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2026-03-12T17:48:26Z

Zerlegung in (p,q)-Formen

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Eine '''komplexe Differentialform''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]]. Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der [[Differentialform|(reellen) Differentialformen]] auf [[komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]]. Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine [[graduierte Algebra]]. Eine komplexe Differentialform vom Grad <math>k</math> (oder kurz k-Form) kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden, die dann den Grad <math>p</math> beziehungsweise <math>q</math> mit <math>p+q=k</math> haben. Um diese Zerlegung zu betonen, spricht man auch von '''(p,q)-Formen'''. Diese Zerlegung führt zu den Dolbeault-Operatoren <math>\partial</math> und <math>\bar \partial </math> und bildet die Grundlage der [[Dolbeault-Kohomologie]]. Eine wichtige Rolle spielt der [[Kalkül]] der komplexen Differentialformen auch in der [[Hodge-Theorie]].

== Definition ==
Sei <math>M</math> eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension <math>n</math>. Eine komplexe Differentialform vom Grad <math>r</math> auf <math>M</math> ist eine glatte Differentialform mit komplexen Koeffizienten, also ein glatter [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] des [[Komplexifizierung|komplexifizierten]] Bündels <math>\Lambda^r(T^*M) \otimes_\R \Complex</math>. Dabei bezeichnet <math>\Lambda^r(T^*M)</math> die <math>r</math>-te [[Äußere Potenz|äußeren Potenz]] des [[Kotangentialbündel]]s <math>T^*M</math>. Der Raum der komplexen Differentialformen vom Grad <math>r</math> wird mit <math>\mathcal{E}^r(M)</math> notiert.<ref>{{Literatur |Autor=John M. Lee |Titel=Introduction to Complex Manifolds |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2024-05-13 |ISBN=978-1-4704-7695-3 |Seiten=103 |Online=https://www.google.de/books/edition/Introduction_to_Complex_Manifolds/Sr0MEQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=complex+differential+form&pg=PA103&printsec=frontcover |Abruf=}}</ref>

== Lokale Darstellung komplexer Differentialformen ==
Sei <math>M</math> eine [[komplexe Mannigfaltigkeit]] der (komplexen) Dimension <math>n</math>. Wähle
:<math>\{\mathrm{d} z^j = dx^j+idy^j,\ \mathrm{d}\bar{z}^j=dx^j-idy^j;\ 1 \leq j \leq n\}</math>
als eine lokale Basis des komplexifizierten [[Kotangentialraum]]s. Jede komplexe Differentialform vom Grad 1 lässt sich lokal in der Form
:<math>\sum_{j=1}^n f_j \mathrm{d} z^j + g_j \mathrm{d} \overline{z}^j</math>
darstellen, wobei <math>f_j</math> glatte komplexwertige Funktionen sind.
Die Räume, in denen nur Basisvektoren des komplexifizierten Kotangentialraums der Form <math>\textstyle \mathrm{d} z^j</math> vorkommen, werden als (1,0)-Formen und die Menge der (1,0)-Formen wird mit <math>\mathcal{A}^{1,0}(M)</math> bezeichnet. Analog dazu ist <math>\mathcal{A}^{0,1}(M)</math> der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form <math>\textstyle \mathrm{d} \overline{z}^j</math> haben. Aufgrund der Holomorphie der Koordinatenwechsel bleiben diese Räume unter [[Koordinatentransformation|Koordinatentransformationen]] erhalten. Aus diesem Grund sind die Räume <math>\mathcal{A}^{1,0}(M)</math> und <math>\mathcal{A}^{0,1}(M)</math> komplexe [[Vektorbündel]] über <math>M</math>.

