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2026-04-04T06:49:56Z

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'''Kompaktheit''' ist ein zentraler Begriff des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Es handelt sich um eine Eigenschaft, die einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] zukommt oder nicht. Sie kommt bei vielen mathematischen Untersuchungen zum Tragen – oft auch in abgeschwächter Form als [[Lindelöf-Raum|Lindelöf-Eigenschaft]] oder [[Parakompakter Raum|Parakompaktheit]]. [[Lokalkompakter Raum|Lokalkompaktheit]] ist im Falle von [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]] ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung.

Ein kompakter topologischer Raum wird – je nach Kontext – einfach ''kompakter Raum'' oder auch ''Kompaktum''<ref group="AuH">Es ist hier indes Vorsicht geboten. In der englischsprachigen Fachliteratur versteht man nämlich nicht selten unter einem „compactum“ lediglich einen ''kompakten metrischen Raum''. Vgl. etwa {{MathWorld|title=Compactum|urlname=Compactum}} !</ref> genannt. Handelt es sich dabei um einen kompakten [[Unterraum#Beispiele|Unterraum]] innerhalb eines topologischen Raumes, so spricht man oft nur von einer ''kompakten (Teil)menge'', ohne die [[Unterraumtopologie]] eigens zu erwähnen.

Wichtige Beispiele für kompakte Mengen sind [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] und [[Beschränktheit|beschränkte]] Teilmengen des [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raums]] <math>\R^n</math> wie etwa das [[Einheitsintervall]] <math>[0,1]\subset\R</math> oder die [[Polyeder]] oder auch die [[Einheitssphäre]] <math>S^{n-1} \subset \R^n</math>.

Einfache Beispiele für ''Nicht-Kompaktheit'' bilden die [[unendliche Menge|unendliche]] [[Teilmenge]]n der [[Menge der natürlichen Zahlen]] <math>\N \subset \R</math> (nicht beschränkt!) oder auch jedes [[Halboffenes Intervall|halboffene Intervall]] der Form <math>\left[a,b\right[ \subset \R</math> (nicht abgeschlossen!).

== Definition ==

=== Kompaktheit im Euklidischen Raum ===
{{Hauptartikel|Kompaktheit (reelle Zahlen)}}

Eine Teilmenge des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^n</math> heißt ''kompakt'', wenn sie [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[Beschränktheit|beschränkt]] ist. Für diese spezielle Definition gilt der [[Satz von Heine-Borel]]:
:Eine Teilmenge des <math>\R^n</math> ist genau dann kompakt, wenn jede [[offene Überdeckung]] der Teilmenge eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Der Satz von Heine-Borel motiviert die folgende Verallgemeinerung der Definition der Kompaktheit auf topologische Räume.

=== Kompaktheit in topologischen Räumen ===
Ein [[topologischer Raum]] <math>(X,\mathcal{T})</math> heißt ''kompakt'', wenn jede [[offene Überdeckung]]
: <math>X=\bigcup_{i\in I}U_i\quad\textrm{mit}\quad U_i\in\mathcal{T}</math>
eine [[endliche Teilüberdeckung]]
: <math>X=U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\dotsb\cup U_{i_n} \text{ mit } i_1,\dotsc,i_n\in I</math>
besitzt.<ref name="Querenburg" details="105">[[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9</ref>

Eine Teilmenge <math>M</math> eines topologischen Raums <math>(X,\mathcal{T})</math> heißt ''kompakt'', wenn jede offene Überdeckung
: <math>M\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i\quad\textrm{mit}\quad U_i\in\mathcal{T}</math>
eine endliche Teilüberdeckung
: <math>M\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\dotsb\cup U_{i_n} \text{ mit } i_1,\dotsc,i_n\in I</math>
besitzt. Die beiden Begriffe sind kompatibel. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie als topologischer Raum mit der [[Teilraumtopologie]] kompakt ist.<ref name="Querenburg" details="105"/>

