imported>Rosenfalter: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|1 */

2024-11-22T18:40:17Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|1

Neue Seite

Der '''komplex-hyperbolische Raum''' ist in der [[Mathematik]] ein Beispiel für einen negativ gekrümmten symmetrischen Raum, dessen Krümmung – anders als beim [[Hyperbolischer Raum|hyperbolischen Raum]] – nicht konstant ist.

== Definition ==

Sei <math>\mathbb C^{n,1}</math> der [[Vektorraum]] <math>\mathbb C^{n+1}</math> mit der [[Hermitesche Form|Hermiteschen Form]]
:<math>\langle U,V\rangle =-u_{n+1}\overline{v}_{n+1}+\sum_{j=1}^nu_j\overline{v}_j</math>
für <math>U=(u_1,\ldots,u_{n+1}), V=(v_1,\ldots,v_{n+1})</math>.

Der ''n-dimensionale komplex-hyperbolische Raum'' <math>\mathbb CH^n</math> ist
:<math>\mathbb CH^n=\left\{X\in\mathbb C^{n,1}: \langle X,X\rangle =-1\right\}</math>
mit der von der Hermiteschen Form <math>\langle.,.\rangle</math> induzierten [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Metrik]].

== Geometrie ==

<math>\mathbb CH^n</math> ist isometrisch zum [[Homogener Raum|homogenen Raum]]
:<math>SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))</math>.
Es ist ein [[symmetrischer Raum]] vom Rang 1.

Für die [[Schnittkrümmung]] von Ebenen im <math>\mathbb CH^n</math> gilt die Ungleichung <math>-4\le K\le -1</math>. Ebenen in <math>\mathbb RH^n\subset \mathbb CH^n</math> haben Schnittkrümmung <math>-1</math>, während die Ebene <math>\mathbb CH^1\subset\mathbb CH^n</math> die Schnittkrümmung <math>-4</math> hat.

Der ''[[Geodätische Kompaktifizierung|Rand im Unendlichen]]'' <math>\partial_\infty\mathbb CH^n</math> ist homöomorph zur <math>S^{2n-1}</math>.
[[Horosphäre]]n sind isometrisch zur [[Heisenberggruppe]].

== Isometrien ==

Eine Isometrie von <math>\mathbb CH^n</math> heißt ''elliptisch'', wenn sie einen Fixpunkt in <math>\mathbb CH^n</math> hat, ''parabolisch'', wenn sie einen eindeutigen Fixpunkt in <math>\partial_\infty\mathbb CH^n</math> hat, und ''loxodromisch'', wenn sie zwei Fixpunkte in <math>\partial_\infty \mathbb CH^n</math> hat.

Loxodromische Isometrien werden durch Matrizen <math>A\in SU(n,1)</math> mit jeweils mindestens einem Eigenwert vom Betrag kleiner bzw. größer 1 repräsentiert.
Eine loxodromische Isometrie heißt strikt hyperbolisch, wenn sie durch eine Matrix <math>A\in SU(n,1)</math> mit reellen Eigenwerten repräsentiert wird, schwach hyperbolisch sonst.

Parabolische Isometrien sind entweder unipotent, d. h. werden durch eine Matrix <math>A\in SU(n,1)</math> repräsentiert, deren Eigenwerte alle 1 sind, oder ellipto-parabolisch, in diesem Fall gibt es eine eindeutige komplexe [[Geodäte]], auf der die Isometrie als [[parabolische Isometrie]] von <math>\mathbb CH^1\simeq H^2</math> wirkt.

Eine Isometrie ist genau dann elliptisch, wenn sie eine zyklische Gruppe mit kompaktem Abschluss erzeugt. Sie heißt regulär elliptisch, wenn alle Eigenwerte einer repräsentierenden Matrix <math>A\in SU(n,1)</math> verschieden sind.

== Komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeiten ==

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt komplex-hyperbolisch, wenn ihre [[universelle Überlagerung]] isometrisch zum <math>\mathbb CH^n</math> ist.

== Ballquotienten ==
In der algebraischen Geometrie werden komplexe Mannigfaltigkeiten als Ballquotienten bezeichnet, wenn ihre universelle Überlagerung biholomorph zum <math>\mathbb CH^n</math> ist.

== Literatur ==

*[[William Goldman (Mathematiker)|Goldman, William M.]]: ''Complex hyperbolic geometry.'' Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. xx+316 S. ISBN 0-19-853793-X
* [[David Epstein]]: ''Complex hyperbolic geometry.'' Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), S. 93–111, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 111, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Komplex-hyperbolischer Raum - Versionsgeschichte

imported>Rosenfalter: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|1 */