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Mit '''Kollineation''' bezeichnet man in den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebieten]] [[Geometrie]] und [[lineare Algebra]] eine [[Bijektivität|bijektive]] [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] eines [[Affiner Raum|affinen]] oder [[Projektiver Raum|projektiven]] Raumes auf sich selbst, bei der jede Gerade auf eine Gerade abgebildet wird, die also '''geradentreu''' ist. Die Menge der Kollineationen eines Raumes bildet eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], insbesondere sind die [[Umkehrfunktion|Umkehrungen]] von Kollineationen stets Kollineationen.

[[Datei:Nonaffine collineation ofQsqrt2.svg|mini|Das Bild zeigt eine Kollineation der affinen Ebene über dem [[Quadratischer Zahlkörper|quadratischen Zahlkörper]] <math>K=\Q(\sqrt{2})</math>. Obwohl eine [[Affine Koordinaten|affine Punktbasis]] (blaue Punkte <math>O,E_1,E_2</math>) der Ebene durch die Kollineation fixiert wird, werden unendlich viele Punkte nicht fixiert, sondern am Ursprung <math>O</math> [[Punktspiegelung|gespiegelt]]: die Punkte <math>X,Y</math> und alle rationalen Linearkombinationen <math>(a\cdot\sqrt{2},b\cdot \sqrt{2}), a,b\in\Q\setminus\{0\}.</math>]]

Damit fällt der Begriff für eindimensionale Räume mit dem Begriff der ''Bijektion'' der betreffenden Geraden zusammen. Daher werden meist nur Kollineationen auf mindestens zweidimensionalen Räumen studiert.

Gelegentlich wird der Begriff ''Kollineation'' auch für eine bijektive oder auch nur [[Injektivität|injektive]] geradentreue Abbildung eines affinen oder projektiven Raumes in einen ''anderen'' Raum benutzt<ref>{{Literatur |Autor=G. Fischer |Titel=Analytische Geometrie |Datum=1992 |Seiten=163}}</ref>. Der vorliegende Artikel befasst sich ausschließlich mit Kollineationen, die geradentreue, bijektive ''Selbst''abbildungen eines Raumes sind.

→ In einem allgemeineren Sinn werden auch die Automorphismen endlicher [[Inzidenzstruktur]]en als ''Kollineationen'' bezeichnet. Siehe dazu [[Endliche Geometrie#Automorphismen]].

== Kollineationen in der synthetischen Geometrie ==
In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] werden in der Regel Kollineationen auf zweidimensionalen Räumen (Ebenen) untersucht. Da für die [[Satz von Desargues|nichtdesargueschen Ebenen]] die Gruppe der [[Affinität (Mathematik)|Affinitäten]] bzw. [[Projektivität]]en oft nicht reichhaltig genug ist, um die Struktur der Ebene zu untersuchen, tritt hier die Gruppe der Kollineationen an deren Stelle. In einer abstrakten [[Inzidenzgeometrie]] bildet diese Gruppe die charakteristische [[Automorphismengruppe]], da hier die „Lage von Punkten auf einer gemeinsamen Geraden ([[Kollinear]]ität)“ die einzige Struktur auf dem Raum und damit – im Sinne des [[Erlanger Programm]]s – die einzige den Raum, also hier die Ebene, charakterisierende [[Invariante (Mathematik)|Invariante]] ist.

=== Ebenentreue Kollineationen und geometrische Automorphismen ===
[[Datei:Complanarity.svg|mini|Ein Punkt D in einem Raum mit mehr als 2 Punkten auf jeder Geraden liegt genau dann in der Ebene, die durch ein Dreieck ABC bestimmt ist, wenn die Verbindungsgerade DE von D mit einem Punkt E auf der Geraden AB, der aber weder gleich A noch gleich B ist, wenigstens eine der Dreiecksseiten (Geraden!) BC oder AC in einem Punkt <math>F\neq E</math> schneidet. Damit lässt sich für affine und projektive Geometrien mit mehr als 2 Punkten auf jeder Geraden „Ebenentreue“ auf „Geradentreue“ zurückführen.]]

