imported>Dr. Markus Lepper: /* Kleiner und großer Halbton, Diaschisma und kleine Diësis */

2025-11-14T08:55:33Z

Kleiner und großer Halbton, Diaschisma und kleine Diësis

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{{Musikalische Intervalle}}
Unter einem '''Komma''' versteht man in der [[Musiktheorie]] ein kleines [[Intervall (Musik)|Intervall]] (wesentlich kleiner als ein [[Halbton]]), das sich als Differenz unterschiedlicher Kombinationen [[Reine Stimmung|reiner Intervalle]] ergibt. Der Begriff steht in enger Beziehung zu den Stimmungssystemen. Beim Versuch, eine möglichst große Anzahl musikalisch verwendbarer Töne und Intervalle zu gewinnen, werden stets ein oder mehrere Kommata ausgeglichen.

Besonders wichtig sind das ''[[Pythagoreisches Komma|pythagoreische]]'' und das ''[[Syntonisches Komma|syntonische Komma]]''. Das pythagoreische Komma wird anschaulich im [[Quintenzirkel]]: Die Aufeinanderreihung von 12 reinen Quinten führt [[Oktavierung|oktaviert]] zu einem Ton, der geringfügig höher ist als der Ausgangston. Das syntonische Komma ist der Unterschied der [[Ditonus|pythagoreischen]] zur reinen Terz: Die Aufeinanderreihung von 4 reinen Quinten führt oktaviert zu einem Ton, der geringfügig höher ist als der Ton im Abstand einer reinen Terz über dem Ausgangston.

== Übersicht ==
{| class="wikitable float-center" border="1" style="text-align:center"
|+ Die bekanntesten Kommata
! Name!! Entstehung!!Intervall in [[Eulersches Tonnetz|Eulerschreibweise]]!!ungefähre Größe
|-
| [[Pythagoreisches Komma]]|| 12 Quinten − 7 Oktaven ||Ges-Fis|| 23,460 Cent
|-
| [[Syntonisches Komma]] || 4 Quinten − gr. Terz − 2 Okt. ||,Fis-Fis|| 21,506 Cent
|-
| Schisma || 8 Quinten + gr. Terz − 5 Okt. = pyth. K. − synt. K. ||Ges-,Fis||  1,954 Cent
|-
| Diaschisma ||3 Oktaven − 4 Quinten − 2 gr. Terzen = 2*synt. K. − pyth. K. ||,Fis-’Ges|| 19,553 Cent
|-
| Kleine [[Diësis]] || Oktave − 3 gr. Terzen = 3*synt. K. − pyth. K.||,,Fis-’Ges|| 41,059 Cent
|-
| Große Diësis || 4 kl. Terzen − Oktave = 4*synt. K. − pyth. K. ||<nowiki>,,Fis-’’Ges</nowiki>|| 62,565 Cent
|-
|}


(Die in der zweiten Spalte genannten Intervalle sind die der [[Reine_Stimmung|reinen Stimmung]]. Die Cent-Angaben sind folglich nur Näherungen.)

== Pythagoreisches Komma ==
{{Hauptartikel|Pythagoreisches Komma}}
Zwölf reine [[Quinte]]n übereinandergelegt erreichen einen Ton, der von der siebten Oktave des Grundtons einen Abstand etwa eines viertel [[Halbton]]es hat, das pythagoreische Komma:

::<math>\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}}{2^7}=\frac{3^{12}}{2^{19}}=\frac{531441}{524288} \,\, \widehat \approx \, \text { 23,46 Cent}</math>

== Syntonisches Komma ==
{{Hauptartikel|Syntonisches Komma}}
Vier reine [[Quinte]]n (3/2) übereinandergelegt erreichen einen Ton, der von der zweiten Oktave des Grundtons einen Abstand von einer (großen) [[Pythagoreische Terz|pythagoreischen Terz]] hat. Diese Terz ist etwa um einen fünftel [[Halbton]], das syntonische Komma oder didymische Komma, größer ist als die [[Reine Stimmung|reine]] Terz.

Die [[pythagoreische Terz]] im Vergleich zur reinen Terz:

::<math> \text {pyth. Terz: } \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{4}}{2^2} = \frac{3^4}{2^6} = \frac{81}{64}
\,\, \widehat \approx \, \text { 407,82 Cent;}
\quad \text { reine Terz: } \frac{5}{4} \,\, \widehat \approx \, \text { 386,31 Cent.}
</math>

Das syntonische Komma:

::<math> \frac{81}{64} \cdot \frac{4}{5} = \frac{81}{80}
\,\, \widehat \approx \,\, (407{,}82 - 386{,}31) \text { Cent} = \text {21,51 Cent.}</math>

Der große [[Ganzton]] (9/8) unterscheidet sich vom kleinen Ganzton (10/9) um das syntonische Komma:

::<math> \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{10} = \frac{81}{80} \,\, \widehat \approx \text { 21,51 Cent.}</math>

