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2025-11-21T08:38:24Z

Definition: Form (Kursivsetzung für eingeführte Begriffe)

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Ein '''komplementärer Unterraum''', kurz '''Komplementärraum''' oder '''Komplement''', ist im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] ein möglichst großer [[Untervektorraum|Unterraum]] eines [[Vektorraum]]s, der einen vorgegebenen Unterraum nur im Nullpunkt schneidet. Der gesamte Vektorraum wird dadurch gewissermaßen in zwei unabhängige Teile zerlegt.

== Komplement eines Untervektorraums ==
=== Definition ===
Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem [[Körpertheorie|Körper]] <math>K</math> und <math>U</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math>. Dann heißt ein Untervektorraum <math>W</math> ''komplementär'' oder ein ''Komplement'' zu <math>U</math>, wenn die Bedingungen
* <math>U\cap W=\{0\}</math>
und
* <math>U+W=V</math>
erfüllt sind. Dabei ist <math>\{0\}</math> der [[Nullvektorraum]] und <math>U+W</math> steht kurz für
: <math>\{u+w\mid u\in U,w\in W\}.</math>

=== Bemerkungen und Eigenschaften ===
* Man sagt dann auch: <math>V</math> ist die [[Direkte_Summe|innere direkte Summe]] von <math>U</math> und <math>W</math>, und schreibt <math>V=U\oplus W</math>.
* Sind <math>U,W</math> Unterräume von <math>V</math> und <math>U\oplus W</math> ihre äußere direkte Summe, dann gilt: Der Homomorphismus
::<math>U\oplus W\to V,\quad (u,w)\mapsto u+w</math>
:ist genau dann ein Isomorphismus, wenn <math>U</math> und <math>W</math> komplementär sind, d. h., wenn <math>V</math> die innere direkte Summe von <math>U</math> und <math>W</math> ist.
* Zu einem Untervektorraum <math>U</math> eines Vektorraumes <math>V</math> existiert stets ein komplementärer Untervektorraum. Das folgt aus dem [[Basisergänzungssatz]]. Komplemente sind aber im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
* <math>W</math> ist genau dann ein Komplement von <math>U</math> in <math>V</math>, wenn sich jeder Vektor <math>v\in V</math> eindeutig als
::<math>v=u+w</math>
:mit <math>u\in U</math> und <math>w\in W</math> schreiben lässt.
* Für die [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] der entsprechenden Untervektorräume gilt
::<math> \dim V = \dim U + \dim W. </math>
:Die Dimension des Komplementärraums <math>W</math> wird auch als [[Kodimension]] von <math>U</math> in <math>V</math> bezeichnet.
* Ist <math>W</math> ein Komplement zu <math>U</math>, so ist auch <math>U</math> ein Komplement zu <math>W</math>.
* Die Einschränkung der kanonischen Projektion <math>V\to V/U</math> auf <math>W</math> ist ein [[Isomorphismus]], ''siehe'' [[Faktorraum]].

=== Zusammenhang mit Projektionen ===
Es sei <math>U</math> ein Unterraum im Vektorraum <math>V</math>.

* Ist <math>W</math> ein Komplementärraum von <math>U</math>, so kann man nach obigem jedes Element <math>v</math> aus <math>V</math> eindeutig als Summe <math>v=u+w</math> mit <math>u\in U</math> und <math>w\in W</math> darstellen. Dann ist <math>P_W \colon V \rightarrow V, v=u+w \mapsto u</math> eine [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] mit dem [[Bild (Mathematik)|Bild]] <math>\operatorname{im}P_W = U</math> und [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>\operatorname{ker} P_W = W</math>.

* Ist umgekehrt <math>P \colon V \rightarrow V</math> eine Projektion mit Bild <math>U</math>, so ist der Kern <math>\operatorname{ker} P</math> ein Komplementärraum von <math>U</math>.

Man erhält auf diese Weise eine [[Bijektive Funktion|Bijektion]] von der Menge aller Komplementärräume von <math>U</math> auf die Menge aller Projektionen auf <math>V</math> mit Bild <math>U</math>. Die Projektionen mit Bild <math>U</math> bilden einen [[Affiner Raum|affinen Raum]] über dem Vektorraum <math>\operatorname{Hom}(V/U,U)\subset\operatorname{Hom}(V,V)</math>.

