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Eine '''komplexwertige Funktion''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], deren Funktionswerte [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] sind. Eng damit verwandt ist der Begriff der '''komplexen Funktion''', der in der Literatur aber nicht eindeutig verwendet wird. Komplexwertige Funktionen werden in der [[Analysis]] und in der [[Funktionentheorie]] untersucht und haben vielfältige Anwendungen wie zum Beispiel in der [[Physik]] und der [[Elektrotechnik]], wo sie beispielsweise zur Beschreibung von [[Schwingung]]en dienen.
== Definition ==
=== Komplexwertige Funktion ===
Eine ''komplexwertige Funktion'' ist eine Funktion
:<math> f \colon D \to \Complex </math>,

bei der die [[Zielmenge]] die Menge der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist. An die [[Definitionsmenge]] <math> D </math> sind keine Anforderungen gestellt.

=== Komplexe Funktion ===
Wie auch bei [[Reellwertige Funktion|reellwertigen und reellen Funktionen]] ist die Verwendung des Begriffes einer ''komplexen Funktion'' in der Literatur nicht eindeutig. Teilweise wird er [[synonym]] mit einer komplexwertigen Funktion verwendet, teilweise wird er auch nur für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen verwendet, also Funktionen
:<math> f \colon D \to \Complex </math>,
bei denen <math>D \subseteq \Complex</math> ist.

== Spezialfälle ==
Manchmal wird der komplexwertigen Funktion ein Zusatz angehängt, um zu präzisieren, welche Struktur die Definitionsmenge hat. So heißt beispielsweise eine Funktion <math>f \colon D \to \Complex</math>

* komplexwertige Funktion einer reellen Variablen, wenn <math> D \subseteq \R </math> ist,
* komplexwertige Funktion mehrerer reeller Variablen, wenn <math> D \subseteq \R^n </math> mit <math>n>1</math> ist,
* komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen, wenn <math> D \subseteq \Complex </math> ist,
* komplexwertige Funktion mehrerer komplexer Variablen, wenn <math> D \subseteq \Complex^n </math> mit <math>n>1</math> ist.

Wenn <math>D</math> Teilmenge eines komplexen [[Vektorraum]]s ist, dann wird eine Funktion <math>f \colon D \to \Complex</math> auch (komplexwertiges) [[Funktional]] genannt.

== Beispiele ==
* Die Funktion <math> f \colon \R \to \Complex </math> definiert durch
::<math> f(x)= \exp(\mathrm{i}x)= \cos (x)+ \mathrm{i} \sin(x) </math>
:ist eine komplexwertige Funktion einer reellen Variable. Sie ist genau die [[Eulersche Formel]].
* Mit <math>z= x+\mathrm{i}y </math> ist die [[Exponentialfunktion]]
::<math> \exp(z)=\exp(x+\mathrm{i}y)=\exp(x)\left( \cos (y)+ \mathrm{i} \sin(y)\right)</math>
: eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variable.
* Die Funktion <math> f \colon \R^2 \to \Complex </math> definiert durch
::<math> f(x_1,x_2)=x_1+ \mathrm{i} x_2 </math>
:ist eine komplexwertige Funktion von zwei reellen Variablen.
* Aufgrund der Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen lassen sich alle reellwertigen Funktionen auch als komplexwertige Funktionen auffassen.

== Eigenschaften ==
=== Algebraische Eigenschaften ===

Die Menge aller komplexwertigen Funktionen über einer gegebenen Menge <math>D</math> bildet einen komplexen [[Vektorraum]], der mit <math>F(D, \Complex)</math>, <math>\operatorname{Abb}(D, \Complex)</math> oder <math>\Complex^D</math> bezeichnet wird. Die [[Vektoraddition|Summe]] zweier komplexwertiger Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> ist dabei definiert durch

:<math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math>

für alle <math>x \in D</math> und das [[Skalarmultiplikation|Produkt]] einer komplexwertigen Funktion <math>f</math> mit einer komplexen Zahl <math>c \in \Complex</math> durch

:<math>(c \cdot f) (x) = c \cdot f(x)</math>

für alle <math>x \in D</math>. Diese Vektorräume werden als komplexe [[Funktionenraum|Funktionenräume]] bezeichnet. Sie spielen eine wichtige Rolle in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Analysis]]. Mit der Addition und der [[Punktweises Produkt|punktweisen Multiplikation]] definiert durch

:<math>(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)</math>

für alle <math>x \in D</math> bilden die komplexwertigen Funktionen über der Menge <math>D</math> einen [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]]. Mit allen drei Verknüpfungen bilden die komplexwertigen Funktionen eine [[Algebra über einem Körper|komplexe Algebra]].

