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Ein '''komplexes Netzwerk''' ist im Rahmen der [[Netzwerkforschung]] bzw. [[Graphentheorie]] ein [[Netzwerk]] ([[Graph (Graphentheorie)|Graph]]) mit nicht-trivialen [[Topologischer Raum|topologisch]]en Eigenschaften, d. h. mit Eigenschaften, die nicht in einfachen Netzwerken wie Gittern oder zufälligen Graphen auftreten. Die Untersuchung von Komplexen Netzwerken ist ein junges und aktives Gebiet in der aktuellen wissenschaftlichen Forschung, welches hauptsächlich durch die empirischen Untersuchungen von realen Netzwerken wie [[Rechnernetz]]en oder [[Soziales Netzwerk (Soziologie)|sozialen Netzwerken]] inspiriert ist.

== Definition ==
[[Datei:Scale-free network deutsch.png|mini|Zufalls- vs. skalenfreies Netz]]
Viele soziale, biologische und [[Rechnernetz]]e weisen wesentliche nicht-triviale topologische Eigenschaften auf, das heißt die Verbindungen ([[Kante (Graphentheorie)|Kanten]]) zwischen ihren Elementen ([[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]]) sind weder rein regulär noch rein zufällig.<ref name="strogatz2001">{{cite journal |author=[[Steven Strogatz|S. H. Strogatz]] |date=2001 |title=Exploring Complex Networks |journal=[[Nature]] |volume=410 |pages=268–276 |language=en}}</ref><ref name="albert2002">{{cite journal |author=R. Albert, [[Albert-László Barabási|A.-L. Barabási]] |date=2002 |title=Statistical mechanics of complex networks |journal=Reviews of Modern Physics |volume=74 |pages=47 |language=en}}</ref><ref name="newmann2003">{{cite journal |author=M. E. J. Newman |date=2003 |title=The structure and function of complex networks |journal=SIAM Review |volume=45 |pages=167–256 |language=en}}</ref><ref name="boccaletti2006">{{cite journal |author=S. Boccaletti et al. |date=2006 |title=Complex Networks: Structure and Dynamics |journal=[[Physics Reports]] |volume=424 |pages=175–308 |language=en}}</ref> Stattdessen sind derartige Netzwerke durch spezielle Verteilungen im Auftreten ihrer Elemente gekennzeichnet ([[Grad (Graphentheorie)|Gradverteilung]], englisch: ''degree distribution''), durch einen hohen [[Clusterkoeffizient]]en, eine bestimmte Gemeinschaftsstruktur ([[community structure]]) oder eine ausgeprägte [[Hierarchie|hierarchische Struktur]]. Viele bisher studierte mathematische Modelle von Netzwerken bzw. Graphen weisen hingegen keine dieser Eigenschaften auf.

Zwei typische Klassen von komplexen Netzwerken wurden in der Vergangenheit intensiv studiert: [[Skalenfreies Netz|Skalenfreie Netzwerke]],<ref>{{cite journal |author=[[Albert-László Barabási|A.-L. Barabási]], E. Bonabeau |date=2003 |title=Scale-Free Networks |journal=Scientific American |volume=Mai |pages=50–59 |language=en}}</ref> und die sogenannten [[Kleine-Welt-Phänomen|small world Netzwerke]]<ref name="watts1998">{{cite journal |author=[[Duncan J. Watts|D. J. Watts]], [[Steven Strogatz|S. H. Strogatz]] |date=1998 |title=Collective dynamics of ‘small-world’ networks |journal=[[Nature]] |volume=393 |pages=440–442 |language=en}}</ref> deren Entdeckung und Definition kanonische Fallstudien auf diesem Gebiet sind.

In [[Skalenfreies Netz|skalenfreien Netzwerken]] haben die Knoten keine typische Anzahl von Verbindungen, sondern die [[Grad (Graphentheorie)|Verteilung der Verbindungen pro Knoten]] folgt einem [[Potenzgesetz (Statistik)|Potenzgesetz]].

