imported>Ulanwp: /* Einleitung */ Parameterkonflikt beseitigt: Parameter DOI und zusätzlich Parameter ONLINE mit doi-Pfad ist unzulässig; Parameter ONLINE und ABRUF entfernt

2025-08-07T19:19:22Z

Einleitung: Parameterkonflikt beseitigt: Parameter DOI und zusätzlich Parameter ONLINE mit doi-Pfad ist unzulässig; Parameter ONLINE und ABRUF entfernt

Neue Seite

<div style="float:right;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-Animation.gif|mini|links|221px|Dreidimensionale „Koch-Kurve“ nach zwei Iterationsschritten]]</div><div style="float:right;">[[Datei:KochFlake.svg|mini|220px|Kochsche Schneeflocke, Konstruktion.]]</div>
Die '''Koch-Kurve''' oder '''kochsche Kurve''' ist ein von dem schwedischen Mathematiker [[Helge von Koch]] 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall [[Stetige Funktion|stetige]], aber nirgends [[Differentialrechnung|differenzierbare]] [[Weg (Mathematik)|Kurve]]. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen [[Fraktal|fraktalen]] Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als ''[[Monsterkurve]]'' bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. Die Kurve taucht in von Kochs Artikeln nicht in ihrer Schneeflockenform auf. Ihr Erfinder scheint der Mathematiker [[Edward Kasner]] gewesen zu sein<ref>{{Literatur |Autor=Yann Demichel |Titel=Who Invented von Koch’s Snowflake Curve? |Sammelwerk=The American Mathematical Monthly |Band=131 |Nummer=8 |Datum=2024-09-13 |ISSN=0002-9890 |DOI=10.1080/00029890.2024.2363737 |Seiten=662–668}}</ref>.

== Konstruktion ==
Man kann die [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] anschaulich mittels eines [[Iteration|iterativen]] Prozesses konstruieren (siehe [[Lindenmayer-System]]). Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück. Die [[Iteration]] besteht nun darin, dass dieser Streckenabschnitt durch einen anderen, aus 4 gleich langen [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt ersetzt wird. Die [[Winkel]] zwischen diesen Strecken betragen 240°, 60° und 240°. Jeder der 4 neuen Streckenabschnitte hat <math>\tfrac{1}{3}</math> der Länge des ursprünglichen Streckenabschnitts. Im nächsten Schritt wird jeder der 4 Streckenabschnitte durch einen Streckenabschnitt der oberen Art ersetzt.

[[Datei:Kochkurve illustration.svg|hochkant=2.0|Iteration einer Koch-Kurve]]

Diese [[Iteration]] wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die [[Dreieck]]e stets zur selben Seite der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Polygonzug (Mathematik)|Streckenzügen]], die gegen die Koch-Kurve strebt.

=== Graphische Darstellung der Konstruktion ===
Die ersten drei [[Iteration]]en der Konstruktion sehen so aus:[[Datei:How to make Koch curve.svg|600px]]

Nach fünf Iterationen ergibt sich folgendes Bild:

[[Datei:Kochkurve.png|600px]]

Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen [[Streckenzug]] ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer [[Fraktal|fraktaler]] Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der [[Drachenkurve]] eingesetzt.

Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem der Erzeugung der [[Cantor-Menge]], welche man erhält, wenn man das mittlere Drittel der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] nicht ersetzt, sondern entfernt.

=== Lindenmayer-System ===

Die Koch-Kurve lässt sich durch ein [[Lindenmayer-System]] mit folgenden Eigenschaften beschreiben:

* Winkel: 60°
* Startstring: <math>F</math>
* Ableitungsregeln:
** <math>F \mapsto F+F--F+F</math>

Wählt man als Startstring <math>F--F--F</math> (ein [[gleichseitiges Dreieck]]), so erhält man die kochsche Schneeflocke.