=== Analytische Eigenschaften ===

Eine komplexwertige Funktion <math>f \colon D \to \Complex</math> heißt [[Beschränkte Funktion|beschränkt]], falls eine Schranke <math>M</math> existiert, sodass

:<math>| f(x) | \leq M</math>

für alle <math>x \in D</math> ist. Die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen <math>B(D,\Complex)</math> bildet mit der [[Supremumsnorm]]

:<math>\| f \|_\infty := \sup_{x \in D} | f(x) |</math>

einen [[Normierter Raum|normierten Raum]]. Da die komplexen Zahlen [[Vollständiger Raum|vollständig]] sind, handelt es sich hierbei sogar um einen [[Banachraum]]. Eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] komplexwertiger Funktionen <math>(f_1, f_2, \ldots)</math> mit <math>f_n \colon D \to \Complex</math> für <math>n=1, 2, \ldots</math> heißt [[Gleichmäßige Beschränktheit|gleichmäßig beschränkt]], wenn jedes Folgenglied eine beschränkte Funktion ist und die Folge

:<math>(\|f_1\|_\infty, \|f_2\|_\infty, \ldots)</math>

eine [[beschränkte Folge]] komplexer Zahlen ist. Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt [[Punktweise Beschränktheit|punktweise beschränkt]], wenn für alle <math>x \in D</math> die komplexe Zahlenfolge

:<math>(f_1(x), f_2(x), \ldots)</math>

beschränkt ist. Eine gleichmäßig beschränkte Folge komplexwertiger Funktionen ist stets auch punktweise beschränkt, die Umkehrung muss jedoch nicht gelten. Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig konvergent]] gegen eine komplexwertige Funktion <math>f \colon D \to \Complex</math>, wenn

:<math>\lim_{n \to \infty} \| f_n - f \|_\infty = 0</math>

gilt. Entsprechend heißt eine Folge komplexwertiger Funktionen [[Punktweise Konvergenz|punktweise konvergent]] gegen eine komplexwertige Funktion <math>f \colon D \to \Complex</math>, wenn für alle <math>x \in D</math>

:<math>\lim_{n \to \infty} ( f_n(x) - f(x) ) = 0</math>

gilt. Auch hier folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz die punktweise Konvergenz, jedoch nicht die Umkehrung. Weitergehende analytische Eigenschaften, wie [[Stetige Funktion|Stetigkeit]], [[Differenzierbarkeit]] oder [[Integrierbarkeit]], erfordern auf der Definitionsmenge zumindest eine [[Topologischer Raum|topologische]], [[Metrischer Raum|metrische]] oder [[Maßraum|maßtheoretische]] Struktur.

== Verallgemeinerungen ==
Eine Verallgemeinerung bilden die [[komplex-vektorwertige Funktion|komplex-vektorwertigen Funktionen]], diese bilden in den <math> \Complex^n </math> ab. Noch allgemeiner sind [[vektorwertige Funktion]]en, deren Bildraum ein beliebiger Vektorraum ist.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Konrad Königsberger|Titel=Analysis 1|Auflage=6., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2004|ISBN=3-540-40371-X}}
*{{Literatur|Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1|TitelErg=Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen|Auflage=11., erweiterte|Verlag=Springer Spektrum|Ort=Wiesbaden|Jahr=2013|ISBN=978-3-658-00316-6|DOI=10.1007/978-3-658-00317-3}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=ComplexFunction|title=Complex Function}}

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Komplexwertige Funktion - Versionsgeschichte

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