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2025-12-11T15:10:47Z

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'''Kompakte Operatoren''' zwischen zwei [[Banach-Raum|Banachräumen]] sind in der [[Funktionalanalysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]], spezielle [[Operator (Mathematik)|Operatoren]], die ihren Ursprung in der Theorie der [[Integralgleichung]]en haben. Man spricht auch von '''kompakten Abbildungen''' anstatt von kompakten Operatoren und unterscheidet lineare von nichtlinearen Operatoren.

== Theorie linearer kompakter Operatoren ==
=== Definition ===
Eine [[Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>K\colon E\to F</math> von einem Banachraum <math>E</math> in einen Banachraum <math>F</math> heißt kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:
* Der Operator <math>K</math> bildet jede [[beschränkt]]e Teilmenge von <math>E</math> auf eine [[relativ kompakt]]e Teilmenge von <math>F</math> ab.
* Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[Einheitskugel]] in <math>E</math> ist relativ kompakt in <math>F</math>.
* Jede beschränkte Folge <math>(x_n)</math> in <math>E</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})</math>, sodass <math>(Kx_{n_k})</math> konvergiert.

Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>K \colon E \to F</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(E,F)</math> bezeichnet.

=== Stetigkeit ===
Weil das Bild der Einheitskugel unter einem kompakten Operator relativ kompakt und somit beschränkt ist, folgt, dass jeder lineare kompakte Operator automatisch ein [[beschränkter Operator]] und somit stetig ist.

=== Beispiele ===
* Ein stetiger linearer [[Operator endlichen Ranges]], das heißt ein Operator mit endlichdimensionalem Bild, ist kompakt.
* [[Hilbert-Schmidt-Operator]]en und [[Spurklasse-Operator]]en sind immer kompakt.
* Die [[Identische Abbildung|Identität]] auf einem Banachraum ist genau dann kompakt, wenn der Banachraum endlichdimensional ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Einheitskugel genau dann relativkompakt ist, wenn der Banachraum endlichdimensional ist. Vergleiche dazu [[Kompaktheitssatz von Riesz]].

=== Eigenschaften ===
* Ist <math>F</math> vollständig, so ist auch <math>\mathcal{K}(E,F)</math> ein Banachraum. Das heißt, für kompakte Operatoren <math>K_1, K_2</math> und einen Skalar <math>\lambda\in\mathbb{C}</math> sind die Operatoren <math>K_1+K_2</math> und <math>\lambda K</math> kompakt. Außerdem konvergiert jede [[Cauchy-Folge]] <math>(K_n)_{n=1}^\infty</math> bezüglich der [[Operatornorm]] gegen einen linearen kompakten Operator <math>\textstyle \lim_{n\to\infty}K_n</math>.
* Der lineare Operator <math>K \colon E \to F</math> ist genau dann kompakt, wenn zu jeder beschränkten Folge <math>(x_n)</math> in <math>E</math> eine [[Teilfolge]] von <math>(K(x_n))</math> existiert, die in <math>F</math> konvergiert. Kompakte Operatoren bilden also beschränkte Folgen auf Folgen mit konvergenten Teilfolgen ab. Ist <math>E</math> unendlichdimensional, gibt es beschränkte Folgen, die keine konvergenten Teilfolgen besitzen. Somit können kompakte Operatoren Konvergenzeigenschaften „verbessern“.
* Seien <math>W</math>, <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math> normierte Räume, <math>K:X\rightarrow Y</math> ein kompakter Operator, <math>A \colon W\rightarrow X</math> und <math>B\colon Y\rightarrow Z</math> beschränkte Operatoren. Dann ist auch <math>BKA \colon W\rightarrow Z</math> kompakt.
* Insbesondere ist die Menge aller kompakten Operatoren eines [[Hilbertraum]]es <math>H</math> ein selbstadjungiertes abgeschlossenes [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in der [[C*-Algebra]] aller beschränkten linearen Operatoren auf <math>H</math>.

