normalverteilten Merkmals:'''
<math>\mathcal \chi^2_{(p;k)}</math> ist das p-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>k</math> Freiheitsgraden.
| <math> \left[ \ s\sqrt{\frac {n-1}{ \chi^2_{(1-\tfrac {\alpha}{2}; n-1)}}} ; s\sqrt{\frac {n-1}{\chi^2_{(\tfrac {\alpha}{2}; n-1)}}}\ \right]</math>
|}

=== Diskrete Verteilungen ===
Konfidenzintervalle für den Parameter ''p'' der [[Binomialverteilung]] sind beschrieben in dem

{{Hauptartikel|Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung}}

Das sogenannte ''Clopper-Pearson-Konfidenzintervall'' kann mit Hilfe der [[Beta-Verteilung|Beta-]] oder [[F-Verteilung|''F''-Verteilung]] bestimmt werden. Dieses Konfidenzintervall wird auch ''exakt'' genannt, da das geforderte Konfidenzniveau tatsächlich eingehalten wird. Bei Näherungsmethoden, die (meistens) auf der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung basieren, wird das Konfidenzniveau oft nicht eingehalten.

Ist die Zahl der Elemente in der Grundgesamtheit bekannt, kann für den Parameter (mit Hilfe eines Korrekturfaktors) auch ein Konfidenzintervall für ein Urnenmodell ''ohne'' Zurücklegen angegeben werden.<ref>Siehe zum Beispiel Kap. IV, Abschnitte 3.1.1 und 3.2 bei Hartung. Hier werden die Wilson- und Clopper-Pearson-Intervalle, sowie der Korrekturfaktor für die hypergeometrische Verteilung besprochen.</ref>

== Konfidenzintervalle und Hypothesentests ==
{{Hauptartikel|Dualität von Tests und Konfidenzbereichen}}
Die Begriffe Konfidenzbereich und [[Hypothesentest|statistischer Test]] sind dual zueinander, unter allgemeinen Bedingungen können aus einem Konfidenzbereich für einen Parameter statistische Tests für entsprechende Punkthypothesen gewonnen werden und umgekehrt:

Testet man von einem Parameter <math>\vartheta</math> die [[Nullhypothese]]: <math> \vartheta=\vartheta_0</math>, dann wird die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau <math>\alpha</math> nicht abgelehnt, wenn das entsprechende <math>(1-\alpha)</math>-Konfidenzintervall, berechnet mit den gleichen Daten, den Wert <math>\vartheta_0</math> enthält. Daher ersetzen Konfidenzintervalle gelegentlich auch Hypothesentests.

[[Datei:Normal.png|mini|Die Ablehnung der Nullhypothese <math>\mu=\overline{X}</math> würde genau dann erfolgen, wenn <math>\mu</math> außerhalb des Konfidenzintervalls von <math>\overline{X}</math> liegen würde. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit eine mindestens so große Differenz <math>|\mu-\overline{X}|</math> zu beobachten (der [[p-Wert]]) klein. Analog lässt sich feststellen, falls ein Test eine niedrige [[Trennschärfe]] hat, bzw. das entsprechende Konfidenzintervall größer als nötig (beim gewählten Signifikanz-Niveau) ist, so sind beide nicht [[Effizienz (Statistik)|effizient]].]]

Beispielsweise testet man in der [[Regressionsanalyse]], ob im [[multiple lineare Regression|multiplen linearen Regressionsmodell]] mit der geschätzten Regressionshyperebene

: <math> \hat{y} = b_0 + b_1 \, x_1 + b_2 \, x_2 + \ldots+ b_k \,x_k</math>

die wahren [[Regressionskoeffizient]]en <math> \beta_j \ (j = 1,\ldots, k)</math> gleich Null sind (siehe [[Globaler F-Test|Globaler ''F''-Test]]). Wenn die Hypothese nicht abgelehnt wird, sind die entsprechenden Regressoren <math>x_j \ (j = 1,\ldots, k)</math> vermutlich für die Erklärung der abhängigen Variablen <math>y</math> unerheblich. Eine entsprechende Information liefert das Konfidenzintervall für einen Regressionskoeffizienten: Überdeckt das Konfidenzintervall die Null <math>\left( 0 \in KI_{1-\alpha}(\beta_j) \right)</math>, so ist bei einem Signifikanzniveau <math>\alpha</math> der Regressionskoeffizient statistisch nicht verschieden von <math>0</math>.

Die Begriffe der [[Unverfälschter Test|Unverfälschtheit]] und des [[gleichmäßig bester Test|gleichmäßig besten Tests]] lassen sich hierüber auf Konfidenzbereiche übertragen.

