imported>Blutgretchen: /* Wasser */ Konkretisierung nachdem ich den Edit von heute Nachmittag rückgängig gemacht habe. Es geht hier um den Kompressionsmodul bei erhöhten Drücken (der nimmt bei Wasser gegenüber dem Wert bei Normaldruck zu)

2026-02-03T17:23:12Z

Wasser: Konkretisierung nachdem ich den Edit von heute Nachmittag rückgängig gemacht habe. Es geht hier um den Kompressionsmodul bei erhöhten Drücken (der nimmt bei Wasser gegenüber dem Wert bei Normaldruck zu)

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[[Datei:Isostatic pressure deformation.svg|300px|mini|Verformung unter gleichmäßigem Druck]]
Der '''Kompressionsmodul''' ([[Formelzeichen]] ''K'') ist eine [[Intensive Größe|intensive]] und [[Stoffeigene Größe|stoffeigene]] [[physikalische Größe]] aus der [[Elastizität (Mechanik)|Elastizitäts]]<nowiki/>lehre. Er beschreibt, welche allseitige [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki/>änderung nötig ist, um eine bestimmte [[Volumen]]<nowiki/>änderung hervorzurufen (dabei darf ''kein'' [[Phasenübergang]] auftreten).

Die [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]] des Kompressionsmoduls ist [[Pascal (Einheit)|Pascal]] bzw. [[Newton (Einheit)|Newton]] pro [[Quadratmeter]].

Dass Stoffe einer Kompression ''(Verdichtung, Komprimierung)'' Widerstand entgegensetzen, beruht in erster Linie auf Wechselwirkungen der enthaltenen Elektronen.

== Allgemeines ==
Die '''Kompression''' ist ein (allseitiges) ''Zusammendrücken'' eines Körpers/massegefüllten Raumes, welcher sein Volumen verringert und seine [[Dichte (Physik)|Dichte (Massendichte)]] erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. Wenn keine merklichen Dichteänderungen auftreten, nennt man die Körper [[Inkompressibilität|inkompressibel]] (siehe auch [[inkompressibles Fluid]]).

In der [[Festigkeitslehre]] wird im Allgemeinen jeder [[Festkörper]] als [[Verformung|verformbar]] angenommen (sowohl in Form (reiner Schub) als auch bzgl. hydrostatischer Volumenveränderungen (kompressibel)). Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine [[elastische Verformung]], d. h., beim Nachlassen des Drucks kehrt sich die Verdichtung wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Expansion). Abhängig vom Material kann aber auch eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z. B. [[plastische Verformung]], Zerbröseln von Beton, Kornumlagerungen im [[Grundbau]]).

Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumenänderung, weder plastische noch [[Bruchmechanik|bruchmechanische]] noch [[viskoelastisch]]e Anteile gehen ein, auch eventuelle [[thermische Verformung]]en werden vorher abgezogen.

Die Beziehung zwischen dem Volumen eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren [[Spannungszustand #Hydrostatischer Spannungszustand|hydrostatischen Druck]] wird beschrieben durch die [[Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan|Gleichungen nach Murnaghan und Birch]].

== Definition ==
Der Kompressionsmodul ist definiert über die spontan elastische Veränderung des Volumens (und damit der Dichte) zufolge eines Drucks bzw. [[Mechanische Spannung|mechanischer Spannung]]:

: <math>K := - V \cdot \underbrace {\frac{\mathrm d p} {\mathrm d V}}_{< 0} = - \frac {\mathrm d p} {\mathrm d V/V} > 0</math>

Dabei stehen die einzelnen [[Formelzeichen]] für folgende Größen:
{| style="border-spacing: 1em 0px; text-align: right"
| <math>V</math> || style="text-align: left" | Volumen
|-
| <math>\mathrm{d} p</math> || style="text-align: left" | [[Infinitesimalzahl|infinitesimale]] Druckänderung
|-
| <math>\mathrm{d} V</math> || style="text-align: left" | infinitesimale Volumenänderung
|-
| <math>\mathrm{d} V / V</math> || style="text-align: left" | relative Volumenänderung
|}

Das negative [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wurde gewählt, da Druckzuwachs das Volumen verringert (<math>\mathrm{d}V/\mathrm{d}p</math> ist negativ), praktischerweise <math>K</math> aber positiv sein sollte. Der Kompressionsmodul hängt u. a. von der [[Temperatur]] und vom Druck ab.

