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2025-01-17T07:47:46Z

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Das '''Komplexprodukt''', meist einfach '''Produkt''' genannt, ist ein Begriff aus einem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]], der [[Gruppentheorie]].

Ist <math>(M,\cdot)</math> ein [[Magma (Mathematik)|Magma]] (zum Beispiel eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]) und sind <math>X</math> und <math>Y</math> [[Teilmenge]]n von <math>M</math>, dann ist das Komplexprodukt von <math>X</math> mit <math>Y</math> definiert als
: <math>X\cdot Y := \{x\cdot y\mid x\in X, y\in Y\}</math>.

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen
:<math>\begin{align}
XY & := X\cdot Y\\
xY & := \{x\}\cdot Y\\
Xy & := X\cdot \{y\}\end{align}</math>
üblich, wobei <math>x,y</math> Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von <math>M</math> eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge <math>P(M)</math> selbst zum Magma.

==Eigenschaften==

* Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man [[Halbgruppe]]n), so ist auch <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
* Ist das Magma M kommutativ, so ist auch <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt kommutativ.
* Ist das Magma M ein [[Monoid]], so ist auch <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] ist <math>\{e\}</math>, wobei <math>e \in M</math> das neutrale Element von <math>M</math> ist.
* Ist das Magma M eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], so ist <math>P(M)</math> mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die [[leere Menge]] in <math>P(M)</math> [[Absorbierendes Element|absorbierend]] ist.
* Das Komplexprodukt <math>UV</math> zweier [[Untergruppe]]n <math>U</math> und <math>V</math> einer Gruppe ist eine Vereinigung von [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Linksnebenklassen]] von <math>V</math> und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von <math>U</math>:
:<math>UV = \bigcup_{u \in U} uV = \bigcup_{v \in V} Uv</math>
* Sind <math>U</math> und <math>V</math> endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] des Komplexprodukts die Gleichung
:<math>|UV| = \frac{|U|\cdot|V|}{|U \cap V|}</math>
* Das Komplexprodukt eines [[Normalteiler]]s mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen <math>U</math> und <math>V</math>, dass <math>UV</math> genau dann eine Untergruppe ist, wenn <math>UV=VU</math> gilt. Ist <math>U</math> oder <math>V</math> ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
* Das Komplexprodukt von [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklasse]]n <math>gN</math> und <math>hN</math> eines Normalteilers <math>N</math> ist <math>gN \cdot hN = (gh)N</math>. Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die [[Faktorgruppe]] von <math>G</math> nach <math>N</math>.
* Ist <math>N</math> Normalteiler und <math>U</math> Untergruppe von <math>G</math>, die die Eigenschaften <math>N\cap U=\{e\}</math> und <math>N\cdot U = G</math> haben, dann ist <math>G</math> das innere [[Semidirektes Produkt|semidirekte Produkt]] von <math>N</math> mit <math>U</math>. Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den [[Satz von Schur-Zassenhaus]] verwiesen.

== Literatur ==
* Thomas W. Hungerford: ''Algebra''. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Komplexprodukt - Versionsgeschichte

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