Einige Autoren, wie beispielsweise [[Nicolas Bourbaki]]<ref name="Querenburg" details="105"/>, verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff ''quasikompakt'' und reservieren den Begriff ''kompakt'' für kompakte [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]]. Manche Autoren nennen die Kompaktheit zur klareren Abgrenzung von der [[Folgenkompaktheit]] auch '''Überdeckungskompaktheit'''.<ref>{{Literatur |Autor=[[Winfried Kaballo]] |Titel=Grundkurs Funktionalanalysis |Auflage=1. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-8274-2149-4 |Seiten=26}}</ref>

=== Kompaktheit metrischer Räume ===
[[Metrischer Raum|Metrische Räume]] sind topologische Räume, für die sich die Eigenschaft der Kompaktheit auf vielfältige Art und Weise charakterisieren lässt. Es gilt nämlich für jeden metrischen Raum <math>X</math> die Gleichwertigkeit der folgenden Aussagen:<ref>{{Literatur|Autor=Lutz Führer|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig|Datum=1977|Seiten=95}}</ref>
:
: '' '''(1.)''' <math>X</math> ist kompakt.''
: '' '''(2.)''' <math>X</math> ist [[Vollständiger Raum|vollständig]] und [[totalbeschränkt]].''
: '' '''(3.)''' Jede in <math>X</math> gelegene [[Folge (Mathematik)|Folge]] enthält eine [[konvergente Teilfolge]].''
: '' '''(4.)''' Jede [[Unendliche Menge|unendliche]] [[Teilmenge]] von <math>X</math> besitzt mindestens einen [[Häufungspunkt]].''
: '' '''(5.)''' Jede [[stetig]]e [[reellwertige Funktion]] <math>f \colon X \to \R</math> ist [[Beschränkte Funktion| beschränkt]].''
: '' '''(6.)''' Jede [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[diskrete Teilmenge]] von <math>X</math> ist [[Endliche Menge|endlich]].''

Dies bedeutet insbesondere, dass für einen metrischen Raum <math>X</math> stets auch die Eigenschaften der Kompaktheit, der [[Folgenkompaktheit]] und der [[Abzählbare Kompaktheit|Abzählbaren Kompaktheit]] völlig gleichwertig sind.<ref> {{Literatur|Autor=Horst Schubert |Titel=Topologie. Eine Einführung |Verlag=B. G. Teubner Verlag |Ort=Stuttgart |Datum=1975|Seiten=64}}</ref>

Darüber hinaus gilt noch die folgende auf [[Georg Cantor]] zurückgehende Charakterisierung, die oft als ''cantorscher Durchschnittssatz'' bezeichnet wird:<ref>{{Literatur|Autor=Lutz Führer|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig|Datum=1977|Seiten=102}}</ref>
:
: ''Ein metrischer Raum <math>X</math> ist dann und nur dann kompakt, wenn er die folgende Eigenschaft aufweist:''
:''Jede [[monoton fallende Mengenfolge]]''
::<math> (A_n)_{n = 1,2,3, \ldots \infty} </math> ,
: ''die aus lauter [[nichtleer]]en [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] Teilmengen von <math>X</math> besteht, hat nichtleeren [[Schnittmenge|Durchschnitt]]:''
::''<math>\bigcap_{n = 1,2,3, \ldots \infty} {A_n} \neq \emptyset</math> .''

== Geschichte ==

Um das Jahr 1900 waren die Gleichwertigkeit der folgenden Charakterisierungen kompakter Teilmengen <math>A</math> des <math>\R^n</math> bekannt:
# Die Teilmenge <math>A</math> ist beschränkt und abgeschlossen.
# Jede Teilmenge von <math>A</math> mit unendlich vielen Elementen hat wenigstens einen [[Häufungspunkt]]. ([[Satz von Bolzano-Weierstraß]])
# Jede Folge in <math>A</math> besitzt eine in <math>A</math> konvergente Teilfolge. ([[Satz von Bolzano-Weierstraß]])
# Jede offene Überdeckung von <math>A</math> hat eine endliche Teilüberdeckung. ([[Satz von Heine-Borel]])

