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[[Datei:Complex conjugate ab.svg|Der blaue Zeiger im oberen Bildteil beschreibt die komplexe Zahl <math>z=a+b\mathrm i</math> in der [[Komplexe Ebene#Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] ([[Gaußsche Zahlenebene]]). Die komplexe Konjugierte <math>\bar z=a-b\mathrm i</math> entsteht durch Spiegelung an der x-Achse (unterer blauer Zeiger). Die gestrichelten Linien sollen die reellen und imaginären Anteile andeuten.|mini|320x320px]]
In der [[Mathematik]] bezeichnet '''komplexe Konjugation''' die Abbildung einer [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] als eine Zahl mit gleichem [[Realteil]] und einem [[Imaginärteil]] mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen. Sie ist definiert als:
:<math>\mathbb C\to\mathbb C,\quad z=a+b\cdot\mathrm{i}\;\;\mapsto\;\; \bar z=a-b\cdot\mathrm{i}</math>
mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math>
im Körper der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]]. Sie ist ein [[Automorphismus|Körperautomorphismus]] von <math>\mathbb C</math>, also mit der Addition und Multiplikation verträglich:
:<math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot\bar z</math>.
Die Zahl <math>\bar z = a-b\cdot\mathrm{i}</math> wird als die zu <math>z = a+b\cdot\mathrm{i}</math> '''komplex konjugierte''' bzw. '''konjugiert komplexe'''<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Merziger, Thomas Wirth |Titel=Repetitorium der höheren Mathematik |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=5 |Verlag=Binomi |Ort= |Datum=2006-03 |ISBN=978-3923923335 |Seiten=98}}</ref> Zahl oder kurz '''Konjugierte''' bezeichnet.

== Allgemeines ==
In der [[Komplexe Zahlen#Exponentialform|Exponentialform]] ist die Konjugierte der Zahl
:<math> \!\ z = r e^{\mathrm i\varphi} = r(\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi)</math>
die Zahl
:<math>\bar z = r e^{-\mathrm i\varphi} = r(\cos \varphi - \mathrm{i} \sin \varphi).</math><ref> Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, S. 36 </ref>

Sie hat also bei unverändertem Betrag den im Vorzeichen entgegengesetzten Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' identifizieren. Insbesondere werden bei der Konjugation genau die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] wieder auf sich selbst abgebildet.

== Schreibweisen ==
Eine alternative Schreibweise für <math>\overline{z}</math> ist <math>z^*</math>, welche vor allem in der [[Physik]], genauer in der [[Quantenmechanik]], gebräuchlich ist (mit <math>\psi^*(\vec{x},t)</math> wird die zu <math>\psi(\vec{x},t)</math> konjugierte [[Wellenfunktion]] bezeichnet). Diese Schreibweise wird auch bei [[adjungierte Matrix|adjungierten Matrizen]] <math>A^*:=\overline{A}^T</math> verwendet, für die in der Quantenmechanik wiederum die Schreibweise <math>A^\dagger</math> gebräuchlich ist.

== Rechenregeln ==
Für alle komplexen Zahlen <math>z_1,z_2, z=a+b\,\mathrm{i}\in\mathbb C</math> gilt:<ref> T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel: Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, S. 125–127</ref>
* <math> a = \mathrm{Re}(z) = \frac12 ( z + \overline z) </math>

* <math> b = \mathrm{Im}(z) = \frac{1}{2\mathrm{i}} ( z - \overline z )</math>

* <math>\overline{\overline{z}} = z</math>

* <math>z \in \R \iff \overline{z} = z</math>

* <math>z \cdot\overline z = |z|^2 = a^2+b^2</math>

* <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline z_1 + \overline z_2</math>

* <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline z_1 \cdot \overline z_2</math>

* <math>\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline z_1}{\overline z_2}</math> für <math>z_2 \neq 0</math>

* <math>|z| = |\overline z|</math>

* <math> |z| = \sqrt {z\overline z} </math> da der [[Betragsfunktion|Betrag]] einer komplexen Zahl als <math> |z|=\sqrt {a^2+b^2} </math> definiert ist und daher <math> \sqrt{z\overline z} = \sqrt {(a+bi)(a-bi)}=\sqrt{a^2+b^2} </math> gilt.
* <math>\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)} </math>

* <math>\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)} </math> für <math>z \neq 0</math>

* <math> \overline{\varphi(z)} = \varphi(\overline z)</math> gilt allgemein für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math> \!\ \varphi</math>, deren Einschränkung auf die reelle Achse reellwertig ist.

== Anwendung ==
Mit Hilfe der Konjugation können die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden:
* Zu <math>z\in\mathbb C</math> mit <math>z\neq 0</math> ist
:: <math>z^{-1} = \frac1z = \frac1z\frac{\bar z}{\bar z}= \frac{\bar z}{|z|^2}</math>
: das multiplikativ Inverse.

* Für die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir:
:: <math>{y\over z} ={y\over z} \frac{\bar z}{\bar z}= \frac{y\bar z}{|z|^2}</math>
:oder ausführlicher:
:: <math>\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,\mathrm{i}.</math>

== Komplexe Konjugation bei Matrizen ==
Die [[Konjugierte Matrix|Konjugierte]] einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. Die [[Transponierte Matrix|Transposition]] einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird [[Hermitesche Matrix|hermitesche]] Transposition genannt. Für Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin, dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]].

Da die Operation eine einfache Erweiterung der Konjugation von Matrixelementen auf Matrizen ist, wird die komplex Konjugierte einer Matrix oft ebenfalls mit einem Oberstrich gekennzeichnet. Ein einfaches Rechenbeispiel:

:<math>A=\begin{pmatrix}
2 & \mathrm{i} & 3 + \mathrm{i} \\
-\mathrm{i} & 5 + 3\mathrm{i} & 5\mathrm{i} \\
\end{pmatrix} \Leftrightarrow \,
\overline A = \begin{pmatrix}
2 & -\mathrm{i} & 3 - \mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 5 - 3\mathrm{i} & -5\mathrm{i} \\
\end{pmatrix}</math>

== Verallgemeinerung ==

In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über <math>K</math> [[Algebraisches Element|algebraische Elemente]] einer [[Körpererweiterung]] <math>L/K</math> heißen ''zueinander konjugiert'', wenn sie dasselbe [[Minimalpolynom (Körpertheorie)|Minimalpolynom]] über <math>K</math> haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von <math>a</math> in <math>L</math> heißen „Konjugierte von <math>a</math> (in <math>L</math>)“. Jeder <math>K</math>-[[Automorphismus]] von <math>L</math> (d. h. ein <math>L</math>-Automorphismus, der <math>K</math> punktweise festhält) bildet <math>a</math> auf eine seiner Konjugierten ab.

Analog definiert man Konjugiertheit von Elementen und Idealen bezüglich einer Ringerweiterung.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]

Komplexe Konjugation - Versionsgeschichte

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