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2024-11-23T12:17:17Z

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Die '''Konchoide''' (die „Muschelähnliche“, über {{laS|concha}} von {{grcS|κόγχη|konche}} bzw. {{lang|grc|κόγχος|konchos}} „Muschel“) ist eine spezielle ebene Kurve. Sie beschreibt die Bewegung eines Punktes, der – von einem festen Punkt (''Pol'') aus gesehen – zu einer gegebenen Kurve konstanten Abstand einhält.<ref name="duden">''Konchoide'' In: ''Schülerduden – Mathematik II''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 211–212</ref><ref name="Walz">Guido Walz (Hrsg.): ''Lexikon der Mathematik – Band 3''. Springer/Spektrum, 2. Auflage 2017, S. 159–160 ([https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/konchoide-des-nikomedes/5406 Digitalisat])</ref>

== Eigentliche Konchoide ==
Sie war schon im [[Antike|antiken]] Griechenland bekannt und wird nach [[Nikomedes (Mathematiker)|Nikomedes]] als ''Konchoide von Nikomedes'' bezeichnet.<ref name="Walz"/> Ein anderer Name ist ''Muschelkurve''.<ref name="duden"/> Der Name leitet sich daher ab, dass der [[Funktionsgraph|Graph]] den zwei Schalen einer Muschel ähnelt.

[[Datei:Konchoiden.svg|mini|zentriert|hochkant=2.5|<div class="center">Drei Typen der Konchoide des Nikomedes<ref name="dh">[[Dörte Haftendorn]]: ''Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen''. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-14749-5, S. 38–50
</ref></div>]]

* [[Kartesisches Koordinatensystem|Kartesische Koordinaten]]: <math>(x-a)^2 (x^2 + y^2) -b^2 x^2 \, = \, 0</math>.<ref name="Walz"/>
* [[Polarkoordinaten]]: <math>r = \frac{a}{\cos\varphi} \pm b</math>.<ref name="Walz"/>
* [[Parameterdarstellung]]: <math>x(\varphi) = a + b \cos\varphi; \qquad y(\varphi) = a \tan\varphi + b \sin\varphi</math>.<ref name="Walz"/>

=== Eigenschaften ===
[[Datei:Konchoide nikomedes.svg|mini|hochkant=0.8|Konstruktion der Konchoide, konstanter Abstand b]]

Die Punkte der Konchoide des Nikomedes sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Gegeben seien eine Gerade g („Leitgerade“), ein Punkt A, der von g den Abstand <math>a</math> hat (mit <math>a > 0</math>), und eine reelle Zahl <math>b</math> (mit <math>b > 0</math>). Dann liegen für einen beliebigen Punkt B der Geraden g die beiden Punkte P und P', die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung <math>b</math> haben, auf der Konchoide.<ref name="Walz"/>

Die Fälle <math>b \le a</math> sind ein Typ der Kurven, die mit dem Trivialnamen ''[[Hundekurve]]'' bezeichnet werden, insbesondere für <math>b = a</math> ähnelt der eine Ast der ''[[Traktrix|eigentlichen Traktrix]]''.

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die [[Koordinatensystem|Koordinatenachsen]] so liegen wie in der Skizze, also der Pol im [[Koordinatenursprung|Ursprung]] liegt.

Die Konchoide des Nikomedes ist [[Symmetrie (Geometrie)|achsensymmetrisch]] bezüglich der x-Achse. Im Allgemeinen liegen drei Kurvenpunkte auf der Symmetrieachse, nämlich <math>(a+b|0)</math>, <math>(a-b|0)</math> und der Ursprung.
* Für <math>b < a</math> ist der Ursprung ein [[isolierter Punkt]].
* Für <math>b \ge a</math> fallen zwei der drei Punkte im Ursprung zusammen, für <math>b > a</math> ist der Ursprung ein ''[[Doppelpunkt (Mathematik)|Doppelpunkt]]'' der Kurve, wird also zweimal durchlaufen, der Graph hat eine Schleife.
** Die beiden [[Tangente]]n im Ursprung haben die Gleichungen<br /><math>y = \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a} x</math> und <math>y = - \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a} x</math>.
** Für <math>b = a</math> fallen beide Tangenten mit der x-Achse zusammen. Der Ursprung ist also eine ''eigentliche Spitze''

== Gewöhnliche Konchoide ==
Der Begriff der Konchoide lässt sich verallgemeinern:

Gegeben seien eine Kurve k (''Leitkurve''), ein Punkt A (''Pol'') und eine positive reelle Zahl b. Zu jedem beliebigen Punkt B, der auf der Kurve k liegt, betrachtet man nun die beiden Punkte, die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b haben. Die Menge aller dieser Punkte bezeichnet man als die ''Konchoide der Leitkurve''.<ref name="dh"/>

Die einfachste Darstellung benutzt Polarkoordinaten: Liegt A im Ursprung, und sei <math>r=f(\varphi)</math>, dann lautet die Gleichung der gewöhnlichen Konchoide:<ref name="dh"/>
:<math>r=f(\varphi)\pm b</math>

=== Eigenschaften ===
Alle gewöhnlichen Konchoiden sind [[Zissoide]]n, wobei die eine Kurve ein Kreis im Ursprung ist.

Eine [[Pascalsche Schnecke]] ist eine Konchoide, wobei die gegebene Kurve ein Kreis ist.<ref name="dh"/>

== Allgemeine Konchoide ==
Erweitert man die Bildungsregel, indem man den Abstand b nicht entlang der Geraden AB aufträgt, sondern entlang einer Geraden, die im Punkt B einen konstanten Winkel <math>\alpha</math> zu AB hat, erhält man die ''allgemeine Konchoide''. Im Falle <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha= \pi</math> ergibt sich die gewöhnliche Konchoide, anderenfalls spricht man von einer ''schiefen Konchoide''.

== Konchoidenverzahnung in der Getriebetechnik ==
In der [[Getriebe]]technik ist die sogenannte [[Konchoidenverzahnung]] eine von mehreren Techniken zur [[Verzahnung]] von [[Zahnrad|Zahnrädern]] und [[Zahnstange]]n.

== Anmerkungen ==
* Die sogenannte [[Konchoide von de Sluze]] ist tatsächlich eine spezielle [[Zissoide]].
* Die sogenannte [[Konchoide von Dürer]] ist eine allgemeinere Konstruktion.

== Literatur ==
* [[Dörte Haftendorn]]: ''Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen''. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-14749-5, S. 38–50
* [[Gino Loria]]: [https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABR0252 ''Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven''], deutsch von F. Schütte, Leipzig: B.G. Teubner, 1902.
* [[Heinrich Wieleitner]]: ''Spezielle ebene Kurven''. G. J. Göschen, Leipzig 1908 ([https://archive.org/details/spezielleebeneku00wielrich Digitalisat] im [[Internet Archive]])

== Weblinks ==
{{commonscat|Conchoid}}
* {{Webarchiv | url=http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/konchoid.htm | wayback=20070703095815 | text=Johanneum Lüneburg ''Hundekurve oder Konchoide des Nikomedes''}}
* {{MathWorld |id=ConchoidofNicomedes |title=Conchoid of Nicomedes}}
* [https://mathcurve.com/courbes2d.gb/conchoiddenicomede/conchoiddenicomede.shtml conchoid] auf mathcurves.com
* Hans Walser: [https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Konchoide/Konchoide.htm Konchoide]
* [https://www.geogebra.org/m/mwgwsede Konchoide mit Kegelschnitten] – interaktive Illustration

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

Konchoide - Versionsgeschichte

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