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2024-04-20T20:50:08Z

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Das '''Kondo-Modell''' – auch s-d-Modell genannt – ist ein [[mathematisches Modell]] zur Beschreibung des [[Elektrischer Widerstand|elektrischen Widerstandes]] in [[Metalle]]n mit magnetischen Störstellen – dem sogenannten [[Kondo-Effekt]] (das anomale Ansteigen des Widerstandes bei sehr tiefen Temperaturen).

In diesem vereinfachten Modell werden die stromerzeugenden Elektronen als freie [[Elektron]]en im [[Leitungsband]] (s-Band) modelliert. Die magnetischen Störstellen am Platz ''i'' im Kristallgitter werden als lokalisierte [[Spin]]s angenommen, welche über eine (anti-)magnetische Spin-Spin-Wechselwirkung an die Leitungsbandelektronen gekoppelt sind. Die Modellierung der magnetischen Störstellen als lokalisierte Spins beruht auf der Annahme, dass die Elektronen in den d-Orbitale der magnetischen Störstellen stark lokalisiert sind. Diese s-d-Wechselwirkung wurde zuerst 1951 von [[Clarence Melvin Zener]] beschrieben.<ref>{{Literatur|Autor=C. Zener|Titel=Interaction Between the $d$ Shells in the Transition Metals|Sammelwerk=Phys. Rev.|Band=81|Jahr=1951|Seiten=440–444|DOI=10.1103/PhysRev.81.440}}</ref> Kasuya quantifizierte dieses Modell 1956 und stellte den zugehörigen Hamiltonian auf.<ref>{{Literatur|Autor=T. Kasuya|Titel=A Theory of Metallic Ferro- and Antiferromagnetism on Zener’s Model|Sammelwerk=Progress of Theoretical Physics|Band=16|Jahr=1956|Seiten=45–57|DOI=10.1143/PTP.16.45}}</ref> 1964 behandelte [[Jun Kondo]]<ref>{{Literatur|Autor=J. Kondo|Titel=Resistance minimum in dilute magnetic alloys|Sammelwerk=Progress of Theoretical Physics|Band=32|Jahr=1964|Seiten=37–49|DOI=10.1143/PTP.32.37}}</ref> dieses Modell mittels Störungstheorie 3. Ordnung und berechnete damit den elektrischen Widerstand. Das berechnete Verhalten des elektrischen Widerstandes zeigte qualitativ den experimentell gefundenen Kondo-Effekt.

== Mathematische Beschreibung ==
Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden [[Hamiltonoperator|Hamiltonian]] beschrieben werden:
: <math>
\begin{align}
H_{\text{Kondo}}&=H_0+H_J\\
H_0&=\sum_{\vec{k},\sigma}\epsilon(\vec{k}) c^\dagger_{\vec{k},\sigma}c_{\vec{k},\sigma}\\
H_J&=-\frac{J}{N}\sum_{n\vec{k}\vec{k}'}\exp(i(\vec{k}-\vec{k}')\vec{R}_n)\vec{s}_\vec{k}\vec{S}_n
\end{align}
</math>
Hierbei beschreibt <math>H_0</math> die Leitungsbandelektronen im s-Band mit [[Dispersion (Physik)|Dispersions]]-Relation <math>\epsilon(\vec{k})</math>.
<math>H_J</math> beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins <math>\vec{S}_n</math> am Platz <math>\vec{R}_n</math> mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins <math>\vec{s}_\vec{k}</math> der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von <math>J</math> ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

== Ergebnisse der Störungstheorie ==
Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.
:<math>
\begin{align}
\rho_\text{Kondo}(T) \propto J/\epsilon_f \log T
\end{align}
</math>
Hierbei ist <math>\epsilon_f</math> die [[Fermi-Energie]].
Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für <math>T=0</math>, was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4264343-0}}

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Kondo-Modell - Versionsgeschichte

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