== Zerlegung in (p,q)-Formen ==
Sei <math>M</math> eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension <math>n</math>. Mit Hilfe des [[Äußere Algebra|äußeren Produktes]] von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der <math>(p,q)</math>-Formen durch
:<math>\mathcal{A}^{p,q}(M) := \bigwedge_{j=1}^p \mathcal{A}^{1,0}(M) \wedge \bigwedge_{j=1}^q \mathcal{A}^{0,1}(M)</math>
definieren. Weiter definiert man noch den Raum <math>\mathcal{E}^r(M)</math> als die [[direkte Summe]]
:<math>\mathcal{E}^r(M) := \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p,q}(M)</math>
der <math>(p,q)</math>-Formen mit <math>r = p + q</math>.<ref>{{Literatur |Autor=John M. Lee |Titel=Introduction to Complex Manifolds |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2024-05-13 |ISBN=978-1-4704-7695-3 |Seiten=104 |Online=https://www.google.de/books/edition/Introduction_to_Complex_Manifolds/Sr0MEQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=complex+differential+form&pg=PA103&printsec=frontcover |Abruf=}}</ref> Diese Zerlegung ist eine grundlegende Eigenschaft in der [[Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] und bildet die Grundlage der Dolbeault-Operatoren.

Der Raum <math>\textstyle \mathcal{E}^r(M)</math> ist isomorph zur direkten Summe <math>\mathcal{E}^r(M) \cong \mathcal{A}^r(M) \oplus i \mathcal{A}^r(M)</math> der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für <math>p+q =r</math> eine Projektion
:<math>\pi_{p,q} \colon \mathcal{E}^r(M) \to \mathcal{A}^{p,q}(M)</math>
definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad <math>r</math> ihre <math>(p,q)</math>-Zerlegung zuordnet.

Eine <math>(p,q)</math>-Form hat also in lokalen Koordinaten <math>z_1, \ldots , z_n</math> die eindeutige Darstellung

:<math>\omega = \sum_{\stackrel{1\leq i_1<\ldots<i_p\leq n}{1\leq j_1<\ldots<j_q\leq n}} f_{i_1, \ldots i_p, j_1, \ldots j_q} \mathrm{d}z_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}z_{i_p} \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_q}</math>.

Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise
:<math> \sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z_I \wedge \mathrm{d} \overline{z}_J := \sum_{\begin{smallmatrix}
1\le i_1<\ldots<i_p\le n\\
1\le j_1<\ldots<j_q\le n
\end{smallmatrix}} f_{i_1, \ldots i_p, j_1, \ldots j_q} \mathrm{d}z_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}z_{i_p} \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} \overline{z}_{j_q}</math>
zu vereinbaren.

== Dolbeault-Operatoren ==
=== Definition ===
Die äußere Ableitung
:<math>\mathrm{d} : \mathcal{E}^{r}(M) \to \mathcal{E}^{r+1}(M),</math>
was gleichbedeutend ist mit
:<math>\mathrm{d} : \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p,q}(M) \to \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p+1,q}(M) \oplus \bigoplus_{p+q = r}\mathcal{A}^{p,q+1}(M),</math>
kann in <math>\mathrm{d} = \partial + \overline{\partial}</math> aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren
:<math>\partial : \mathcal{A}^{p,q}(M) \to \mathcal{A}^{p+1,q}(M)</math>
und
:<math>\overline{\partial} : \mathcal{A}^{p,q}(M) \to \mathcal{A}^{p,q+1}(M)</math>
sind definiert durch
:<math>\begin{align}
\partial &:= \pi_{p+1,q} \circ \mathrm{d}\\
\overline{\partial} &:= \pi_{p,q+1} \circ \mathrm{d}.
\end{align}</math>

In lokalen Koordinaten bedeutet dies
:<math> \partial \left(\sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J\right) = \sum_{I,J} \sum_{l=1}^n \frac{\partial f_{I,J}}{\partial z^l} \mathrm{d} z^l \wedge \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J
</math>
und
:<math> \overline{\partial} \left(\sum_{I,J} f_{I,J} \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J\right) = \sum_{I,J} \sum_{l=1}^n \frac{\partial f_{I,J}}{\partial \overline{z}^l} \mathrm{d} \overline{z}^l \wedge \mathrm{d} z^I \wedge \mathrm{d} \overline{z}^J.
</math>
Dabei sind <math>\partial</math> und <math>\overline{\partial}</math> auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen [[Dolbeault-Operator]]en.<ref>{{Literatur |Autor=John M. Lee |Titel=Introduction to Complex Manifolds |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2024-05-13 |ISBN=978-1-4704-7695-3 |Seiten=105f |Online=https://www.google.de/books/edition/Introduction_to_Complex_Manifolds/Sr0MEQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=complex+differential+form&pg=PA103&printsec=frontcover |Abruf=}}</ref>