== Schisma ==
Das '''Schisma''' (griechisch: σχίσμα „Trennung“) ist die Differenz: [[pythagoreisches Komma]] minus [[syntonisches Komma]]

::<math>= 23{,}46\;\mathrm{Cent} - 21{,}51\;\mathrm{Cent} = 1{,}95\;\mathrm{Cent.}</math>

Das [[Frequenz]]-Verhältnis errechnet sich zu

::<math> \frac {\left(\frac{3}{2}\right)^{12}} {2^7} : \frac{81}{80} = \frac{32\,805}{32\,768} \,\, \widehat \approx \,\, 1{,}9537\;\mathrm{Cent} </math> oder

<math>\text{Schisma} = \text{pythagoreisches Komma}-\text{syntonisches Komma}</math>
::<math>=(12\,\text{Quinten}-7\,\text{Oktaven})-(4\,\text{Quinten}-\text{große Terz}-2\,\text{Oktaven})</math>
::<math>=\text{große Terz} + 8\,\text{Quinten} - 5\,\text {Oktaven}</math>

Das Frequenz-Verhältnis errechnet sich dann ebenfalls zu

::::<math> \frac {5}{4} \cdot (\frac{3}{2})^{8}:2^5 =\frac{32\,805}{32\,768} \,\, \widehat \approx \,\, 1{,}9537\;\mathrm{Cent} </math>.

[[Andreas Werckmeister]] (''Musicalische Temperatur,'' Quedlinburg 1691) betrachtet das Schisma bei der Konstruktion seiner wohltemperierten Stimmungen: Geht man von h zwölf reine Quinten herab, so wird ein ces erreicht. Das sieben Oktaven höhere ''CES'' ist ein [[pythagoräisches Komma]] tiefer als das ausgängliche h. Geht man andererseits von h ein [[syntonisches Komma]] herab, so erhält man einen Ton ,h ''(Tiefkomma-h)'', der im reinen Durakkord g-,h-d vorkommt, und der nur um ein Schisma höher ist als ''CES''. Dieser Unterschied ist an der „Grenze der wahrnehmbaren Tonunterschiede“ (Siehe [[Reine Stimmung bei Tasteninstrumenten#Reinharmonium|Das Reinharmonium]]). Man kann also ,h mit ces identifizieren: ,h = ces, ebenso des = ,cis; es=,dis; ges=,fis; as = ,gis; b = ,ais usw.

<div style="border: 1px solid #D7C0DC; padding: 1em;">
Das Schisma sollte nicht mit dem zwölften Teil des pythagoreischen Kommas verwechselt werden (der für [[Stimmung (Musik)|Stimmungssysteme]] relevant ist), auch wenn sich die Zahlenwerte in [[Cent (Musik)|Cent]] ähneln:

::<math> \sqrt[12]{\frac{531441}{524288}} \,\, \widehat \approx \,\, 1{,}9550\;\mathrm{Cent} </math>.

</div>

== Kleine Diësis ==
In reiner Stimmung hat zum Beispiel Dis eine tiefere Tonhöhe als Es.
* Frequenzverhältnis D–E = <math> \frac{10}{9} </math> (kleiner Ganzton)
* Frequenzverhältnis D–Es = <math> \frac{16}{15} </math> ([[#Kleiner und großer Halbton, Diaschisma und kleine Diësis|diatonischer Halbton]])
* Frequenzverhältnis Dis–E = <math> \frac{16}{15} </math> (diatonischer Halbton)
* Frequenzverhältnis Dis–Es = <math> \frac{16}{15} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{16}{15} = \frac{128}{125} \,\, \widehat \approx \,\, 41{,}06 \; \mathrm{Cent} \approx \frac{1}{5} \; \mathrm {Ganzton}</math><ref>Genau: gleichstufiger Ganzton = 200 Cent. 1/5 Halbton = 40 Cent.</ref>
Man nennt dieses Intervall ''[[Diësis#Kleine Diësis|kleine Diësis]]'' (seltener enharmonisches Komma) = 1 Oktave − 3 große reine Terzen = 7 Oktaven − 12 mitteltönige Quinten.

Um die kleine Diësis unterscheiden sich in reiner Stimmung also Dis und Es, ebenso Gis und As und in mitteltöniger Stimmung Cis und Des, Dis und Es, Fis und Ges, Gis und As sowie Ais und B. (Bei einer 12-stufigen Tastatur muss man sich dann für jeweils eine Belegung entscheiden.)