In small-world Netzwerken treten hingegen viele sehr kurze Verbindungen zwischen allen Elementen auf und sie haben einen hohen [[Clusterkoeffizient]]en. Durch die raschen Fortschritte in der aktuellen Forschung zu komplexen Netzwerken sind auch weitere wichtige neue Aspekte und Erkenntnisse gefunden worden, wie sich zeitliche ändernde Netzwerke: Diese Netzwerke können sich mit der Zeit verändern (sogenannte ‘evolving networks’<ref>{{cite journal |author=S. N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes |date=2002 |title=Evolution of Networks |journal=Advances in Physics |volume=51 |pages=1079 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |author=R. Albert, [[Albert-László Barabási|A.-L. Barabási]] |date=2000 |title=Topology of evolving networks: local events and universality |journal=Physical Review Letters |volume=85 |pages=5234–5237 |language=en}}</ref>), wobei Knoten und Kanten mit der Zeit neu entstehen oder auch verschwinden können. Dadurch entsteht eine komplexe Dynamik, die zu Selbstorganisation und stabilen Zuständen führen kann. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist hier das Auftreten von [[Synchronisation]].<ref>{{cite journal |author=A. Arenas, A. Díaz-Guilera, [[Jürgen Kurths|J. Kurths]], Y. Moreno, C. Zhou |date=2008 |title=Synchronization in complex networks |journal=Physics Reports |volume=469 |pages=93–153 |language=en}}</ref>

Die Erforschung von komplexen Netzwerken ist ein lebhaftes und sehr aktuelles Forschungsgebiet und verbindet verschiedene Disziplinen wie Mathematik, Physik, Biologie, Klimaforschung, Informatik, Soziologie, Epidemiologie und viele weitere. Die Konzepte aus der Netzwerktheorie haben Eingang in die Analyse von metabolischen und regulatorischen Netzwerken, in das Design von robusten und skalierbaren Kommunikationsnetzwerken, in die Entwicklung von Impfstrategien oder in die Analyse von Klimaphänomenen gefunden. Entsprechende Forschungsresultate werden regelmäßig in einigen der bekanntesten wissenschaftlichen Zeitschriften veröffentlicht,<ref name="strogatz2001" /><ref name="watts1998" /><ref name="newmann2003" /><ref name="boccaletti2006" /><ref name="brockmann2006">{{cite journal |author=Brockmann et al. |date=2006 |title=The scaling laws of human travel |journal=[[Nature]] |volume=439 |pages=462–465 |url=https://www.nature.com/articles/nature04292 |language=en}}</ref> sind Thema auf speziellen Fachtagungen und haben auch zu einigen populärwissenschaftlichen Artikeln und Büchern<ref>{{Literatur |Autor=[[Duncan J. Watts|D. J. Watts]] |Titel=Six Degrees: The Science of a Connected Age |Verlag=W. W. Norton & Company |Datum=2003 |ISBN=0-393-04142-5 |Sprache=en}}</ref><ref>{{cite journal |author=[[Albert-László Barabási|A.-L. Barabási]], Eric Bonabeau |date=2004 |title=Skalenfreie Netze |journal=[[Spektrum der Wissenschaft]] |volume=Juli |pages=62–69 |language=de}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Malte Landwehr |Titel=Graphzentralität in Autor-Zitate Netzwerken. Graphzentralitäten als Alternativen zu h-Index und PageRank bei der Bewertung von Wissenschaftlern |Verlag=GRIN Verlag |Ort=München |Datum=2011 |ISBN=978-3-656-00775-3 |URN=nbn:de:101:1-201109192114 |Sprache=de}}</ref> geführt.