* Jede Kollineation <math>\kappa</math> einer affinen Ebene ist ''parallelentreu'', das heißt, für zwei Geraden <math>g,h</math> der Ebene gilt <math>g\parallel h \Leftrightarrow \kappa(g)\parallel \kappa(h)</math>.
* Eine Kollineation einer mindestens dreidimensionalen [[Affine Geometrie|affinen Geometrie]] ist genau dann parallelentreu, wenn sie ''ebenentreu'' ist, das heißt, wenn die Bilder von vier beliebigen [[Komplanarität|komplanaren]] Punkten stets komplanar sind.<ref name="Scheja">G. Scheja, U. Storch: ''Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra.'' 1994.</ref>
* Eine Kollineation einer affinen Geometrie mit mehr als 2 Punkten auf jeder Geraden oder einer beliebigen [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] ist stets ebenentreu.<ref name="Scheja" /> Vergleiche die Abbildung rechts und das [[#Räume mit zwei Punkten auf jeder Geraden|Beispiel der Ordnung 2]] weiter unten.
* Eine ebenentreue Kollineation ist stets ein ''geometrischer Automorphismus'' des Raumes, das heißt, sie bildet jeden Unterraum auf einen Unterraum der gleichen Dimension ab.<ref name="Scheja" /> Umgekehrt ist natürlich jeder geometrische Automorphismus eine ebenentreue Kollineation.
* Eine „Bijektion durch Basiswechsel bei gleichen Koordinaten“, d. h. eine Abbildung des mindestens zweidimensionalen Punktraumes, bei der jeder Punkt auf einen Punkt mit den gleichen Koordinaten (aus einem [[Ternärkörper]] im Fall einer Ebene, aus einem [[Schiefkörper]] im Fall eines mindestens dreidimensionalen Raumes), jeder Unterraum auf einen Unterraum mit den gleichen Koordinatengleichungen abgebildet wird, aber Koordinaten und Gleichungen auf eine andere Punktbasis bezogen werden, ist eine ebenentreue Kollineation und damit ein geometrischer Automorphismus
** im Falle einer mindestens zweidimensionalen affinen Geometrie,
** im Falle einer mindestens dreidimensionalen projektiven Geometrie und
** im Falle einer [[Moufangebene]].
* Umgekehrt existieren aber im Allgemeinen ebenentreue Kollineationen, die sich nicht durch einen Basiswechsel bei „Koordinatenidentität“ darstellen lassen.
* Jede ebenentreue Kollineation einer mindestens zweidimensionalen affinen Geometrie lässt sich eindeutig zu einer Kollineation in ihrem projektiven Abschluss fortsetzen. Dort ist dann die Fernhyperebene eine Fixhyperebene der projektiven Kollineation.
* Umgekehrt entspricht einer Kollineation in einer mindestens zweidimensionalen projektiven Geometrie genau dann eine ebenentreue Kollineation der affinen Geometrie, die durch Schlitzen der projektiven Geometrie entsteht, wenn längs einer Fixhyperebene der Kollineation geschlitzt wird.
* Wichtig für die synthetische Geometrie, insbesondere für das Studium der nichtdesarguesschen projektiven Ebenen, sind die ''zentralen'' oder ''axialen'' Kollineationen, die ''ebenen [[Projektive Perspektivität|Perspektivitäten]]''. Diese Kollineationen erzeugen die Untergruppe der Projektivitäten innerhalb der Kollineationsgruppe einer projektiven Ebene. Die Projektivitäten bilden sogar einen [[Normalteiler]] dieser Kollineationsgruppe.

== Kollineationen verallgemeinern geometrische Abbildungen ==
In der synthetischen wie in der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] verallgemeinert ''Kollineation'' Abbildungsbegriffe, bei denen zusätzliche Invarianten gefordert werden:
# Eine Kollineation eines beliebigen affinen Raumes endlicher Dimension <math>n>2</math>, in dem jede Gerade mehr als zwei Punkte hat,<ref name="Sonderfall" /> ist genau dann eine ''[[Affinität (Mathematik)|Affinität]]'', wenn sie zusätzlich [[teilverhältnis]]treu ist.
# Eine Kollineation einer ''desargueschen'' affinen Ebene ist genau dann eine Affinität, wenn sie zusätzlich teilverhältnistreu ist.
# Eine Kollineation einer beliebigen affinen Ebene ist genau dann eine Affinität, wenn jede ihrer Einschränkungen auf eine Gerade der Ebene sich als [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] von endlich vielen bijektiven [[Parallelprojektion]]en darstellen lässt.
# Eine Kollineation eines mindestens dreidimensionalen projektiven Raumes endlicher Dimension ist genau dann eine ''[[Projektivität]]'', wenn sie zusätzlich [[doppelverhältnis]]treu ist.
# Eine Kollineation einer ''desargueschen'' projektiven Ebene ist genau dann eine ''Projektivität'', wenn sie zusätzlich doppelverhältnistreu ist.<ref name="Schaal_198">H. Schaal: ''Lineare Algebra und analytische Geometrie.'' Band II, 1980, S. 198.</ref>
# Eine Kollineation einer beliebigen projektiven Ebene ist genau dann eine Projektivität, wenn sie sich als Komposition von endlich vielen [[Projektive Perspektivität|projektiven Perspektivitäten]] darstellen lässt.
Affinitäten und Projektivitäten sind immer spezielle Kollineationen. Sie bilden in allen Fällen eine [[Untergruppe]] und sogar einen [[Normalteiler]] der Gruppe aller (ebenentreuen<ref name="Sonderfall" />) Kollineationen des Raumes, sofern dieser mindestens zweidimensional ist.