=== Eigenschaften ===
* Für diese Operatoren gilt eine [[Produktregel|Leibniz-Regel]]. Seien <math>\omega \in \mathcal{A}^{p,q}</math> und <math>\nu \in \mathcal{A}^{r,s}</math>, dann gilt<ref>{{Literatur |Autor=John M. Lee |Titel=Introduction to Complex Manifolds |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2024-05-13 |ISBN=978-1-4704-7695-3 |Seiten=106 |Online=https://www.google.de/books/edition/Introduction_to_Complex_Manifolds/Sr0MEQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=complex+differential+form&pg=PA103&printsec=frontcover |Abruf=}}</ref>
::<math>\partial(\omega \wedge \nu) = \partial \omega \wedge \nu + (-1)^{p+q}\, \omega \wedge \partial \nu </math>
:und
::<math>\overline{\partial}(\omega \wedge \nu) = \overline{\partial} \omega \wedge \nu + (-1)^{p+q}\, \omega \wedge \overline{\partial} \nu .</math>
* Aus der Identität
::<math>0 = \mathrm{d}^2 = (\partial + \overline{\partial})^2 = \partial^2 + (\overline{\partial} \partial + \partial \overline{\partial}) + \overline{\partial}^2</math>
:folgt <math>\partial^2 = 0</math>, <math>\partial \overline{\partial} + \overline{\partial} \partial = 0</math> und <math>\overline{\partial}^2 = 0</math>, denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren <math>\partial</math> und <math>\overline{\partial}</math> eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen [[Dolbeault-Kohomologie]].<ref>{{Literatur |Autor=John M. Lee |Titel=Introduction to Complex Manifolds |Verlag=American Mathematical Society |Datum=2024-05-13 |ISBN=978-1-4704-7695-3 |Seiten=106f |Online=https://www.google.de/books/edition/Introduction_to_Complex_Manifolds/Sr0MEQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=complex+differential+form&pg=PA103&printsec=frontcover |Abruf=}}</ref>
* Sei <math>(M,g)</math> eine [[Kählermannigfaltigkeit]], also eine [[komplexe Mannigfaltigkeit]] mit einer verträglichen Riemann’schen Metrik <math>g</math>, so kann man den [[adjungierter Operator|adjungierten]] Dolbeault-Quer-Operator <math>\overline{\partial}^*</math> bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator <math>\Delta := \overline{\partial}\, \overline{\partial}^* + \overline{\partial}^*\overline{\partial}</math> ist dann ein [[verallgemeinerter Laplace-Operator]]. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) [[Hodge-Theorie]].

== Holomorphe Differentialformen ==
Erfüllt eine Differentialform <math>\omega \in \mathcal{A}^{p,0}(M)</math> die Gleichung <math>\overline{\partial}\omega = 0</math>, so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch
:<math>\sum_{I} f_I \mathrm{d} z^I </math>
darstellen, wobei <math>f_I</math> holomorphe Funktionen sind. Der [[Vektorraum]] der holomorphen <math>p</math>-Formen auf <math>M</math> wird mit <math>\Omega^p(M)</math> notiert.

== Literatur ==
* {{MathWorld | title=Complex Form |id=ComplexForm }}
* Raymond O. Wells: ''Differential analysis on complex manifolds.'' Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1973, ISBN 0-13-211508-5.
* [[Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables'' (= ''North-Holland Mathematical Library'' 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Komplexe Geometrie]]

Komplexe Differentialform - Versionsgeschichte

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