=== Satz von Schauder ===
Der folgende [[Lehrsatz|Satz]] ist nach [[Juliusz Schauder]] benannt. Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume. Dann ist ein linearer Operator <math>K \colon X\to Y</math> genau dann kompakt, wenn der [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] <math>K^* \colon Y^*\to X^* </math> kompakt ist.<ref>Dies ist – neben anderen wie etwa dem [[Satz von Schauder-Mazur]] – einer von zahlreichen Sätzen, die Juliusz Schauder zuzurechnen sind.</ref>

=== Approximationseigenschaft ===
Ist <math>K \colon X \to Y</math> ein linearer Operator zwischen den Banachräumen <math>X</math> und <math>Y</math> und existiert eine Folge stetiger linearer Operatoren mit endlichdimensionalem Bild, die gegen <math>K</math> konvergiert, so ist <math>K</math> kompakt. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, sondern nur dann, wenn <math>Y</math> die sogenannte [[Approximationseigenschaft]] besitzt. Viele der häufig benutzten Banachräume haben allerdings diese Approximationseigenschaft, so zum Beispiel <math>c_0</math>, <math>\ell^p</math> oder <math>L^p([0,1])</math> mit <math>1 \leq p < \infty</math>, sowie alle [[Hilbertraum|Hilberträume]].

=== Spektraltheorie kompakter Operatoren auf Banachräumen ===
Sei <math>X</math> ein Banachraum und <math>T \colon X \to X</math> ein kompakter Operator. Mit <math>\sigma(T)</math> wird das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] des Operators <math>T</math> bezeichnet. Ist der Raum <math>X</math> zusätzlich unendlichdimensional, so gilt <math>0 \in \sigma(T)</math> und die eventuell leere Menge <math>\sigma(T) \setminus \{0\}</math> hat höchstens abzählbar viele Elemente. Insbesondere ist <math>0</math> der einzig mögliche [[Häufungspunkt]] von <math>\sigma(T)</math>.

Jedes <math>\lambda \in \sigma(T) \setminus \{0\}</math> ist ein [[Eigenwert]] von <math>T</math> und der zugehörige Eigenraum <math>\operatorname{ker}(\lambda \operatorname{Id} - T)</math> ist endlichdimensional. Außerdem existiert eine [[topologisch direkte Zerlegung]] <math>X = N(\lambda) \oplus R(\lambda)</math> mit <math>T(N(\lambda)) \subset N(\lambda)</math> und <math>T(R(\lambda)) \subset R(\lambda)</math>, wobei <math>N(\lambda)</math> endlichdimensional ist und <math>\operatorname{ker}(\lambda \operatorname{Id} - T)</math> umfasst, sowie <math>(\lambda \operatorname{Id} - T)|_{R(\lambda)}</math> ein [[Isomorphismus]] von <math>R(\lambda)</math> auf <math>R(\lambda)</math> ist.
Diese Zerlegung heißt Riesz-Zerlegung und ist nach dem Mathematiker [[Frigyes Riesz]] benannt, der große Teile der Spektraltheorie (kompakter) Operatoren erforscht hat.

==== Spektralzerlegung normaler kompakter Operatoren auf Hilberträumen ====

Ist <math>T \colon H \to H</math> ein kompakter [[normaler Operator]] auf einem Hilbertraum <math>H</math>, dann existiert für den Operator eine [[Spektralsatz|Spektralzerlegung]]. Das heißt, es existiert ein [[Orthonormalsystem]] <math>e_1 , e_2, \ldots </math> sowie eine [[Nullfolge]] <math>(\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}}</math> in <math>\mathbb{K} \backslash \{0\}</math>, so dass
:<math>Tx = \sum_{k = 1}^\infty \lambda_k \langle x ,e_k\rangle e_k</math>
für alle <math>x \in H</math> gilt. Die <math>\lambda_k</math> sind für alle <math>k \in \N</math> die [[Eigenwert]]e von <math>T</math> und <math>e_k</math> ist ein [[Eigenvektor]] zu <math>\lambda_k</math>.

Falls zusätzlich <math>T</math> selbstadjungiert ist, das heißt <math>T =T^*</math>, dann sind alle Eigenwerte reell. Falls <math>T</math> zusätzlich positiv ist, das heißt <math>\langle Tx,x\rangle \geq 0</math> für alle <math>x \in H</math>, dann sind alle Eigenwerte positiv reell.