Der Kompressionsmodul stellt die Spannungs- bzw. jene fiktive Druckdifferenz zum aktuellen Druck dar, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität, d. h. <math>\mathrm{d}p/\mathrm{d}V = \mathrm{const}</math>, und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

== Kompressibilität ==
{{Weiterleitungshinweis|Kompressibilität|Zum Kompressibilitätsfaktor ''Z'' als Maß der Abweichung von der Zustandsgleichung des idealen Gases siehe [[Kompressibilitätsfaktor]].}}
[[Datei:Glaskompressionsmodul.gif|mini|Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.<ref>[http://www.glassproperties.com/bulk_modulus/ Glassproperties.com ''Calculation of the Bulk Modulus for Glasses'']</ref>]]

Bei [[Gas]]en und [[Flüssigkeit]]en wird statt des Kompressionsmoduls oft sein Kehrwert verwendet. Dieser wird '''Kompressibilität''' (Formelzeichen: [[Kappa|''κ'']] oder [[Chi|χ]]) oder auch '''Kompressibilitätskoeffizient''' genannt:

: <math>\kappa = \frac{1}{K} = - \frac{\mathrm d V/V}{\mathrm d p} = - \frac{1}{V} \frac{\mathrm d V}{\mathrm d p}</math>.

Man unterscheidet

* '''[[isotherm]]e Kompressibilität''' <math>\kappa_{T}</math> (bei konstanter [[Temperatur]] <math>T</math> und konstanter [[Teilchenzahl]] <math>N</math>), wobei <math>F(T,V,N)</math> die [[Freie Energie]] ist:
*: <math>\kappa_{T} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{T,N} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial^{2} F}{\partial V^{2}} \right)^{-1}_{T,N}</math>
* '''[[adiabatisch]]e Kompressibilität''' <math>\kappa_{S}</math> (bei konstanter [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math> und konstanter Teilchenzahl <math>N</math>), wobei <math>U(S,V,N)</math> die [[Innere Energie]] ist:
*:<math>\kappa_{S} = - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{S,N} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial^{2} U}{\partial V^{2}} \right)^{-1}_{S,N} \; .</math>

In der Näherung eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] berechnet sich
* die isotherme Kompressibilität nach dem [[Boyle-Mariotte-Gesetz]]: <math>\kappa_T = \frac 1 p</math>
* die adiabatische Kompressibilität nach der [[Adiabatische Zustandsänderung|Adiabatengleichung für ein ideales Gas]]: <math>\kappa_S = \frac 1 {\gamma \cdot p} \; ,</math>
wobei <math>\gamma</math> (oft auch als <math>\kappa</math> bezeichnet) der [[Isentropenexponent]] ist.

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten wurde lange bezweifelt, bis sie [[John Canton]] [[1761]], [[Jacob Perkins]] [[1820]] und [[Hans Christian Oersted]] [[1822]] durch Messungen nachweisen konnten.

== Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten ==

Unter Voraussetzung [[Linear-elastisches Verhalten|linear-elastischen Verhaltens]] und [[Isotropie|isotropen]] Materials kann man den Kompressionsmodul <math>K</math> aus anderen Elastizitätskonstanten berechnen:
: <math>K = \frac {E} {3 - 6\nu} = \frac {GE} {9G - 3E} = \frac {2G(1+\nu)} {3(1-2\nu)}</math>
mit
: <math>E</math> – [[Elastizitätsmodul]]
: <math>G</math> – [[Schubmodul]]
: <math>\nu</math>  – [[Poissonzahl]]

=== Wasser ===
[[Datei:Wasserdruck kompressibilitaet.png|mini|Wasserdruck mit und ohne Kompressibilität]]
Der Kompressionsmodul von [[Wasser]] beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·109 Pa und 2,68·109 Pa bei 100 MPa (= 1000 bar).

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des [[Druck (Physik)|Drucks]] mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität
: <math>\kappa = - \frac{\mathrm d V}{V \cdot \mathrm d p} = 0{,}5 \frac{1}{\mathrm{GPa}}</math>
das rechte Diagramm.