== Kollineationen in der linearen Algebra, Koordinatendarstellung {{Anker|Koordinatendarstellung}} ==
Kollineationen auf [[Affiner Raum|affinen]] und [[Projektiver Raum|projektiven Räumen]] endlicher Dimension <math>n>1</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]], allgemeiner sogar über einem [[Schiefkörper]], können durch [[Affinität (Mathematik)|Affinitäten]] bzw. [[Projektivität]]en und einen (Schief-)Körperautomorphismus <math>\sigma</math> des Koordinatenbereiches ausgedrückt werden. In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] beschränkt man sich in der Regel auf [[Kommutativgesetz|kommutative]] Schiefkörper, also ''Körper'' als Koordinatenbereiche. Sei <math>K</math> ein Körper oder Schiefkörper, dann gilt:
# Jede Kollineation <math>\kappa</math> eines endlich- aber mindestens 2-dimensionalen affinen Raumes über <math>K</math> <math>(|K|>2)</math><ref name="Sonderfall">Die Aussagen bleiben auch im Sonderfall des Körpers <math>K=\Z / 2\Z</math> gültig, wenn man von einer „Kollineation“ in diesem Fall zusätzlich Ebenentreue verlangt, siehe die Abschnitte [[#Ebenentreue Kollineationen und geometrische Automorphismen]] und [[#Räume mit zwei Punkten auf jeder Geraden]].</ref> besitzt bezüglich eines fest gewählten [[Affine Koordinaten|affinen Koordinatensystems]] eine eindeutige Darstellung als [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] <math>\kappa =\alpha \circ \sigma</math>. Dabei wird zunächst der Automorphismus <math>\sigma</math> auf die Koordinaten eines Punktes angewandt und anschließend die Affinität <math>\alpha</math> auf den neuen Koordinatenvektor.
# Jede Kollineation <math>\kappa</math> eines endlich- aber mindestens 2-dimensionalen projektiven Raumes über <math>K</math> besitzt bezüglich eines fest gewählten [[Projektives Koordinatensystem|projektiven Koordinatensystems]] eine eindeutige Darstellung als Komposition <math>\kappa =\pi \circ \sigma</math>. Dabei wird zunächst der Automorphismus <math>\sigma</math> auf die Koordinaten eines Punktes angewandt und anschließend die Projektivität <math>\pi</math> auf den neuen Koordinatenvektor.
# Insbesondere induziert jeder nichtidentische (Schief-)Körperautomorphismus <math>\sigma</math> von <math>K</math> eine affine bzw. projektive Kollineation <math>\mathrm{id}_R\circ \sigma</math> des Raumes <math>R</math>, die vom gewählten Koordinatensystem abhängt und keine Affinität bzw. Projektivität ist.
In beiden Darstellungen ist der Automorphismus <math>\sigma</math> unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Das Teil- bzw. Doppelverhältnis <math>t</math> von Punkten, das koordinatenunabhängig ist, wird zu <math>\sigma (t)</math>, wenn auf die Punkte die Kollineation <math>\kappa</math> angewendet wird.