Die erste Charakterisierung ist abhängig von der gewählten [[Metrischer Raum|Metrik]]. Die anderen drei Charakterisierungen hingegen lassen sich auf beliebige topologische Räume übertragen und bieten somit eine Möglichkeit einen Kompaktheitsbegriff für topologische Räume zu definieren. [[Maurice René Fréchet]] nannte 1906 Teilmengen metrischer Räume kompakt, die die zweite Eigenschaft erfüllten. Diese Definition wurde später auf topologische Räume übertragen. Man nannte also die im heutigen Sinne abzählbar kompakten Räume damals kompakt. [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]] und [[Pawel Samuilowitsch Urysohn]] führten 1924 den heutigen Kompaktheitsbegriff im Sinne der vierten Eigenschaft ein. Räume, die diese Eigenschaft erfüllten, nannten sie bikompakt. Diese Kompaktheitsdefinition setzte sich allerdings erst um 1930 durch, als [[Andrei Nikolajewitsch Tichonow]] bewies, dass beliebige [[Produkttopologie|Produkte]] bikompakter Räume wieder bikompakte Räume ergeben. Dieses Resultat ist heute als [[Satz von Tychonoff]] bekannt. Für abzählbar kompakte und [[Folgenkompaktheit|folgenkompakte]] Räume (Eigenschaft drei) gilt dies nicht.<ref name="Querenburg" details="330"/>

== Von Endlichkeit zu Kompaktheit ==
[[Datei:VonEndlichkeitZuKompaktheit.png|mini|Der Punkt <math>x</math> wird von <math>A=\{a,b,c\}</math> getrennt.]]
Ein wichtiger Grund für die Betrachtung kompakter Räume ist, dass sie in mancher Hinsicht als Verallgemeinerung von endlichen topologischen Räumen gesehen werden können, insbesondere sind auch alle endlichen Räume kompakt. Es gibt viele Ergebnisse, die sich leicht für endliche Mengen beweisen lassen, deren Beweise dann mit kleinen Änderungen auf kompakte Räume zu übertragen sind. Hier ein Beispiel:

Wir setzen voraus, dass <math>X</math> ein [[Hausdorff-Raum]] ist, <math>x</math> ein Punkt aus <math>X</math> und <math>A</math> eine endliche Teilmenge von <math>X</math>, die <math>x</math> nicht enthält. Dann können wir <math>x</math> und <math>A</math> durch [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] trennen: für jedes <math>a</math> aus <math>A</math> seien <math>U_a(x)</math> und <math>V(a)</math> disjunkte Umgebungen, die jeweils <math>x</math> bzw. <math>a</math> enthalten. Dann sind die Schnittmenge aller <math>U_a(x)</math> und die Vereinigung aller <math>V(a)</math> die benötigten Umgebungen von <math>x</math> und <math>A</math>.

Ist <math>A</math> nicht endlich, gilt der Beweis nicht mehr, da der Durchschnitt von unendlich vielen Umgebungen keine Umgebung mehr sein muss. Für den Fall, dass <math>A</math> kompakt ist, lässt sich die Beweisidee aber wie folgt übertragen:

Wir setzen wieder voraus, dass <math>X</math> ein [[Hausdorff-Raum]] ist, <math>x</math> ein Punkt aus <math>X</math> und <math>A</math> eine kompakte Teilmenge von <math>X</math>, die <math>x</math> nicht enthält. Dann können wir <math>x</math> und <math>A</math> durch [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] trennen: für jedes <math>a</math> aus <math>A</math> seien <math>U_a(x)</math> und <math>V(a)</math> disjunkte offene Umgebungen, die jeweils <math>x</math> bzw. <math>a</math> enthalten. Da <math>A</math> kompakt ist und von den offenen Mengen <math>V(a)</math> überdeckt wird, gibt es endlich viele Punkte <math>a_1,\ldots,a_n \in A</math> mit <math>A\subseteq V(a_1)\cup\ldots\cup V(a_n)</math>. Dann sind die Schnittmenge aller <math>U_{a_i}(x)</math> und die Vereinigung aller <math>V(a_i)</math>, <math>i=1,\ldots, n</math>, die benötigten Umgebungen von <math>x</math> und <math>A</math>.

Man sieht an diesem Beispiel, wie die Kompaktheit verwendet wird, um von möglicherweise unendlich vielen Umgebungen auf endlich viele zu kommen, mit denen dann der bekannte Beweis für endliche Mengen fortgeführt werden kann. Viele Beweise und Sätze über kompakte Mengen folgen diesem Muster.