[[Datei:Komplement im R2.png|mini|200px|Jeder Unterraum <math>W_a</math> ist ein Komplement zu <math>U</math>.]]

=== Beispiel ===
Wir betrachten den Unterraum <math>U:=\{(0,y);\,y\in \R\} \subset V = \R^2</math> wie in nebenstehender Zeichnung. Zu jeder reellen Zahl <math>a</math> sei <math>W_a</math> die Gerade durch 0 mit Steigung <math>a</math>. Jeder solche Unterraum <math>W_a</math> ist ein zu <math>U</math> komplementärer Unterraum von <math>V</math>. Die zugehörige Projektion hat die Matrixdarstellung
<math>P_a=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ -a & 1 \end{pmatrix}</math>.
Man sieht der Matrixdarstellung direkt an, dass <math>U</math> das Bild ist, denn die erste Zeile der Matrix besteht nur aus Nullen. Der Kern von <math>P_a</math> ist <math>W_a</math>, denn aus <math>P_a \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}</math> folgt <math>\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ -a & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -ax+y\end{pmatrix}</math>, das heißt, der Kern besteht aus allen Punkten <math>\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}</math> mit <math>y=ax</math>, und das ist genau die Gerade durch 0 mit Steigung <math>a</math>.

== Orthogonales Komplement ==
=== Definition ===
Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math>, auf dem eine [[Symmetrische Bilinearform|symmetrische]] oder [[alternierende Bilinearform]] oder eine [[hermitesche Sesquilinearform]] <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> gegeben ist. Für einen Unterraum <math>U\subseteq V</math> heißt
:<math>U^\perp:=\{v\in V\mid\forall u \in U: \langle u,v\rangle=0\}</math>
das ''orthogonale Komplement'' oder der ''Orthogonalraum'' von <math>U</math> in <math>V</math>. Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Komplement von <math>U</math> im oben definierten Sinne ist. Der [[Dualitätssatz]] besagt jedoch, dass, falls <math>V</math> endlichdimensional und <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> sowohl auf <math>V</math> als auch auf dem Unterraum <math>U</math> [[Bilinearform|nicht ausgeartet]] ist, <math>V = U \oplus U^\bot</math> gilt.

Die letzte Eigenschaft ist beispielsweise für [[Skalarprodukt]]e auf reellen oder komplexen Vektorräumen stets erfüllt.

=== Orthogonales Komplement in Hilberträumen ===
Ist <math>V</math> ein [[Hilbertraum]], so ist das orthogonale Komplement eines Unterraumes <math>U</math> ein Komplement seines [[Abschluss (Topologie)|Abschlusses]] <math>\bar U</math>, d. h.
:<math>V=\bar U\oplus U^\perp</math>, wobei <math>\oplus</math> als [[innere orthogonale Summe]] gelesen wird.
Das orthogonale Komplement ist stets abgeschlossen und es gilt
:<math>(U^\perp)^\perp=\bar U</math>.

== Komplemente in Banachräumen ==
Sei <math>V</math> ein (endlichdimensionaler oder unendlichdimensionaler) vollständiger, normierter Vektorraum, also ein [[Banachraum]], und sei <math>U</math> ein abgeschlossener Unterraum, zu dem ein abgeschlossener Komplementärraum <math>W</math> existiert, so dass die Räume <math>V</math> und <math>U \oplus W</math> algebraisch isomorph sind, dann ist der durch <math>U \oplus W \rightarrow V,\,(u,w)\mapsto u+w</math> definierte Isomorphismus auch ein topologischer Isomorphismus. Das heißt, die Abbildung und ihre Umkehrabbildung sind [[Stetige Funktion|stetig]].

