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[[Datei:01 Komplanarität.svg|mini|hochkant=1.5|Die drei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> und <math>\vec c</math> liegen auf einer gemeinsamen Ebene <math>\mathrm{E}</math> und sind somit komplanar.]]
'''Komplanarität''' (auch '''Koplanarität''' oder '''Coplanarität''', von [[Latein|lat.]] ''co-'' und ''planar'' „in der selben Ebene liegend“) ist ein Begriff aus der [[Analytische Geometrie|Analytischen Geometrie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, erzeugen eindeutig eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], in der sie liegen.<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens und andere |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=566 |Abruf=}}</ref> Mehr als drei Punkte sind '''komplanar''', wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.<ref>{{Literatur |Autor=Chr. Dürr und andere |Titel=Analytische Geometrie Leistungskurs |Verlag=Volk und Wissen Verlag |Ort=Berlin |Datum=1998 |ISBN=978-3-06-001173-5 |Seiten=78}}</ref> Entsprechend sind drei [[Vektor]]en komplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen.<ref>{{Literatur |Autor=Chr. Dürr und andere |Titel=Analytische Geometrie Leistungskurs |Verlag=Volk und Wissen Verlag |Ort=Berlin |Datum=1998 |ISBN=978-3-06-001173-5 |Seiten=55}}</ref> Dies ist genau dann der Fall, wenn sich einer der Vektoren als [[Linearkombination]] der anderen beiden darstellen lässt, d. h. wenn die drei Vektoren [[Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. Komplanarität ist somit ein Spezialfall der linearen Abhängigkeit und beschreibt ausschließlich die lineare Abhängigkeit von genau drei Vektoren im Raum.<ref>{{Literatur |Autor=Jens Kunath |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67811-4 |Seiten=109 |Abruf=}}</ref>

== Komplanaritätsuntersuchung ==
In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] bedeutet Komplanarität bei [[Vektor]]en eines [[Vektorraum]]s, dass der von diesen Vektoren aufgespannte [[Untervektorraum]] die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] 2 hat. Zur Prüfung der Komplanarität von Vektoren kann eine ''Komplanaritätsuntersuchung'' durchgeführt werden. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten:

Bei drei komplanaren Vektoren muss sich einer von ihnen als Linearkombination der beiden anderen darstellen lassen. Gelingt es zum Beispiel zu zeigen, dass <math>\vec a = r \vec b + s \vec c</math> für reelle Zahlen <math>r</math> und <math>s</math> gilt, so sind die Vektoren komplanar. Die Prüfung läuft dann auf das Lösen eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten hinaus.

Bei drei komplanaren Vektoren <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> muss die [[Gleichung]] <math>\alpha \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c = \vec 0</math> eine Lösung haben, bei der <math>\alpha, \beta, \gamma</math> nicht alle null sind. Die Prüfung läuft dann auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten hinaus.<ref>{{Literatur |Autor=H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra |Verlag=Verlag Moritz Diesterweg |Ort=Frankfurt am Main |Datum=1989 |ISBN=3-425-05301-9 |Seiten=75 – 82}}</ref>

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem [[Spatprodukt]] durchführen: Die Vektoren <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> sind genau dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt <math>(\vec a, \vec b, \vec c) = 0</math> ist. Auch gilt dann <math>\det(\vec a, \vec b, \vec c) = 0</math>.

== Beispiel ==
[[Datei:01 Komplanarität-Beispiel.svg|mini|hochkant=1.5|Beispiel als Konstruktion<br />Die drei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> und <math>\vec c</math> liegen auf der Ebene <math>\mathrm{E(0,C,A})</math> und sind somit komplanar.]]
Drei Vektoren <math>\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math> sollen auf Komplanarität untersucht werden.

'''Ansatz''':

<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math> mit <math>r, s \in \mathbb{R}</math>.

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

:<math>\begin{matrix}
2r + 2s &=& 2 &\text{(I)}\\
6r + 0s &=& 4 &\text{(II)}\\
7r + 4s &=& 6 &\text{(III)}
\end{matrix}
</math>

Aus Gleichung <math>(\text{II})
</math> folgt <math>r=2/3
</math>. Einsetzen in Gleichung <math>(\text{I})
</math> und Umstellen liefert <math>s=1/3
</math>. Gleichung <math>(\text{III})
</math> ist für <math>r = 2/3</math> und <math>s = 1/3</math> wegen <math>7 \cdot 2/3 + 4 \cdot 1/3 = 6</math> erfüllt. Somit ist <math>\vec a</math> eine Linearkombination von <math>\vec b</math> und <math>\vec c</math>,

:<math>\vec a = \frac{2}{3} \cdot \vec b + \frac{1}{3} \cdot \vec c</math>,

und <math>\vec a</math>, <math>\vec b</math> und <math>\vec c</math> sind komplanar.

[[Kollineare Punkte#Kollineare Vektoren|Kollineare Vektoren]] sind immer auch komplanar, es gibt unendlich viele Ebenen, in denen sie liegen können. Ersetzt man zum Beispiel den obigen Vektor <math>\vec b</math> durch <math>\vec d = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, dann sind die Vektoren <math>\vec a, \vec c</math> und <math>\vec d</math> kollinear. Eine Komplanaritätsuntersuchung der drei Vektoren <math>\vec a, \vec d</math> und <math>\vec c</math> nach obigem Vorbild ergibt dann <math>s = 0</math> und <math>r = 2</math> als Lösungen des neuen Gleichungssystems, woraus die Kollinearität der beiden Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec d</math> folgt. Versucht man dagegen den Vektor <math>\vec c</math> als Linearkombination der beiden anderen darzustellen, so sieht man auch ohne Rechnung, dass dies unmöglich ist, da diese beiden Vektoren keine Basis des durch <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind.

== Verwendung ==
Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen [[Gerade]]n oder Geraden und Ebenen durchgeführt.

In der Chemie ist z. B. bei [[Kongener]]en von [[Polychlorierte Biphenyle|polychlorierten Biphenylen]] (PCB) die Coplanarität ein wichtiges Kriterium für deren Toxizität: ''Coplanare'' bzw. ''dioxinähnliche PCB'' sind deutlich toxischer.<ref>{{Literatur |Titel=Chlorierte Biphenyle [MAK Value Documentation in German language, 2013] |Hrsg= |Sammelwerk=The MAK-Collection for Occupational Health and Safety |Verlag=Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA |Ort=Weinheim |Datum=2013-05-22 |ISBN=978-3-527-60041-0 |DOI=10.1002/3527600418.mb0cbphpcbd0055 |Seiten=1–139}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Geometrie|Komplanaritat]]
[[Kategorie:Euklidische Geometrie|Komplanaritat]]

Komplanarität - Versionsgeschichte

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