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2025-07-02T08:38:22Z

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Eine '''Komplementärbasis''' eines Unterraums bezeichnet im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[lineare Algebra|linearen Algebra]] eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des zugehörigen [[Komplementärraum|orthogonalen Komplements]].

== Definition ==
Es seien <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>, <math>U</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math> und <math>W</math> ein durch die [[Familie (Mathematik)|Familie]] bzw. das System <math>(\mathbf{w}_i)_{i=1,\ldots,n}, \mathbf{w}_i \in V</math> von Vektoren erzeugter Unterraum von <math>V</math>. Dann heißt das System <math>(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)</math> Komplementärbasis von <math>U</math> in <math>V</math>, falls diese Vektoren eine Basis des orthogonalen Komplements <math>U^\perp:=W</math> bilden.

<math>U^\perp</math> ist also ein [[Komplementärraum|komplementärer Unterraum]] von <math>U</math> und die Vektoren <math>\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n</math> bilden dazu eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des orthogonalen Komplements <math>U^\perp</math>.

== Alternative Formulierung für endlich-dimensionale Vektorräume ==

Seien <math>a_1, \ldots, a_n</math> Skalare aus dem Körper <math>K</math>. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

# Lässt sich ein Element <math>u \in U</math> aus der Linearkombination <math>a_1 \cdot \mathbf{w}_1 + \ ... \ + a_n \cdot \mathbf{w}_n = u</math> darstellen, so muss folgen, dass <math>u = 0</math> und alle Koeffizienten <math>a_i=0</math> (für <math>i=1,...,n</math>) sind.
# Die Vektoren <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> erzeugen zusammen mit <math>U</math> den Vektorraum <math>V</math>.

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> auch ''linear unabhängig modulo <math>U</math>''.)

== Eigenschaften ==
* Sei <math>V</math> ein endlich-dimensionaler [[Euklidischer_Raum|euklidischer]] oder [[Prähilbertraum|unitärer]] Vektorraum und <math>U</math> ein Untervektorraum.
:
# Es gilt <math>V=U\oplus U^\perp</math>, folglich auch <math>\dim(U^\perp) = \dim V - \dim U</math>.
# Sei <math>(u_1,\ldots,u_s)</math> eine Basis von <math>U</math>. Genau dann ist <math>(v_1,\ldots,v_t)</math> eine Komplementärbasis von <math>U</math> in <math>V</math>, wenn <math>(u_1,\ldots,u_s,v_1,\ldots,v_t)</math> eine Basis von <math>V</math> ist.
* Jede Folge, die linear unabhängig modulo <math>U</math> ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von <math>U</math> in <math>V</math> ergänzen.

{{SORTIERUNG:Komplementarbasis}}
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

== Quellen ==
*[[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5. und 7.2

Komplementärbasis - Versionsgeschichte

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