==== Spektralzerlegung allgemeiner kompakter Operatoren auf Hilberträumen ====

Ist allgemeiner <math>T \colon H_1 \to H_2</math> ein kompakter Operator auf den Hilberträumen <math>H_1</math> und <math>H_2</math>, dann kann man das obige Resultat auf die beiden Operatoren <math>|T| \colon H_1 \to H_1</math> und <math>|T^*| \colon H_2 \to H_2</math> anwenden (dabei ist für einen Operator <math>A</math> der Betrag <math>|A|</math> ein positiver (und daher selbstadjungierter) Operator, für den <math>|A|^2=A^*A</math> ist; dieser Operator existiert stets und er ist eindeutig).

Man erhält dann Orthonormalsysteme <math>e_1 , e_2, \ldots </math> von <math>H_1</math> und <math>f_1 , f_2, \ldots </math> von <math>H_2</math> sowie eine Nullfolge <math>(\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}}</math> in <math>\mathbb{K} \backslash \{0\}</math>, so dass
:<math>Tx = \sum_{k = 1}^\infty \lambda_k \langle x ,e_k\rangle f_k</math>
<math>x \in H_1</math> und
:<math>T^*y = \sum_{k = 1}^\infty \lambda_k \langle y ,f_k\rangle e_k</math>
für alle <math>y \in H_2</math> gilt.

Ähnlich wie oben sind dann <math>\lambda_k</math> die Eigenwerte von <math>|T|</math> und <math>|T^*|</math>, <math>e_k</math> die Eigenvektoren von <math>|T|</math> und <math>f_k</math> die Eigenvektoren von <math>|T^*|</math>.

=== Anwendung ===
Sei <math>G \subseteq \R</math> kompakt mit echt positivem [[Lebesgue-Maß]] und <math>k</math> stetig auf <math>G \times G</math>. Dann ist der durch
:<math> T x(t) = \int\limits_G k(t,s) x(s)\mathrm{d} s </math>
definierte [[Fredholmscher Integraloperator|Fredholmsche Integraloperator]] ein linearer kompakter Operator. Diese Aussage lässt sich mit Hilfe des [[Satz von Arzelà-Ascoli|Satzes von Arzelà-Ascoli]] beweisen.<ref>[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21381-3, S. 70</ref>

Viele Sätze zur Lösbarkeit von Integralgleichungen, wie die [[Fredholmsche Alternative]], setzen einen kompakten Operator voraus.

=== Schmidt-Darstellung und die Schatten-Klasse ===
{{Hauptartikel|Schatten-Klasse}}
Seien <math>H_1</math> und <math>H_2</math> Hilberträume und <math>T \colon H_1 \to H_2</math> ein kompakter Operator. Dann existieren abzählbare Orthonormalsysteme <math>(e_i)_{i \in \N}</math> von <math>H_1</math> und <math>(f_i)_{i \in \N}</math> von <math>H_2</math> sowie Zahlen <math>s_1 \geq s_2 \geq \ldots \geq 0</math> mit <math>s_k \to 0</math>, so dass
:<math>Tx = \sum_{k=1}^\infty s_k\langle x , e_k\rangle f_k</math>
für alle <math>x \in H_1</math> gilt. Diese Darstellung des kompakten Operators nennt man Schmidt-Darstellung und die Zahlen <math>s_i</math> sind im Gegensatz zu den Orthonormalsystemen eindeutig bestimmt und heißen singuläre Zahlen. Gilt <math>(s_i)_{i \in \N} \in \ell^p</math> für <math>1 \leq p < \infty</math>, so sagt man, dass <math>T</math> in der ''p''-ten Schatten-Klasse liegt. Ist <math>p=1</math>, so heißen die Operatoren [[Nuklearer Operator|nuklear]], und ist <math>p = 2</math>, so handelt es sich um einen [[Hilbert-Schmidt-Operator]]. Auf der Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren kann im Gegensatz zu den anderen Schatten-Klassen auf natürliche Weise eine Hilbertraumstruktur definiert werden.