=== Definition des Grenzwerts ===
Der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] dieser [[Iteration]] (z. B. als [[Iteriertes Funktionensystem|IFS-Fraktal]]), die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungsweise grafisch dargestellt werden. In diesem Fall lässt sich der Grenzwert einfach wie folgt definieren:
: Zum Grenzwert der [[Iteration]] gehören diejenigen [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], die von irgendeinem Iterationsschritt an in allen folgenden Iterationen enthalten sind, sowie alle [[Häufungspunkt]]e der so gebildeten Punktmenge.
Der linke Endpunkt des anfänglichen Streckenstücks ist beispielsweise in jeder [[Iteration]] enthalten und gehört damit zur Koch-Kurve. Der [[Mittelpunkt]] des anfänglichen Streckenstücks hingegen ist schon ab der ersten Iteration nicht mehr enthalten. Eine andere gleichbedeutende Grenzwertdefinition ist weiter unten durch die [[Parameterdarstellung]] <math>f</math> gegeben.

=== Alternative Definitionen ===
<div style="float:right;">[[Datei:01 Koch-Kurve-Sechseck-alt. Def.-2.gif|mini|hochkant= 0.9|Bild 2: Koch-Kurve, alternative Definition, 3 Iterationsschritte]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:01 Koch-Kurve-Sechseck-alt. Def.-1.gif|mini|hochkant= 0.9|Bild 1: Koch-Kurve, alternative Definition, 2 Iterationsschritte]]</div>

Der [[Iteration|iterative]] Prozess für die Koch-Kurve kann auch auf andere Weise definiert werden:
* Begonnen wird mit einer einzigen [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] (Bild 1). Auf dem mittleren Abschnitt jeder Teilstrecke wird ein [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßiges]] [[Sechseck]] aufgesetzt, dessen Seitenlänge <math>\tfrac{1}{3}</math> der [[Länge (Mathematik)|Länge]] der Strecke beträgt. Für einige Teilstrecken ergibt sich dabei das gleiche regelmäßige Sechseck. Die dadurch entstehende [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] ist die Fläche unterhalb der Koch-Kurve.<ref>Stack Exchange Inc.: [https://math.stackexchange.com/questions/3223258/area-of-generalized-koch-snowflake Area of Generalized Koch Snowflake]</ref>
* Die Startfigur ist ein [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßiges]] [[Sechseck]] (Bild 2). Jede Teilstrecke wird durch einen anderen, aus vier gleich langen [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt ersetzt, wobei die Strecken die [[Winkel]] 120°, 300° und 120° bilden.<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Baird |url=https://www.researchgate.net/publication/262600735_The_Koch_curve_in_three_dimensions |titel=The Koch curve in three dimensions |titelerg=scrolle zu ''2. The “Classic” Koch curve'' |hrsg=ResearchGate |datum=2014-05 |seiten=1 |abruf=2020-11-17|sprache=en }}</ref> Diese Streckenabschnitte sind also genauso definiert wie bei der oben beschriebenen Konstruktion mit dem Unterschied, dass der zweite und dritte Streckenabschnitt nach innen gerichtet ist. Ist <math>s</math> die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, dann hat es den [[Flächeninhalt]] <math>\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2</math>. Der Flächeninhalt der sechs [[gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]], die beim ersten [[Iteration]]sschritt abgezogen werden, beträgt zusammen <math>6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{s}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot s^2</math>. Mit jedem Schritt vervierfacht sich die Anzahl der abgezogenen [[Dreieck]]e, während der Flächeninhalt um den Faktor <math>\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9}</math> kleiner wird. Der Flächeninhalt der abgezogenen Dreiecke wird also mit jedem Schritt um den Faktor <math>\tfrac{4}{9}</math> kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> also <math>\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot s^2</math>. Mithilfe der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] ergibt sich, dass der gesamte Flächeninhalt dieser Dreiecke für eine sehr große Anzahl von Schritten sich dem Grenzwert <math>\frac{3}{10} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2</math> nähert. Der Flächeninhalt innerhalb des [[Streckenzug]]s nähert sich also dem [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2 - \frac{3}{10} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2 = \frac{6}{5} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2</math>. Als Fläche ergibt sich die [[Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochsche Schneeflocke]].
[[Datei:01 Koch-Kurve-Dreieck-alt. Def.-2.gif|mini|hochkant=1.5|Bild 3: Koch-Kurve, alternative Definition,<br />Dreieck 30°, 30° und 120°, fünf Iterationsschritte]]
* Die Startfigur ist ein [[gleichschenkliges Dreieck]] mit den [[Innenwinkel]]n 30°, 30° und 120° (Bild 3). Aus diesem [[Dreieck]] wird ein [[gleichseitiges Dreieck]] herausgeschnitten, dessen Seitenlänge <math>\tfrac{1}{3}</math> der längsten Seite des gleichschenkligen Dreiecks ist. Dabei entstehen zwei neue gleichschenklige Dreiecke mit <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> der Seitenlängen. Mit jedem [[Iteration]]sschritt werden wiederum gleichseitige Dreiecke aus jedem gleichschenkligen Teildreieck herausgeschnitten, sodass sich der [[Flächeninhalt]] um den Faktor <math>\tfrac{2}{3}</math> verringert. Die übrigbleibende [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] nähert sich dabei der Koch-Kurve an.<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Baird |url=https://www.researchgate.net/publication/262600735_The_Koch_curve_in_three_dimensions |titel=The Koch curve in three dimensions |titelerg=scrolle zu ''4.The Koch “leaf”'' |hrsg=ResearchGate |datum=2014-05 |seiten=2 |abruf=2020-11-17|sprache=en }}</ref>