=== Folgerungen ===
* Eine Kollineation <math>\kappa</math> eines endlichdimensionalen desarguesschen Raumes ist bereits dann eine Affinität bzw. Projektivität,
** wenn die Kollineation die Teil- bzw. Doppelverhältnisse bei allen Punkten auf ''einer'' Geraden des Raumes unverändert lässt oder
** wenn die Kollineation eine [[Fixpunktgerade]] hat.
* Jede Kollineation <math>\kappa</math> auf einem mindestens zweidimensionalen, desarguesschen affinen Raum ''A'' induziert eine durch <math>\kappa</math> eindeutig bestimmte bijektive [[Semilineare Abbildung|semilineare Selbstabbildung]] des Raumes ''V'' der Verbindungsvektoren, eines endlichdimensionalen Linksvektorraums. Daraus folgt dann, dass die Kollineation bezüglich einer fest gewählten Punktbasis von ''A'' eindeutig als <math>\kappa(\overrightarrow{x})=T\cdot \sigma(\overrightarrow{x})+\overrightarrow{v_0}</math> durch eine [[reguläre Matrix]] ''T'', den Automorphismus <math>\sigma</math> und den Verschiebungsanteil <math>\overrightarrow{v_0}=\kappa(O)</math> dargestellt werden kann.
* Jede Kollineation <math>\kappa</math> auf einem mindestens zweidimensionalen, desarguesschen projektiven Raum ''P'' induziert eine durch <math>\kappa</math> eindeutig bestimmte bijektive semilineare Selbstabbildung des Koordinatenvektorraums ''V'', eines endlichdimensionalen Linksvektorraums. Daraus folgt dann, dass die Kollineation bezüglich einer fest gewählten Punktbasis von ''P'' als <math>\kappa(\overrightarrow{x})=T\cdot \sigma(\overrightarrow{x})</math> durch eine reguläre, bis auf skarare Vielfache eindeutige Matrix ''T'' und den Automorphismus <math>\sigma</math> dargestellt werden kann.
Auch für diese Folgerungen müssen die affinen Räume über dem Körper <math>\Z / 2\Z</math> ausgenommen werden: Ist die Dimension des Raumes größer oder gleich drei, dann treffen diese Aussagen im Allgemeinen hier ''nicht'' zu!

== Kollineationen in der projektiven Geometrie ==
Jede Kollineation eines projektiven Raumes der Dimension größer oder gleich 2 ist eine [[semilineare Abbildung]]. Man hat also für <math>\dim P(V)\ge 2</math>
:<math>\operatorname{Coll}(P(V))=\operatorname{P\Gamma L}(V)</math>
für die Gruppe der Kollineationen <math>\operatorname{Coll}(P(V))</math> und die [[projektive semilineare Gruppe]] <math>\operatorname{P\Gamma L}(V)</math>.

== Beispiele ==
=== Räume mit mindestens 3 Punkten auf jeder Geraden ===
Die in den folgenden Beispielen betrachteten Räume sind immer affine Räume über einem Körper mit mehr als zwei Elementen<ref name="Sonderfall" /> bzw. projektive Räume über einem beliebigen Körper, die Dimension der Räume ist endlich, aber mindestens 2, ''Verhältnis'' bezeichnet das Teil- bzw. Doppelverhältnis:
* Die Komposition der [[Komplexe Konjugation|Konjugation]] und einer Projektivität eines komplexen projektiven Raumes wird als '''Antiprojektivität'''<ref name="Schaal_198" /> bezeichnet. Alle Kollineationen in den projektiven Räumen <math>\Complex P^{n}</math> sind entweder Projektivitäten oder Antiprojektivitäten.
* Kollineationen auf affinen oder projektiven Räumen über einem Körper <math>K</math>, dessen einziger Automorphismus die [[Identische Abbildung|Identität]] ist, sind stets Affinitäten bzw. Projektivitäten. Solche Körper sind alle [[Primkörper]], also die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb{Q}</math> und alle [[Restklassenkörper]] <math>\Z / p\Z</math> mit <math>p</math> [[Primzahl]].
** Gleiches gilt für die Kollineationen auf Räumen über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] und allgemeiner für Räume über beliebigen [[Euklidischer Körper|euklidischen Körpern]], denn diese Körper besitzen wie die Primkörper keine nichtidentischen Automorphismen. – Durch die Gleichwertigkeit der Aussagen „<math>a\geq0</math>“ und „<math>a=x^2</math> ist lösbar“ ist ihre natürliche [[Geordneter Körper|Anordnung]] eine ''algebraische'' Invariante!
* Obwohl Kollineationen im Allgemeinen nicht verhältnistreu sind, bleiben Verhältnisse erhalten, die im Primkörper eines Körpers liegen. Ist die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] eines Körpers <math>K</math> nicht 2, dann gilt zum Beispiel:
** In affinen Räumen über <math>K</math> wird die Mitte einer Strecke (im Sinne eines geordneten Punktepaars) bei jeder Kollineation auf die Mitte der Bildstrecke abgebildet,
** in projektiven Räumen über <math>K</math> bleibt die [[Harmonische Teilung|harmonische Lage]] von vier kollinearen Punkten erhalten.

