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2025-01-16T11:27:19Z

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'''Komplexe Mannigfaltigkeiten''' sind topologische [[Mannigfaltigkeit]]en mit Modellraum <math>\Complex^n</math>, deren Kartenwechselhomöomorphismen sogar [[Biholomorphe Abbildung|biholomorph]] sind. Diese Objekte werden in der [[Differentialgeometrie]] und der [[Funktionentheorie]] untersucht. Ihre Definition ist analog zu der Definition der [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]], jedoch kann im Gegensatz zu den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht jede komplexe Mannigfaltigkeit in den <math>\Complex^n</math> eingebettet werden.

== Definitionen ==
Sei <math>M</math> ein topologischer [[Hausdorff-Raum]], welcher dem [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweiten Abzählbarkeitsaxiom]] genügt. Weiterhin sei <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]].

=== {{Anker|Komplexer Atlas}} Komplexer Atlas ===
Eine ''Karte der komplexen Dimension n'' ist eine offene Teilmenge <math>U\subset M</math> zusammen mit einem [[Homöomorphismus]]
:<math>\phi \colon U \to \phi(U) \subset \mathbb C^n</math>.
Eine Karte ist also ein 2-Tupel <math>(U, \phi)</math>.

Ein ''komplexer Atlas'' <math>A</math> (der Dimension <math>n</math>) ist eine Menge solcher Karten, so dass
:<math>M = \bigcup_{(U,\phi) \in A} U</math>
gilt, mit der Eigenschaft, dass für je zwei Karten <math>(U, \phi)</math>, <math>(V, \psi) \in A</math> die Kartenwechselabbildungen
:<math>\phi\circ\psi^{-1}\colon\ \psi(U\cap V)\to\phi(U\cap V)</math>
biholomorph sind.

=== {{Anker|Komplexe Struktur}} Komplexe Struktur ===
Eine ''komplexe Struktur'' ist ein bezüglich Inklusion maximaler komplexer Atlas. Jeder komplexe Atlas ist in genau einer komplexen Struktur enthalten, nämlich in der Vereinigung aller zu ihm ''äquivalenten'' Atlanten.
Dabei sind zwei komplexe Atlanten äquivalent, falls ihre Vereinigungsmenge ebenfalls ein komplexer Atlas ist (d. h. wenn alle Kartenwechselabbildungen zwischen den beiden Atlanten biholomorph sind).

Bemerkung: Alternativ kann man eine komplexe Struktur auch als eine [[Äquivalenzklasse]] bezüglich dieses Äquivalenzbegriffs definieren.

=== Komplexe Mannigfaltigkeit ===
Versieht man <math>M</math> nun mit einer solchen komplexen Struktur, so spricht man von einer ''komplexen Mannigfaltigkeit''. Genauer gesagt ist ein 2-Tupel <math>(M, S)</math> eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n</math>, wenn <math>S</math> eine komplexe Struktur der Dimension <math>n</math> auf <math>M</math> ist.
Die Karten aus <math>S</math> werden dann auch als Karten der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

=== Holomorphe Funktionen, Strukturgarbe ===
Eine Funktion <math>f\colon M\to\Complex</math> heißt ''holomorph in <math>x\in M</math>'', wenn für eine Karte <math>(U,\phi)</math> mit <math>x\in U</math> die Funktion <math>f\circ\phi^{-1}\colon \phi(U)\to\Complex</math> eine in <math>\phi(x)</math> [[holomorphe Funktion]] ist. Wegen der obigen Kompatibilitätsbedingung ist diese Bedingung unabhängig von der gewählten Karte. Eine Funktion heißt holomorph auf einer offenen Teilmenge <math>U\subset M</math>, wenn sie in jedem Punkt <math>x\in U</math> holomorph ist.

Als ''Strukturgarbe'' <math>\mathcal{O}_M</math> der komplexen Mannigfaltigkeit <math>M</math> wird die [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] der holomorphen Funktionen bezeichnet. <math>(M,\mathcal{O}_M)</math> ist ein [[geringter Raum]].