Bei einer Dichte von 1000 kg/m³ an der Oberfläche erhöht sich durch die Kompressibilität des Wassers die Dichte in 12 km Tiefe auf dort 1051 kg/m³. Der zusätzliche Druck durch die höhere Dichte von Wasser in der Tiefe beläuft sich auf etwa 2,6 Prozent gegenüber dem Wert bei Vernachlässigung der Kompressibilität. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.

=== Neutronensterne ===
Bei [[Neutronenstern]]en sind unter dem Druck der [[Gravitation]] alle [[Atomhülle]]n zusammengebrochen und aus den [[Elektron]]en der Hüllen und den [[Proton]]en der [[Atomkern]]e [[Neutron]]en entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 [[Größenordnung]]en über dem von [[Diamant]] unter [[Normalbedingung]]en.

== Beispiele ==
{| class="wikitable"
|+ Kompressionsmodul einiger Stoffe
|-
! Stoff
! Kompressionsmodul in GPa
|- style="background:#FFFFC0;"
| [[Luft]] (unter [[Normalbedingung]])
| {{0|00}}1,01·10−4 (isotherm) {{0}}{{0}}1,42·10−4 (adiabatisch)
|-
| [[Helium]] (fest)
| {{0|00}}0,05 (geschätzt)
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Methanol]]
| {{0|00}}0,823
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Ethanol]]
| {{0|00}}0,896
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Aceton]]
| {{0|00}}0,92
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Öle|Öl]]
| {{0|00}}1…1,6<ref name="WillGebhardt2011">{{Literatur |Autor=Dieter Will, Norbert Gebhardt, Reiner Nollau, Dieter Herschel, Hubert Ströhl |Hrsg=Dieter Will, Norbert Gebhardt |Titel=Druckflüssigkeiten |Sammelwerk=Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-17243-4 |Seiten=13–40, hier: 21 f. |Online={{Google Buch |BuchID=7Fwan8O6ULYC |Seite=21}} |DOI=10.1007/978-3-642-17243-4_3}}</ref>
|-
| [[Caesium]]
| {{0}}{{0}}1,6
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Wasser]]
| {{0|00}}2,08 ({{0|00}}0,1 MPa) {{0|00}}2,68 (100{{0|,0}} MPa)
|-
| [[Rubidium]]
| {{0|00}}2,5
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Glycerin]]
| {{0|00}}4,35
|-
| [[Natrium]]
| {{0|00}}6,3
|-
| [[Iod]]
| {{0}}{{0}}7,7
|-
| [[Methanhydrat]]
| {{0|00}}9,1 (Mittelwert im Bereich 10…100 MPa)
|-
| [[Barium]]
| {{0|00}}9,6
|-
| [[Lithium]]
| {{0}}11
|- style="background:#DDFFDD"
| [[Quecksilber]]
| {{0}}28,5
|-
| [[Bismut]]
| {{0}}31
|-
| [[Glas]]
| {{0}}35…55
|-
| [[Blei]]
| {{0}}46
|-
| [[Aluminium]]
| {{0}}76
|-
| [[Stahl]]
| 160 
|-
| [[Gold]]
| 180 
|-
| [[Borcarbid]]
| 271
|-
| [[Magnesiumoxid]]
| 277
|-
| [[Bor]]
| 320
|-
| [[Rhodium]]
| 380
|-
| [[Diamant]]
| 442
|-
| [[Osmium]]
| 462
|-
| [[Aggregierte Diamant-Nanostäbchen|Aggregierte Diamant- Nanostäbchen]] (ADNR)
| 491 (härtestes bekanntes Material<ref name="Dubrovinskaia et al. 2005">{{Literatur |Autor=Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter |Titel=Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon |Sammelwerk=Applied Physics Letters |Band=87 |Nummer=8 |Datum=2005-08-16 |Seiten=083106 |DOI=10.1063/1.2034101}}</ref>)
|- class="hintergrundfarbe-basis"
| colspan="2" style="text-align:center;" | Hintergrundfarben: {{Farbindex|FFFFC0|Gase|5=g}} {{Farbindex|DDFFDD|Flüssigkeiten|5=g}} {{Farbindex|F8F9FA|Feststoffe|5=g}}
|}
{{Absatz}}
{{:Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten}}

== Siehe auch ==
* thermische [[Zustandsgleichung]]
* [[Kontinuumsmechanik]]
* [[Elastizitätslehre]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Elastische Konstante]]

Kompressionsmodul - Versionsgeschichte

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