=== Räume mit zwei Punkten auf jeder Geraden ===
[[Datei:3dim space over F2.svg|mini|Der dreidimensionale affine Raum über dem zweielementigen Körper K. Es sind alle 8 Punkte, aber nur 14 der 28 Geraden dieses Raumes dargestellt. Die Abbildung, die die Punkte C und F (grün) vertauscht und alle 6 anderen Punkte fest lässt, ist eine Kollineation, die weder parallelentreu noch ebenentreu ist. Die Geraden CH und FH werden vertauscht (rot), während 2 der 3 anderen Parallelen ihrer jeweiligen Schar fix bleiben. Die Ebene <math>\{A,C,H,E\}</math> wird auf die Menge <math>\{A,F,H,E\}</math> abgebildet, die keine Ebene ist.]]

Jede <math>n</math>-dimensionale affine Geometrie (<math>n\geq 1</math>) mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden ist ein affiner Raum über dem [[Restklassenkörper]] <math>K=\Z / 2 \Z</math>. Dies sind für <math>n\geq 2</math> durchweg desarguesche affine Geometrien, aber das übliche Teilverhältnis ist degeneriert, da es ja gar keine Tripel von ''verschiedenen'' kollinearen Punkten gibt. In diesen speziellen Fällen gilt:<ref name="Scheja" />
* Die Gruppe der geradentreuen Bijektionen der Punktmenge (also der Kollineationen) ist gleich der Gruppe ''aller'' Bijektionen der Punktmenge, also isomorph zur [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_{2^n}</math>, denn die Geradenmenge besteht genau aus allen zweielementigen Punktmengen.
* Für <math>n=1;2</math> trifft dies auch für die Gruppe der Affinitäten zu.
* Für <math>n\geq 3</math> fordert man häufig für Kollineationen zusätzlich Ebenentreue, also dass jeder zweidimensionale Unterraum der Geometrie auf einen zweidimensionalen Unterraum abgebildet werde.
* Mit diesem eingeschränkten Kollineationsbegriff gilt dann:
:: Jede ebenentreue Kollineation ist eine Affinität im Sinne der linearen Algebra und umgekehrt.
Dagegen ist die Gruppe der Affinitäten (sie hat <math>2^n\cdot (2^n-2^0)\cdot (2^n-2^1)\cdots (2^n-2^{n-1})</math> Elemente, vergleiche [[Lineare Gruppe]]) für <math>n\geq 3</math> eine ''echte'' Untergruppe der <math>S_{2^n}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Walter Benz
|Hrsg=Gerd Fischer
|Titel=Ein Jahrhundert Mathematik, 1890-1990
|TitelErg=Festschrift zum Jubiläum der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|DMV]]
|Reihe=Dokumente zur Geschichte der Mathematik
|BandReihe=6
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1990
|ISBN=3-528-06326-2
|Kommentar=Enthält viele Hinweise zur Geschichte des Begriffs „Kollineation“ und damit zusammenhängender Begriffe, auch weiterführende Literaturhinweise}}
* {{Literatur
|Autor=Wendelin Degen, Lothar Profke
|Titel=Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie
|Auflage=1.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1976
|ISBN=3-519-02751-8
|Kommentar=Zur Bedeutung des Kollineationsbegriffs für die „Elementar-“ und die Schulgeometrie}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Analytische Geometrie
|Auflage=6., überarbeitete
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig u. a.
|Datum=1992
|ISBN=3-528-57235-3
|Kommentar=Ausführliche Beschreibung der Koordinatendarstellung beliebiger Kollineationen von projektiven Räumen über Körpern}}
*{{Literatur
|Autor=[[Günter Pickert]]
|Titel=Projektive Ebenen
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg / New York
|Datum=1975
|ISBN=3-540-07280-2
|Kommentar=Zur Struktur der Kollineationsgruppe}}
* {{Literatur
|Autor=Hermann Schaal
|Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie
|Band=2
|Auflage=2., durchgesehene
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1980
|ISBN=3-528-13057-1
|Kommentar=Zusammenhang zwischen Kollineationen und [[Korrelation (Projektive Geometrie)|Korrelationen]], hauptsächlich für den Fall einer zwei- oder dreidimensionalen reellen Geometrie}}
* {{Literatur
|Autor=Günter Scheja, Uwe Storch
|Titel=Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra
|Auflage=2., überarb. und erw.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1994
|ISBN=3-519-12203-0
|Kommentar=In diesem Lehrbuch werden die Sonderfälle, die bei Körpern der Charakteristik 2 auftreten, eingehender diskutiert}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Projektive Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Kollineation - Versionsgeschichte

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