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2023-09-14T05:21:21Z

Interpunktion

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Der '''Kolm-Index''' ist ein [[Ungleichheitsmaß]] zur Beschreibung der absoluten Konzentration, das nach dem französischen Ökonomen und Ökonometriker [[Serge-Christophe Kolm]] benannt ist.

== Definition ==

Sei <math>N</math> die Anzahl der Einkommen, so dass <math>N = n \cdot m</math> gilt. Hierbei gibt <math>n</math> die Anzahl verschiedener Einkommen an und jedes Einkommen hat <math>m</math> Empfänger (Einkommensbezieher). Die Zahl gleicher Paare mit einem gegebenen Einkommen beträgt:

: <math>\frac{m \cdot (m - 1)}{2}</math>

und die Gesamtanzahl gleicher Einkommen wäre:

: <math>\frac{n \cdot m \cdot (m - 1)}{2}\, .</math>

Offensichtlich wäre die Gesamtzahl aller Paare:

: <math>\frac{N \cdot (N - 1)}{2} - \frac{n \cdot m \cdot (n \cdot m - 1)}{2}\, .</math>

Dabei kann man an einen ''‚Gleichheitsindex‘'' in der Form des Terms:

: <math>\frac{n \cdot m \cdot (m - 1)}{n \cdot m (n \cdot m - 1)} = \frac{m - 1}{N - 1}</math>

denken. Folglich errechnet sich das Ungleichheitsmaß durch [[Subtraktion]] von <math>1</math>:

: <math>\frac{1 - (m - 1)}{N - 1} - \frac{N - m}{N - 1} = \frac{m \cdot (n - 1)}{n \cdot m - 1} = \frac{n \cdot m - m}{n \cdot m - 1}\, .</math>

Wenn das Einkommen <math>x_1</math> <math>f_i</math> Bezieher hat, lautet der Index wie folgt:

: <math>K = 1 - \frac{\sum f_i^2 - N}{N \cdot (N - 1)} = \frac{N^2 - \sum f_i^2}{N \cdot (N - 1)}\, .</math>

Kolm definierte 1976 den Index folgendermaßen:

: <math>K = \frac{1}{\kappa} \cdot \ln \left[\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n} e^{\kappa \left(\mu - y_i\right)}\right]\, ;\quad \kappa > 0\, ,</math>

wobei <math>\kappa</math> die [[Ungleichheitsaversion]] angibt.

== Motivation ==

Kolms Intention, diesen kuriosen Index zu entwickeln, begründet sich seiner Meinung nach darin, sich eine Vorstellung davon zu bilden, dass viele simple (Rechen-)Wege bestehen, sich einem Ungleichverteilungsmaß zu nähern.

== Literatur ==

* Serge-Christophe Kolm: ''Unequal inequalities I and II.'' Journal of Economic Theory 12 u. 13. 1976. S. 416–442 u. 82–111.
* Serge-Christophe Kolm: ''Intermediate measures of inequality.'' Technical report, CGPC, 1996.

== Weblinks ==

* Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/[[Indira Gandhi National Open University]]): ''[http://www.egyankosh.ac.in/bitstream/123456789/25847/1/Unit-11.pdf Unit 11: Measures of Inequality]'' – PD/gemeinfrei (PDF-Datei; 3,34 MB).

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Wirtschafts- und Sozialstatistische Kennzahl]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]

Kolm-Index - Versionsgeschichte

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