== Beispiele ==

=== Kompakte Räume ===
* Betrachtet man das geschlossene Einheits-[[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0, 1]</math> als Teilmenge von <math>\R</math> versehen mit der [[Standardtopologie]], so ist das Intervall ein kompakter, topologischer Raum. Ebenfalls kompakt sind die <math>n</math>-[[Kugel]]n und <math>n-1</math>-[[Sphäre (Mathematik)|Sphären]] betrachtet als Teilmengen der <math>\R^n</math> versehen mit der Standardtopologie für beliebige natürliche Zahlen <math>n</math>.
* Alle [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] mit endlicher Topologie, z. B. endliche Räume, sind kompakt.
* Für eine natürliche Zahl <math>p>1</math> betrachte die Menge <math>p^\N</math> aller [[Folge (Mathematik)|Folgen]] mit Werten aus <math>\{0,\dotsc,p-1\}</math>. Auf dieser Menge kann man eine Metrik <math>d</math> definieren, indem man <math>d((x_k),(y_k)):=p^{-m}</math> setzt, wobei <math>m:=\inf\{k\in\N:x_k\neq y_k\}</math>. Ist <math>(x_k)=(y_k)</math>, so sei <math>d((x_k),(y_x)):=0</math>. Aus dem Satz von Tychonoff (siehe unten) folgt, dass der durch diese Metrik induzierte topologische Raum kompakt ist. Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden, nicht nur für <math>\{0,\dotsc,p-1\}</math>. Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar [[Ultrametrik|ultrametrisch]]. Es gilt folgendes:
** Ist <math>p=2</math>, dann ist die Abbildung <math>(x_1, x_2,\dotsc) \mapsto 2 (x_1 3^{-1} + x_2 3^{-2} + x_3 3^{-3} +\dotsb)</math> ein Homöomorphismus von <math>2^\N</math> in die [[Cantor-Menge]].
** Ist <math>p</math> eine Primzahl, dann ist die Abbildung <math>(x_1, x_2,\dotsc) \mapsto (x_1 p^{0} + x_2 p^{1} + x_3 p^{2} + \dotsb)</math> ein Homöomorphismus von <math>p^\N</math> in die <math>p</math>-adischen ganzen Zahlen.
* Das Spektrum eines beliebigen [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Linearer Operator|linearen Operators]] auf einem [[Hilbertraum]] ist eine kompakte Teilmenge der [[Komplexe Zahlen|Komplexen Zahlen]].
* Das Spektrum eines beliebigen [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringes]] oder einer [[Boolesche Algebra|booleschen Algebra]] ist ein kompakter Raum mit der [[Zariski-Topologie]].
* Weitere Beispiele für das Vorkommen kompakter Mengen in der [[Funktionalanalysis]] gewinnt man im Zusammenhang mit dem [[Satz von Banach-Alaoglu]], dem [[Satz von Kolmogorow-Riesz]], dem [[Satz von Arzelà-Ascoli]], dem [[Satz von Dini]] oder dem [[Kompaktheitskriterium von James]].

=== Nicht kompakte Räume ===
* Die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> versehen mit der Standardtopologie sind nicht kompakt. Ebenfalls nicht kompakt sind das halboffene Intervall <math>[0,1[</math>, die ganzen Zahlen <math>\Z</math> oder die natürlichen Zahlen <math>\N</math> betrachtet als Teilmengen von <math>\R</math>. Versieht man jedoch beispielsweise <math>\N</math> mit der trivialen Topologie <math>\mathcal{T}:=\{\emptyset,\N\}</math>, so ist <math>(\N,\mathcal{T})</math> kompakt. Ob eine Menge kompakt ist, hängt daher im Allgemeinen von der gewählten Topologie ab.
* Die abgeschlossene Einheitskugel des Raumes <math>\ell^\infty = L^\infty(\mathbb{N};\mathbb{R})</math> der beschränkten reellen Zahlenfolgen (siehe [[Lp-Raum|''L<sup>p</sup>''-Raum]]) ist nicht kompakt, obwohl sie abgeschlossen und beschränkt ist. Es gilt allgemein, dass die abgeschlossene Einheitskugel in einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] genau dann kompakt ist, wenn die Dimension des Raums endlich ist.

