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Die '''kommutative Algebra''' ist das [[Teilgebiet der Mathematik]] im Bereich der [[Algebra]], das sich mit [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] sowie deren [[Ideal (Mathematik)|Idealen]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Algebra (Struktur)|Algebren]] befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]]. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind [[Polynomring]]e.

Als Begründer der kommutativen Algebra kann man [[David Hilbert]] nennen.<ref>{{Literatur |Autor=[[David Eisenbud]] |Titel=Commutative Algebra |Verlag=Springer Science+Business Media |Ort=New York |Datum=1995 |Sprache=en |DOI=10.1007/978-1-4612-5350-1}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Otto Toeplitz]] |Titel=Der Algebraiker Hilbert |Sammelwerk=Die Naturwissenschaften |Band=10 |Nummer=4 |Datum=1922-01 |ISSN=0028-1042 |DOI=10.1007/BF01591616 |Seiten=73–77}}</ref> Er scheint die ''Idealtheorie'' (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende [[Funktionentheorie]] ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von [[Computeralgebrasystem]]en haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Martin Kreuzer]], Lorenzo Robbiano |Titel=Computational Linear and Commutative Algebra |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2016 |ISBN=978-3-319-43599-2 |DOI=10.1007/978-3-319-43601-2}}</ref> Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf [[Leopold Kronecker]] zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von [[Emmy Noether]] in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.<ref>{{Internetquelle |autor=Noémie Combe |url=https://www.mpg.de/16548098/emmy-noether |titel="Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding" |hrsg=[[Max-Planck-Gesellschaft]] |sprache=en |abruf=2022-10-28}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=Emmy Noether |Sammelwerk=A History of Abstract Algebra |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2018 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-94772-3 |DOI=10.1007/978-3-319-94773-0_28 |Seiten=289–295}}</ref>

Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als [[nichtkommutative Algebra]] bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=[[Benson Farb]], [[R. Keith Dennis]] |Titel=Noncommutative Algebra |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=1993 |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=144 |ISBN=978-1-4612-6936-6 |DOI=10.1007/978-1-4612-0889-1}}</ref>

== Übliche Annahmen ==
In der kommutativen Algebra werden die Bezeichnungen ''Modul, Ring'' und ''Algebra'' üblicherweise in einem engeren Sinn benutzt:
* Alle Moduln sind [[Modul (Mathematik)#Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement|unitär]]: Wenn <math>1</math> das Einselement des Ringes ist, dann gilt für alle Elemente des Moduls:
:<math>1 \cdot m = m</math>
* Alle Ringe sind [[Unitärer Ring|unitär]] und [[kommutativ]].
* [[Homomorphismus|Homomorphismen]] zwischen [[Ring (Algebra)|Ringen]] bilden Einselemente auf Einselemente ab.
* Ein Unterring hat dasselbe Einselement wie der Oberring.
* Alle Algebren sind unitär, kommutativ und [[Assoziativgesetz|assoziativ]].

== Literatur ==

=== Skripte ===

* {{Literatur |Autor=Andreas Gathmann |Titel=Commutative Algebra |Ort= |Jahr=2014 |Sprache=en |Online=https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/commalg-2013/commalg-2013.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Dieter Neßelmann |Titel=Ringe und Moduln |Jahr=2005 |Sprache=de |Online=http://www.math.uni-rostock.de/~nesselmann/RingeModuln/Ringe_Moduln.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Pawel Sosna |Titel=Commutative Algebra |Jahr=2015 |Sprache=en |Online=https://www.math.uni-hamburg.de/home/sosna/commalg/commalgebra.pdf}}

=== Lehrwerke & Monografien ===
* {{Literatur |Autor=[[Oscar Zariski]], [[Pierre Samuel]] |Titel=Commutative Algebra Vol. I |Band=28 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1975 |Sprache=en |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=28 |ISBN=978-0-387-90089-6 |Online=https://link.springer.com/book/9780387900896}}
* {{Literatur |Autor=[[Oscar Zariski]], [[Pierre Samuel]] |Titel=Commutative Algebra Vol. II |Band=29 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1960 |Sprache=en |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=29 |ISBN=978-3-662-27753-9 |DOI=10.1007/978-3-662-29244-0}}
* [[Michael Francis Atiyah|Michael F. Atiyah]], [[Ian Macdonald|Ian G. MacDonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
* {{Literatur |Autor=Winfried Bruns, [[Jürgen Herzog (Mathematiker)|Jürgen Herzog]] |Titel=Cohen-Macaulay rings |Verlag=Cambridge University Press |Jahr=1993|Sprache=en |Reihe=Cambridge studies in advanced mathematics |BandReihe=39}}
* {{Literatur |Autor=[[David Eisenbud]] |Titel=Commutative Algebra |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Jahr=1995 |Sprache=en |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=150 |ISBN=978-3-540-78122-6 |DOI=10.1007/978-1-4612-5350-1}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Böhm |Titel=Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=2019 |ISBN=978-3-662-59481-0 |DOI=10.1007/978-3-662-59482-7}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4164821-3|LCCN=sh85029267}}

[[Kategorie:Kommutative Algebra| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Kommutative Algebra - Versionsgeschichte

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