In Banachräumen haben abgeschlossene Unterräume nach obigem stets einen Komplementärraum, aber das bedeutet nicht, dass man auch einen abgeschlossenen Komplementärraum finden könnte. Dies ist vielmehr eine Charakterisierung der topologischen Vektorraumstruktur von [[Hilbertraum|Hilberträumen]], in denen man stets das orthogonale Komplement zur Verfügung hat, denn es gilt folgender Satz von [[Joram Lindenstrauss|Lindenstrauss]]-[[Lior Tzafriri|Tzafriri]]<ref>J. Lindenstrauss, L. Tzafriri: ''On the complemented subspaces problem'', Israel Journal of Mathematics (1971), Band 9 (2), Seiten 263–269</ref><ref>Guido Walz (Herausgeber): ''Lexikon der Mathematik, Band 3'', Springer-Verlag 2017 (2. Auflage), ISBN 978-3-662-53501-1, Eintrag ''komplementierter Unterraum eines Banachraums'', Seite 148</ref>:
* Ein Banachraum ist genau dann stetig isomorph zu einem Hilbertraum, wenn jeder abgeschlossene Unterraum einen abgeschlossenen Komplementärraum besitzt.

Zur Existenz von Komplementärräumen gilt folgender Satz von [[Kazimierz Sobczyk|Sobczyk]]<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 10.10</ref>:
* Ein zum [[Folgenraum|Folgenraum c<sub>0</sub>]] isomorpher Unterraum eines [[Separabler Raum|separablen]] Banachraums hat stets einen abgeschlossenen Komplementärraum.

Im nicht-notwendigerweise-separablen Fall gilt die Aussage dagegen nicht: Man kann zeigen, dass zu <math>c_0\subset \ell^\infty</math> kein abgeschlossener Komplementärraum existiert.<ref>R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 10.15</ref>

== Invariante Komplemente ==
Sei <math>V</math> ein Vektorraum, <math>f \colon V \to V</math> ein [[Endomorphismus]] von <math>V</math> und <math>U</math> ein <math>f</math>-invarianter Unterraum, d. h. <math>f(U)\subseteq U</math>. Dann besitzt <math>U</math> nicht immer ein <math>f</math>-invariantes Komplement. Gibt es zu jedem invarianten Unterraum ein invariantes Komplement, heißt der Endomorphismus [[halbeinfach]]. Über [[Algebraisch abgeschlossener Körper|algebraisch abgeschlossenen Körpern]] ist Halbeinfachheit äquivalent zu [[Diagonalisierbarkeit]].

Analoge Begriffe werden in der [[Darstellungstheorie]] verwendet. Für eine [[Hilbertraum-Darstellung]] ist das orthogonale Komplement eines invarianten Unterraums wieder invariant, folglich ist jede endlichdimensionale unitäre Darstellung halbeinfach.

Wenn man die invarianten Unterräume als Untermoduln interpretiert, werden die invarianten Komplemente zu komplementären Untermoduln im Sinn des folgenden Abschnitts.

== Verallgemeinerung ==
Die Definition von Komplementen lässt sich wörtlich auf [[Modul (Mathematik)|Moduln]] verallgemeinern. Allerdings gibt es zu einem Untermodul eines Moduls über einem Ring nicht mehr stets einen komplementären Untermodul. Ein Modul, in dem jeder Untermodul ein Komplement besitzt, wird [[halbeinfacher Modul]] genannt. In dieser Sprechweise sind also beispielsweise Vektorräume halbeinfache Moduln. Der <math>\Z</math>-Modul <math>\Z</math> ist nicht halbeinfach, weil der Untermodul <math>2\Z</math> kein Komplement besitzt.

Statt „besitzt ein Komplement“ sagt man auch „ist ein direkter Summand“. [[Projektiver Modul|Projektive Moduln]] sind dadurch charakterisiert, dass sie isomorph zu direkten Summanden freier Moduln sind. [[Injektiver Modul|Injektive Moduln]] sind dadurch charakterisiert, dass sie in jedem Obermodul ein Komplement besitzen.

Die Beziehung zu Projektionen sowie die einfach transitive Operation von <math>\operatorname{Hom}(V/U,U)</math> auf der Menge der Komplemente von <math>U</math> in <math>V</math> überträgt sich ebenfalls auf den Modulfall (sogar auf beliebige [[Abelsche Kategorie|abelsche Kategorien]]).

== Siehe auch ==
* [[Komplementärbasis]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Komplementarraum}}

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Komplementärraum - Versionsgeschichte

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