== Eigenschaften ==

* Das [[Bildmenge|Bild]] einer kompakten Menge unter einer [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine reellwertige stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum ein globales [[Extremwert|Minimum]] und ein globales [[Extremwert|Maximum]] an.
* Eine stetige Funktion auf einem kompakten [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] ist [[gleichmäßig stetig]]. Diese Aussage ist auch als [[Satz von Heine]] bekannt.
* Jede [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] eines Kompaktums in einem [[Uniformer Raum|uniformen Raum]] ist [[gleichmäßige Umgebung]]. Das heißt, es liegt mit einer ''Nachbarschaft'' in der Umgebung. Im metrischen Falle heißt dies, dass alle Punkte mit gleich großen Kugeln einer gewählten Größe innerhalb der Umgebung liegen. Die Nachbarschaft kann sogar so gewählt werden, dass das Komplement der Umgebung mit der Nachbarschaft außerhalb des Kompaktums mit der Nachbarschaft liegt.<ref>[[Nicolas Bourbaki]]: ''Elements of Mathematics. General Topology.'' Band 1. Springer, Berlin u. a. 1966, Kapitel II, § 4.3, Proposition 4.</ref>
* Jede unendliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_n)_{n \in \mathbb N}</math> von Elementen einer kompakten Menge <math>K \subset E</math> besitzt einen [[Häufungspunkt]] in <math>K</math>. Erfüllt <math>K</math> das erste [[Abzählbarkeitsaxiom]], so existiert sogar eine in <math>K</math> konvergente Teilfolge <math>(a_{n_i})_{i \in \mathbb N}</math>.<br /> Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, das heißt eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren [[Ordinalzahlen]] <math>[0,\omega_1[</math> mit der Ordnungstopologie.)
* Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.
* Eine kompakte Teilmenge eines [[Hausdorff-Raum]]es ist abgeschlossen (jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum).
* Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch [[Supremum]], [[Infimum]]).
* Für jede [[Teilmenge]] <math>M</math> des euklidischen Raumes <math>\R^n</math> sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche [[Satz von Heine-Borel]]):
** <math>M</math> ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von <math>M</math> hat eine endliche Teilüberdeckung.
** Jede [[Folge (Mathematik)|Folge]] in der Menge <math>M</math> hat eine in <math>M</math> [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente]] Teilfolge (also mindestens einen Häufungspunkt).
** Die Menge <math>M</math> ist [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[Beschränktheit|beschränkt]].
* Ein [[metrischer Raum]] ist genau dann kompakt, wenn er [[Vollständiger Raum|vollständig]] und [[Totalbeschränkt|total beschränkt]] ist.
* Ein [[diskreter Raum]] ist genau dann kompakt, wenn er endlich ist.
* Das [[Produkttopologie|Produkt]] einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt in der [[Produkttopologie]]. ([[Satz von Tychonoff]] – dies ist äquivalent zum [[Auswahlaxiom]])
* Ein kompakter Hausdorff-Raum ist [[Normaler Raum|normal]].
* Jede stetige [[bijektiv]]e Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein [[Homöomorphismus]].
* Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede [[Folge (Mathematik)|Folge]] in dem Raum eine konvergente Teilfolge mit ihrem [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] in dem Raum hat.
* Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes [[Netz (Topologie)|Netz]] auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.
* Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder [[Filter (Mathematik)|Filter]] auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt.
* Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder [[Ultrafilter]] auf dem Raum [[Filterkonvergenz|konvergiert]].
* Ein topologischer Raum kann genau dann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden, wenn er ein [[Tychonoff-Raum]] ist.
* Jeder topologische Raum <math>X</math> ist ein [[Dichte Teilmenge|dichter]] [[Teilraumtopologie|Unterraum]] eines kompakten Raumes, der höchstens einen Punkt mehr besitzt als <math>X</math>. (Siehe auch [[Alexandroff-Kompaktifizierung]].)
* Ein metrisierbarer Raum <math>X</math> ist genau dann kompakt, wenn jeder zu <math>X</math> [[Homöomorphismus|homöomorphe]] metrische Raum vollständig ist.
* Falls der metrische Raum <math>X</math> kompakt ist und eine offene Überdeckung von <math>X</math> gegeben ist, dann existiert eine Zahl <math>\delta > 0</math>, so dass jede Teilmenge von <math>X</math> mit Durchmesser <math>{}< \delta</math> in einem Element der Überdeckung enthalten ist. ([[Lemma von Lebesgue]])
* Jeder kompakte Hausdorffraum lässt genau eine [[uniforme Struktur]] zu, die die Topologie induziert. Die Umkehrung gilt nicht.<ref>{{Literatur |Autor=[[Steven Gaal|István Sándor Gál]] |Titel=Uniformizable Spaces with a Unique Structure |Sammelwerk=Pacific Journal of Mathematics |Band=9 |Nummer=4 |Datum=1959-08 |ISSN=0030-8730 |Seiten=1053–1060 |Online=[https://msp.org/pjm/1959/9-4/pjm-v9-n4-p06-s.pdf online] |Format=PDF |KBytes=1200}}</ref>
* Falls ein topologischer Raum eine [[Subbasis]] hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. ([[Satz von Alexander (Mengentheoretische Topologie)|Alexanders Subbasis-Satz]])
* Zwei kompakte Hausdorff-Räume <math>X_1</math> und <math>X_2</math> sind genau dann [[Homöomorphismus|homöomorph]], wenn ihre [[Ring (Algebra)|Ringe]] von stetigen reell-wertigen Funktionen <math>C(X_1)</math> und <math>C(X_2)</math> [[Isomorphismus|isomorph]] sind.