== Beispiele für ein Konfidenzintervall ==
'''Beispiel 1'''

Ein Unternehmen möchte ein neues Spülmittel einführen. Um die Käuferakzeptanz auszuloten, wird das Spülmittel in einem Test-Supermarkt platziert. Mit dieser Aktion soll der durchschnittliche tägliche Absatz in einem Supermarkt dieser Größe geschätzt werden. Man definiert nun den täglichen Absatz als Zufallsvariable <math>X</math> [Stück] mit den unbekannten Parametern Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math>. Man geht auf Grund langjähriger Beobachtungen hier davon aus, dass <math>X</math> annähernd normalverteilt ist. Die Marktforschungsabteilung hat ein Konfidenzniveau von 0,95 (95 %) als ausreichend erachtet. Dann wird 16 Tage lang der tägliche Absatz erfasst. Es ergibt sich

{| class="wikitable"
|-
! style="text-align:right;" | Tag
| 1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16
|-
! style="text-align:right;" | Absatz <math>x</math>
| 110||112||106||90||96||118||108||114||107||90||85||84||113||105||90||104
|}

Bei normalverteilter Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz wird das Konfidenzintervall für den Erwartungswert angegeben als

:<math>\left[ { \overline x-t_\left( 1-\frac {\alpha}{2}; n-1 \right) \frac {s}{\sqrt{n}} \ ; \ \overline x+t_ \left( 1-\frac {\alpha}{2} ; n-1 \right) \frac {s}{\sqrt{n}}} \right]
</math>

Es ist das Mittel der Stichprobe

: <math>\overline x = \frac{1}{16} \cdot (110 + 112 + \dotsb+ 104)=\frac{1}{16} \cdot 1632 = 102</math>

und die Varianz der Stichprobe

: <math>
\begin{align}
s^2 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2\\
&= \frac{1}{15} \left((110-102)^2+(112-102)^2+ \dotsb+ (104-102)^2 \right)\\
&= \frac{1}{15} \cdot 1856 = 123{,}73
\end{align}
</math>

Es ist das <math>(1-\alpha/2)</math>-Quantil der [[Studentsche t-Verteilung|t-Verteilung]] mit 15 Freiheitsgraden

: <math>t_\left( 1-\frac {\alpha}{2} ; n-1 \right) = t_\left( 0{,}975; 15 \right) = 2{,}131</math>

Der Wert für ''t'' ist nicht trivial zu errechnen und muss daher aus einer Tabelle abgelesen werden.

Das 95-%-Konfidenzintervall berechnet sich dann als

: <math>\left[ { 102 - 2{,}131 \frac {\sqrt{123{,}73}} {\sqrt{16}} ; 102 + 2{,}131 \frac {\sqrt{123{,}73}} {\sqrt{16}} } \right] = [102 -5{,}93; 102 + 5{,}93] = [96{,}07; 107{,}93]
</math>

Im Mittel enthalten 95 % der so geschätzten Intervalle den wahren Mittelwert <math>\mu</math>, also den durchschnittlichen Tagesabsatz an Spülmittelflaschen in vergleichbaren Supermärkten. Für dieses konkrete Intervall trifft die Aussage, dass es mit 95 % Wahrscheinlichkeit den wahren Mittelwert enthält, jedoch ''nicht'' zu. Man weiß lediglich, dass dieses Intervall aus einer Menge (von Intervallen) stammt, von denen 95 % den wahren Mittelwert enthalten.

'''Beispiel 2'''

Ein Unternehmen lieferte ein [[Los (Produktion)|Los]] (eine Charge) von 6000 Stück (z. B. Schrauben) an den Kunden. Dieser führt mittels Stichprobennahme gemäß der internationalen Norm ISO 2859-1<ref>Annahmestichprobenprüfung anhand der Anzahl fehlerhaften Einheiten oder Fehler [Attributprüfung] – Teil 1: Nach der annehmbaren Qualitätsgrenzlage [[Prüflos#AQL|AQL]] geordnete Stichprobenpläne für die Prüfung einer Serie von Losen.</ref> eine Eingangsprüfung durch. Dabei werden z. B. 200 Schrauben (je nach gewähltem AQL) zufällig über das gesamte Los gezogen und auf Übereinstimmung mit den vereinbarten Anforderungen (Qualitätsmerkmalen) geprüft. Von den 200 geprüften Schrauben erfüllen 10 Stück die gestellten Anforderungen nicht. Mittels der [[Konfidenzintervall einer unbekannten Wahrscheinlichkeit|Berechnung des Konfidenzintervalls (Excel-Funktion BETAINV)]] kann der Kunde abschätzen, wie groß der zu erwartende Anteil fehlerhafter Schrauben im ganzen Los ist: bei einem Konfidenzniveau von 95 % berechnet man das Clopper-Pearson-Konfidenzintervall [2,4 %, 9 %] für den Anteil fehlerhafter Schrauben im Los (Parameter: ''n=200, k=10'').

== Literatur ==
* [[Ulrich Krengel]]: ''Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.'' 8. Auflage. Vieweg, 2005.
* [[Joachim Hartung]]: ''Statistik.'' 14. Auflage. Oldenbourg, 2005.

== Weblinks ==
* [https://www.omnicalculator.com/de/statistik/konfidenzintervall Online-Rechner]
* [http://www.matheprisma.de/Module/Hypoth/index.htm Konfidenzintervalle und Hypothesentests]
* [https://www.uni-siegen.de/phil/sozialwissenschaften/soziologie/mitarbeiter/ludwig-mayerhofer/statistik/statistik_downloads/konfidenzintervalle.pdf Konfidenzintervalle so einfach wie möglich erklärt] (PDF; 109 kB)
* [https://rpsychologist.com/d3/CI/ Interaktive Veranschaulichung]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Schätztheorie]]
[[Kategorie:Statistisches Intervall]]

Konfidenzintervall - Versionsgeschichte

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