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2024-08-28T04:51:20Z

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Ein '''kollektives Modell''' oder ''kollektives Risikomodell'' ist ein Paar zweier [[Zufallsvariable]]n mit großer Anwendung in der [[Versicherungsmathematik]].

== Definition ==
Sei <math>N</math> eine Zufallsvariable mit <math>P(N \in \N_0) =1</math> und <math>(X_n)_{n \in \N}</math> eine Folge von reellen stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, dann heißt das Paar <math>\left( N,(X_n)_{n \in \mathbb{N}} \right) </math> ''kollektives Modell''. Meistens sind die Zufallsvariablen <math>X_n</math> nichtnegative Zufallsvariablen.

== Interpretation ==

Eine mögliche Interpretation hat große Bedeutung in der [[Schadensversicherungsmathematik]], wenn man einen homogenen Bestand an Risiken betrachtet. Hierbei interpretiert man <math>N</math> als die zufällige ''Anzahl aller Schäden'', die in einem Zeitabschnitt eingetreten sind, und <math>X_i</math> als die ''Schadenhöhe'' die der <math>i</math>-te Schaden verursacht hat.

Allerdings ist bei der Verwendung in der Praxis Vorsicht geboten, da alle Zufallsvariablen als unabhängig voneinander verteilt angenommen werden, was in der Praxis nicht immer der Fall sein muss.

Das kollektive Modell ist eine Verallgemeinerung des individuellen Modells.

Weiterhin ist es in der Versicherungsmathematik sinnvoll einen ''Gesamtschaden'' <math>S: \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> zu definieren:

:<math>S := \sum_{n=0}^{\infty} \chi_{\{\omega \in \Omega | N(\omega) = n\}}\sum_{i=1}^n X_i = \sum_{i=1}^N X_i </math>
<math>S</math> selbst ist dann wieder eine Zufallsvariable, die durch das zu Grunde liegende kollektive Modell beschrieben wird.
== Eigenschaften ==
* Die [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsverteilung]] des Gesamtschadens <math>S</math> ist eine [[Mischverteilung]], wobei die Verteilung von <math>N</math> die mischende Verteilung ist.
* Die Verteilungsfunktion <math>F_S</math> von <math>S</math> ergibt sich als
::<math> F_S(x) = P(S \leq x ) = \sum_{n=0}^\infty P(S \leq x \mid N = n) P(N=n) = \sum_{n=0}^\infty F^{*n}(x) P(N=n) \;.</math>
:Dabei bezeichnet <math>F^{*n}</math> die Verteilungsfunktion von <math>\sum_{i=1}^n X_i</math>.<ref>{{Literatur |Autor=R. Kaas et al. |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |Seiten=44}}</ref> Da die <math>X_i</math> stochastisch [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilt]] sind, ist die Verteilung von <math>\sum_{i=1}^n X_i</math> die <math>n</math>-fache [[Faltung (Stochastik)|Faltung]] der Verteilung von <math>X_1</math>.
* Wenn <math>X_1</math> den [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> hat, dann ist
::<math> \operatorname E[S] = \mu \operatorname E[N]</math>
:der Erwartungswert von <math>S</math>.<ref>{{Literatur |Autor=R. Kaas et al. |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |Seiten=42}}</ref>
* Wenn <math>X_1</math> den Erwartungswert <math>\mu</math> und die endliche [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math> hat, dann ist
::<math> \operatorname{Var}[S] = \sigma^2 \operatorname E[N] + \mu^2 \operatorname{Var}[N]</math>
:die Varianz von <math>S</math>.<ref>{{Literatur |Autor=R. Kaas et al. |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |Seiten=43}}</ref>
* Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von <math>S</math> kann in bestimmten Fällen mit dem [[Panjer-Algorithmus]] rekursiv berechnet werden.<ref>{{Literatur |Autor=R. Kaas et al. |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |Seiten=49–54}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Rob Kaas, Marc Goovaerts, Jan Dhaene, Michael Denuit |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |TitelErg=Using R |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-70992-3 |DOI=10.1007/978-3-540-70998-5 |Fundstelle=Chapter 3: Collective Risk Models, S. 41–86}}
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Versicherungsmathematik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=978-3-540-42731-5 |DOI=10.1007/978-3-662-10783-6}}

== Siehe auch ==
* [[Panjer-Algorithmus]]
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Versicherungsmathematik]]
[[Kategorie:Wirtschafts- und Sozialstatistik]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Kollektives Modell - Versionsgeschichte

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