== Andere Formen von Kompaktheit ==

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] sind, aber nicht äquivalent in allgemeinen topologischen Räumen:

* [[Folgenkompaktheit|Folgenkompakt]]: Jede [[Folge (Mathematik)|Folge]] hat eine konvergente Teilfolge.
* [[Omega-beschränkter Raum|ω-beschränkt]]: Jede abzählbare Teilmenge ist in einer kompakten Teilmenge enthalten.
* [[Abzählbar kompakt]]: Jede abzählbare offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen <math>\omega</math>-Häufungspunkt.)
* Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt.
* Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen [[Häufungspunkt]].
* [[Eberlein-kompakter Raum|Eberlein-kompakt]]: Der Raum ist homöomorph zu einer [[Schwache Topologie|schwach]]-kompakten Teilmenge eines [[Banachraum]]s.

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

* Kompakte Räume sind <math>\omega</math>-beschränkt.
* <math>\omega</math>-beschränkte Räume sind abzählbar kompakt.
* Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
* Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.
* Eberlein-kompakte Räume sind folgenkompakt.

== Siehe auch ==
* [[Relativ kompakte Teilmenge]] (Kompaktheit des Abschlusses)
* [[Kompaktifizierung]] (Einbettung topologischer Räume in kompakte Räume)
* [[Schwach folgenkompakte Menge]]
* [[Vollständige algebraische Varietät]] (analoge Begriffsbildung für algebraische Varietäten)
* [[Hemikompakter Raum]]
* [[Orthokompakter Raum]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Lutz Führer]]
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3
|Seiten=94 ff.}}
* {{Literatur
|Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]]
|Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
|Reihe=[[BI-Hochschultaschenbücher]]
|BandReihe=296
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1971
|ISBN=3-411-00296-4}}
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9
* {{Literatur
|Hrsg=Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder
|Titel=dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte
|TitelErg=Band 1: Tafeln und Texte
|Auflage=8.
|Verlag=Deutscher Taschenbuch Verlag
|Ort=München
|Datum=1990
|ISBN=3-423-03007-0
|Seiten=228 ff.}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie. Eine Einführung
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Seiten=59 ff.}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts u. a.
|Datum=1970}}

== Weblinks ==
* {{Webarchiv |url=http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Topologie/top.pdf |wayback=20070611160146 |text=Skript zur Mengentheoretische Topologie}} (PDF; 1,72 MB).

== Einzelnachweise ==
<references>
</references>

== Anmerkungen und Hinweise ==
<references group="AuH" />

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Kompaktheit| ]]

Kompakter Raum - Versionsgeschichte

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