=== Vollstetige Operatoren ===
{{Hauptartikel|Vollstetiger Operator}}
Seien <math>E</math> und <math>F</math> Banachräume, <math>K\colon E\to F</math> ein Operator. Dann heißt <math>K</math> vollstetig, falls für jede in <math>E</math> [[Schwache Konvergenz|schwach konvergente]] Folge <math>(x_n)</math> die Bildfolge <math>(K(x_n))</math> in <math>F</math> normkonvergent ist. Kompakte Operatoren sind vollstetig. Ist <math>E</math> reflexiv, so ist auch jeder vollstetige Operator kompakt.<ref>John B. Conway: ''A Course in Functional Analysis''. 2. Auflage. Springer, ISBN 0-387-97245-5, VI, §3</ref>

== Nichtlineare kompakte Operatoren ==

=== Definition ===
Seien <math>E</math> und <math>F</math> [[normierter Raum|normierte Räume]], <math>K\colon \Omega \subset E\to F</math> ein Operator. Dann heißt <math>K</math> kompakt, falls <math>K</math> stetig ist und das Bild jeder beschränkten Menge <math>S</math> in <math>\Omega</math> eine [[Relativ kompakt|relativkompakte]] Teilmenge von <math>F</math> ist. Die Menge der kompakten Operatoren wird hier mit <math>\mathcal{R}(E,F)</math> bezeichnet.

Man beachte, dass hier die Stetigkeit nicht wie im linearen Fall automatisch folgt, sondern explizit gefordert werden muss.

=== Approximation durch Operatoren mit endlichdimensionalem Bild ===
Seien <math>E</math> und <math>F</math> normierte Räume und <math>\Omega \subset E</math> eine beschränkte [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene Teilmenge]]. Mit <math>\mathcal{F}(\Omega,F)</math> wird der Raum der kompakten Operatoren <math>L</math>, deren Bild <math>L(\Omega)</math> in einem endlichdimensionalen [[Untervektorraum]] von <math>F</math> enthalten ist, bezeichnet. Sei <math>K \colon \Omega \to Y</math> ein kompakter Operator, dann existiert zu jedem <math>\epsilon > 0 </math> ein kompakter Operator <math>K_\epsilon \in \mathcal{F}(\Omega,F)</math>, so dass
:<math>\sup_{x \in \Omega} \|K(x) - K_\epsilon(x)\|_F < \epsilon</math>
gilt.
Das heißt, der Raum <math>\mathcal{F}(\Omega,F)</math> liegt bezüglich der [[Supremumsnorm]] <math>\textstyle \sup_{x \in \Omega} \|\cdot\|_F</math> [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Raum <math>\mathcal{R}(\Omega,F)</math> der kompakten Operatoren. Ist <math>F</math> ein [[Banachraum]], so gilt auch die Umkehrung. Das heißt, eine Folge von Operatoren aus <math>\mathcal{F}(\Omega,F)</math>, die bezüglich der Supremumsnorm konvergiert, hat als Grenzwert einen kompakten Operator. Also ist insbesondere der Raum <math>\mathcal{R}(\Omega,F)</math> der kompakten Operatoren mit beschränktem <math>\Omega</math> [[Vollständiger Raum|vollständig]].<ref>Klaus Deimling: ''Nonlinear Functional Analysis. 1''. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 55.</ref>

Man beachte, dass eine Approximation dieser Art immer möglich ist und nicht wie im oben geschilderten linearen Fall voraussetzt, dass der beteiligte Banachraum die Approximationseigenschaft hat.

=== Fixpunkttheorie ===
Viele nichtlineare [[Differentialgleichung|Differential-]] und [[Integralgleichung]]en kann man kurz als Gleichung <math>F(x) = y</math> schreiben, wobei <math>F \colon \Omega \to X</math> ein kompakter Operator ist. Für solche nichtlinearen Probleme existiert keine umfassende Lösungstheorie. Eine Möglichkeit, um die Gleichung auf Lösungen zu untersuchen, ist die [[Fixpunkttheorie]]. In diesem Zusammenhang sind zum Beispiel der [[Fixpunktsatz von Schauder]] oder die [[Leray-Schauder-Alternative]] zentrale Hilfsmittel, die die Existenz von Fixpunkten garantieren. Außerdem lässt sich zeigen, dass falls <math>\Omega \subset X</math> abgeschlossen und beschränkt ist, die Menge der Fixpunkte eines kompakten Operators kompakt ist.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Kompakter Operator - Versionsgeschichte

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