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2021-04-10T12:12:01Z

fachbegriff

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Die '''Kodimension''' bezeichnet in verschiedenen Bereichen der [[Mathematik]] das Komplement zur [[Dimension (Mathematik)|Dimension]]. Also ist im <math>n</math>-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich <math>n.</math> Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Gerade (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

== Definition ==
Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] und ist <math>U</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math>, dann wird die ''Kodimension'' von <math>U</math> in <math>V</math> durch
:<math>\operatorname{codim}(U,V) = \dim ( V / U ),</math>
also als die [[Dimension (Vektorraum)|Dimension]] des [[Faktorraum]]s <math>V/U</math>, definiert.

== Eigenschaften ==
* Es gilt stets
:: <math>\dim U+\operatorname{codim}(U,V)=\dim V.</math>
: Ist <math>V</math> endlichdimensional, so ist also
:: <math>\operatorname{codim}(U,V)=\dim V-\dim U.</math>
* Ist <math>W</math> ein [[Komplementärraum]] von <math>U</math> in <math>V</math>, d. h. <math>U \oplus W = V</math>, so ist
:: <math>\operatorname{codim}(U,V)=\dim W.</math>
* Sind <math>U_1,U_2\subseteq V</math> zwei Unterräume, so gilt stets
:: <math>\operatorname{codim}(U_1\cap U_2,V) \leq \operatorname{codim}(U_1,V)+\operatorname{codim}(U_2,V).</math>
* Sind <math>U,W\subseteq V</math> Unterräume, so gilt
:: <math>\operatorname{codim}(U\cap W,W)=\operatorname{codim}(U,U+W)\leq\operatorname{codim}(U,V).</math>

== Beispiele ==
Eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer [[Gerade]]n die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine [[Hyperebene]] hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Codimension
| Autor = V. E. Govorov, A. F. Kharshiladze
| Url = http://eom.springer.de/C/c022870.htm
}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Kodimension - Versionsgeschichte

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