== Eigenschaften ==
* Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 werden als [[Riemannsche Fläche]]n bezeichnet. Diese darf man nicht mit den [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeiten]] verwechseln.

* Jede komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n</math> kann auch als [[glatte Mannigfaltigkeit]] der Dimension <math>2n</math> aufgefasst werden.

* Jede komplexe Mannigfaltigkeit ist [[Orientierung (Mathematik)|orientierbar]].

* Der Raum der holomorphen Funktion <math>\mathcal{O}(M)</math> von M nach <math>\Complex</math> enthält, falls M [[Kompakter Raum|kompakt]] ist, nur die konstanten Funktion. Deshalb interessiert man sich dafür, ob eine komplexe Mannigfaltigkeit [[holomorph separabel]] ist.

* Kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten können nicht in den <math>\Complex^n</math> eingebettet werden.

== Beispiele ==
* Der Vektorraum <math>\Complex^n</math> und offene Teilmenge davon.
* Allgemeine [[Steinsche Mannigfaltigkeit|Stein’sche Mannigfaltigkeiten]]
* [[Komplexer projektiver Raum|Komplexe projektive Räume]] <math>\mathbb CP^n</math>
* [[Riemannsche Fläche]]n wie zum Beispiel die [[riemannsche Zahlenkugel]], die [[Jacobi-Varietät]] und die punktierte komplexe Ebene.
* [[Kählermannigfaltigkeit]]en

== Fastkomplexe Mannigfaltigkeiten ==
{{Hauptartikel|Fastkomplexe Mannigfaltigkeit}}

Eine Abschwächung des Begriffs komplexe Mannigfaltigkeit ist der Begriff der ''fastkomplexen Mannigfaltigkeit''. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die [[Tangentialraum|Tangentialräume]] sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit <math>\mathrm i</math> sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums <math>T_pM</math> die Aufgabe der Abbildung <math>J_p</math>.

=== Fastkomplexe Struktur ===
Eine '''fastkomplexe Struktur''' auf einer glatten Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist eine [[glatte Abbildung]] <math>J \colon TM\to TM</math> mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung <math>J_p:=J|_{T_pM}</math> auf den Tangentialraum zu jedem Punkt <math>p\in M</math> eine bijektive [[lineare Abbildung]] ist, die
:<math>J_p \circ J_p = - \mathrm{id}.</math>
erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit <math>\mathrm i^2 = -1 </math>.)

=== Fastkomplexe Mannigfaltigkeit ===
Eine '''fastkomplexe Mannigfaltigkeit''' ist eine glatte Mannigfaltigkeit <math>M</math> zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf <math>M</math>.

=== Eigenschaften ===
* Seien <math>M</math> und <math>N</math> zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten mit den jeweiligen fastkomplexen Strukturen <math>J_M</math> und <math>J_N</math>. Eine stetig differenzierbare Abbildung <math>f\colon M\to N</math> heißt holomorph (oder pseudo-holomorph), wenn der [[Pushforward]] <math>df\colon TM\to TN</math> von <math>f</math> mit den fastkomplexen Strukturen von <math>M</math> und <math>N</math> verträglich ist, das heißt, es muss<br /><math style="margin-left:2em">df\circ J_M = J_N\circ df</math><br />gelten.

* Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und durch <math>J v := \mathrm i v</math> für <math>v \in TM</math> wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine [[fastkomplexe Mannigfaltigkeit]] im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen.

* Im reell zweidimensionalen (d. h. im komplex eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, also eine [[riemannsche Fläche]]. Dies kann man durch das Lösen der [[Beltrami-Gleichung]] zeigen.

== Literatur ==
* [[Klaus Fritzsche]], [[Hans Grauert]]: ''From Holomorphic Functions to Complex Manifolds'' (= ''[[Graduate Texts in Mathematics]].'' 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.

[[Kategorie:Komplexe Mannigfaltigkeit| ]]

Komplexe Mannigfaltigkeit - Versionsgeschichte

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