Aus der Erforschung von komplexen Netzwerken können wichtige Aussagen zu Informations- und Stoffflüssen bzw. deren Optimierung sowie über [[Kritisches Phänomen|kritisches Verhalten]] und Stabilität des Gesamtsystems gelernt werden. Als Beispiel sei auf den [[Where’s George|Austausch von Banknoten]] hingewiesen, welcher von [[Dirk Brockmann]] mit Hilfe der Theorie komplexer Netzwerke untersucht wurde, was weltweite Beachtung fand.<ref name="brockmann2006" /><ref>{{cite news |url=https://www.nytimes.com/2006/12/10/magazine/10Section2b.t-3.html |title=Money-Circulation Science |language=englisch |publisher=The New York Times Magazine – The 6th Annual Year in Ideas |access-date=2006-12-10}}</ref>

== Analysemethoden ==
Um ein Netzwerk resp. einen Graphen zu analysieren, ist in vielen Fällen die Wichtigkeit der Knoten von Interesse.
Neben naiven Metriken wie Analyse des [[Knotengrad]]es sind auch komplexere Methoden vorgeschlagen worden. Ein bekanntes Beispiel ist der [[PageRank]], die Methode, die die Basis für moderne Suchmaschinen bildet. Sie ist eng verwandt mit der [[Eigenvektor]]-''[[Zentralität (Graphentheorie)|Zentralität]]''.

Weitere Maße für Graphen sind:
* [[Grad (Graphentheorie)|Grad]] (''[[degree centrality]]'') – Ein früh entwickeltes, einfaches Maß, um die Zentralität eines Knotens zu bemessen, ist die Untersuchung der Menge aller [[Inzidenz (Geometrie)|inzidenten]] Kanten.
* Nähe (''[[closeness centrality]]'') – Die Entfernung eines Knotens zu allen anderen ist die Basis für dieses Maß. Dadurch können Knoten (automatisch) identifiziert werden, welche sich im „Zentrum“ eines Netzwerks befinden. Normalerweise wird der reziproke Wert der Summe aller Distanzen zu anderen Knoten genommen, um zu erreichen, dass der Wert umso höher wird, je höher die wahrgenommene Zentralität des Knotens ist.
[[Datei:Graph betweenness.svg|mini|Betweenness-Graph]]
* Betweenness-Zentralität (''[[betweenness centrality]]'') – Ein Knoten hat einen hohen Betweenness-Wert, wenn dieser Knoten Bestandteil besonders vieler [[Kürzester Pfad|kürzester Weg]]e ist und die jeweiligen Paare wenige andere kürzeste Wege haben, auf der der Knoten nicht enthalten ist. Für jedes Paar von Knoten wird daher der Anteil an kürzesten Wegen zwischen ihnen berechnet, die v enthalten. Diese Anteile werden für alle Paare von Knoten aufsummiert um die Betweennesszentralität von v zu berechnen.
* Eigenvektorzentralität (''[[eigenvector centrality]]'') – Nach der Methode der Eigenvektorzentralität ist ein Knoten umso wichtiger, je wichtiger seine Nachbarknoten sind.
<br />
{{Siehe auch|Soziale Netzwerkanalyse#Maßzahlen/Analyseverfahren|titel1=„Maßzahlen/Analyseverfahren“ im Artikel Soziale Netzwerkanalyse}}

== Siehe auch ==
* [[Komplexes System]]
* [[Selbstorganisation]]
* [[Komplexität]]
* [[Chaostheorie]]
* [[Komplexe Adaptive Systeme]]
* [[Nichtlineare Systeme]]
* [[System]]
* [[Systemeigenschaften]]

== Literatur ==
* Füllsack, Manfred (Hrsg.): ''Networking Networks. Origins, Applications, Experiments. Proceedings of the multi-disciplinary network for the Simulation of Complex Systems - Research in the Von-Neumann-Galaxy.'' Turia + Kant: Wien/Berlin 2014, ISBN 978-3-85132-725-0.
* Artime, Oriol et al.: ''Multilayer Network Science. From Cells to Societies''. Reihe Elements in Structure and Dynamics of Complex Networks. Cambridge University Press, Cambridge 2022. [[doi:10.1017/9781009085809]]
* Albert-László Barabási: ''Network science.'' Cambridge University Press, Cambridge 2016, ISBN 978-1-107-07626-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]
[[Kategorie:Netzwerktheorie]]
[[Kategorie:Biophysik]]

Komplexes Netzwerk - Versionsgeschichte

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