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2025-08-18T08:21:02Z

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Ein '''komplexes Maß''' ist eine Art Verallgemeinerung des [[Maß (Mathematik)|Maßes]] aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Maßtheorie]]. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem [[Mengensystem]], meist einer [[σ-Algebra]], abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertemenge die [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] zu, d. h.
:<math>\mu:\mathcal{A}\to \mathbb{C}</math>
für ein Mengensystem <math>\mathcal{A}</math>.

== Definition ==

Sei <math>\Omega</math> eine nichtleere Menge und <math>\mathcal{C} \subseteq 2^\Omega</math> eine [[Teilmenge]] der [[Potenzmenge]] von <math>\Omega</math> mit <math>\emptyset \in \mathcal{C}</math>.

Eine [[Mengenfunktion]] <math>\nu</math> von
<math>\mathcal{C}</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> heißt ''komplexes Maß'', wenn
:<math>\nu(\emptyset) = 0</math>
und für jede [[disjunkt|disjunkte]] Familie <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math> und <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math>
: <math>\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math>
gilt, wobei die Reihe <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math> [[absolute Konvergenz|absolut konvergieren]] muss, das heißt <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} |\nu(A_i)| < \infty </math>. Letztere Eigenschaft wird auch als <math>\sigma</math>-''Additivität'' bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem <math>\mathcal{C}</math> eine [[σ-Algebra]], dann ist <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i</math> immer in <math>\mathcal{C}</math> enthalten.

== Eigenschaften ==
Jedes endliche (Prä-)[[Maß (Mathematik)|Maß]] ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen [[Einbettung (Mathematik)|einbettet]].

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich [[Realteil|Real- und Imaginärteil]] [[Signiertes Maß|signierte Maße]]. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann ([[Hahn-Jordan-Zerlegung]]), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

== Siehe auch ==
*[[Signiertes Maß]]

== Literatur ==
* Walter Rudin: ''Reelle und komplexe Analysis.'' Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.

[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Komplexes Maß - Versionsgeschichte

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