== Große Diësis ==
Werden vier kleine Terzen aneinander gereiht, so ergeben diese in gleichstufig-temperierter Stimmung eine Oktave, in reiner Stimmung dagegen ein etwas größeres Intervall. Der Unterschied zur Oktave wird ''[[Diësis#Große Diësis|große Diësis]]'' genannt:

In C-Dur: C-Es-Ges-Heses-deses:

:<math>\begin{alignat}{2}
\text{große Diësis} & = \text{4 kleine Terzen}_\text{rein}&& - \text{Oktave}= 4 \cdot\text{syntonisches Komma}-\text{pythagoreisches Komma}\\
& \approx\text{ 62,565 Cent}
\end{alignat}</math>

== Diaschisma ==
In reiner Stimmung hat zum Beispiel Cis eine tiefere Tonhöhe als Des.
* Frequenzverhältnis C–D = <math> \frac{9}{8} </math> (großer Ganzton)
* Frequenzverhältnis C–Des = <math> \frac{16}{15} </math> ([[#Kleiner und großer Halbton, Diaschisma und kleine Diësis|diatonischer Halbton]])
* Frequenzverhältnis Cis–D = <math> \frac{16}{15} </math> (diatonischer Halbton)
* Frequenzverhältnis Cis–Des = <math> \frac{16}{15} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{16}{15} = \frac{2048}{2025} \,\, \widehat \approx \,\, 19{,}55 \; \mathrm{Cent} \approx \frac{1}{5} \; \mathrm{Halbton}</math>
Man nennt dieses Intervall ''Diaschisma'' = 3 Oktaven − 4 Quinten − 2 gr. Terzen.

Um das Diaschisma unterscheiden sich in reiner Stimmung auch Fis und Ges sowie Ais und B.
== Kleiner und großer Halbton, Diaschisma und kleine Diësis ==
Erweitert man die rein gestimmte C-Dur-/c-Moll-Tonleiter um den Ton ,Cis<ref>Hier wird die [[Eulersches Tonnetz|Eulerschreibweise]] verwendet.</ref>, der bei Modulation nach D-Dur auftritt, um den Ton ,,Dis, der bei Modulation nach ,E-moll auftritt und um den Ton 'Des des [[Neapolitanischer Sextakkord|Neapolitaners]], so erhält man folgende Intervalle:

C ,Cis 'Des D ,,Dis 'Es ,E F
135/128 2048/2025 135/128 25/24 128/125 25/24 16/15
≈92 Cent ≈20 Cent ≈92 Cent ≈71 Cent ≈41 Cent ≈71 Cent ≈112 Cent
In der ersten Zeile steht der Tonname, in der zweiten das Frequenzverhältnis benachbarter Töne und in der dritten dessen angenäherte Größe in Cent.

Die Intervalle sind:
*'''Diatonischer [[Halbton]]''' = ,E–F ≈ 111,7 Cent, Frequenzverhältnis 16/15,
*'''Großer chromatische Halbton''' = C–,Cis = 'Des–D ≈ 92,2 Cent, Frequenzverhältnis 135/128,
*'''Kleiner Chromatischer Halbton''' = D–,,Dis = 'Es–,E ≈ 70,7 Cent, Frequenzverhältnis 25/24,
Die Töne der "schwarzen Tasten" sind dabei nicht enharmonisch verwechselbar, sie unterscheiden sich folgendermaßen:
*'''Diaschisma''' = ,Cis–'Des ≈ 19,6 Cent, Frequenzverhältnis 2048/2025 und
*'''kleine Diësis''' = ,,Dis–'Es ≈ 41,1 Cent, Frequenzverhältnis 128/125.

== Septimales Komma ==
Als Septimales oder Leipziger Komma wird das ca. 27,26 Cent große Intervall mit dem Schwingungsverhältnis 64:63 bezeichnet, das zwischen
* der [[Naturseptime]] (7:4 ca. 968,82 Cent) und
* der kleinen Septime der reinen Stimmung (16:9 ca. 996,08 Cent)
liegt.

== Geschichtliche Einordnung ==
In [[Euklid]]s ''Teilung des Kanons'', in dem das theoretische Wissen über Musik der damaligen Zeit (ca. 3. Jahrhundert v. Chr.) zusammengefasst wird, kann man als Satz 14 nachlesen: „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne.“ Dabei ist die Oktave das Intervall mit der Proportion (heutige Interpretation: Frequenzverhältnis) 2:1 und der Ganzton das Intervall mit der Proportion 9:8. Die Differenz ''(sechs Ganztöne − Oktave)'' bezeichnet man als pythagoreisches Komma. Dessen Proportion wird bei Euklid zu 531441:524288 angegeben (allerdings kommt der Terminus κόμμα bei Euklid nicht vor).

Erst mit Aufkommen der mehrstimmigen Musik in Renaissance und Barock spielten die Kommata, besonders für das Stimmen von Tasteninstrumenten, bei denen nur 12 Tonstufen in der Oktave vorhanden waren, eine entscheidende Rolle. Es wurde eine Vielzahl von [[Stimmung (Musik)#Überblick über die Stimmungssysteme|Stimmungssystemen]] entwickelt, in denen die Kommata unterschiedlich auf die Tonstufen verteilt wurden.

== Siehe auch ==
* [[Cent (Musik)|Cent]]
* [[Reine Stimmung]]
* [[Mitteltönige Stimmung]]
* [[Pythagoreische Stimmung]]
* [[Gleichstufige Stimmung]]
== Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Intervall]]
[[Kategorie:Stimmung (Musik)]]

Komma (Musik) - Versionsgeschichte

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