== Eigenschaften ==
=== Eigenschaften aus der fraktalen Geometrie ===
Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]], das heißt, es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen. Sie hat eine [[Hausdorff-Dimension]] von
: <math> \frac {\log(4)} {\log(3)} \approx 1{,}262 </math>

=== Länge und Flächeninhalt ===
Die Länge der ursprünglichen Strecke, die die beiden Enden der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] verbindet, sei <math>a</math>.

Bei jedem [[Iteration]]sschritt wird jede Strecke des [[Polygonzug (Mathematik)|Streckenzugs]] durch vier Strecken mit <math>\tfrac{1}{3}</math> der Streckenlänge ersetzt. Die Kurve wird also mit jedem Iterationsschritt um den Faktor <math>\tfrac{4}{3}</math> länger. Nach dem Iterationsschritt <math>n</math> ist die [[Kurvenlänge]] also um den Faktor <math>\left(\tfrac{4}{3}\right)^n</math> angewachsen und beträgt <math>\left(\tfrac{4}{3}\right)^n \cdot a</math>. Wegen <math>\lim_{n\to\infty} \left(\tfrac{4}{3}\right)^n = \infty</math> divergiert die Kurvenlänge, d. h., sie geht gegen [[Unendlichkeit|unendlich]].

Die Fläche unterhalb der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] ist hingegen begrenzt, d. h., der [[Flächeninhalt]] konvergiert. Das [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreieck]], das nach dem ersten [[Iteration]]sschritt hinzukommt, hat den Flächeninhalt <math>A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2</math>. Mit jedem Schritt vervierfacht sich die Anzahl der hinzugefügten [[Dreieck]]e, während der Flächeninhalt um den Faktor <math>\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9}</math> kleiner wird. Der Flächeninhalt der hinzugefügten Dreiecke wird also mit jedem Schritt um den Faktor <math>\tfrac{4}{9}</math> kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> also <math>A_n = \left(\frac{4}{9}\right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2</math>. Der gesamte Flächeninhalt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> unterhalb der Kurve berechnet sich mithilfe der [[geometrische Reihe]] zu
:<math>\sum_{i=0}^n A_i = \sum_{i=0}^n \left({4\over9}\right)^i \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2 = \frac{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}}{1 - \frac{4}{9}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2 = \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2</math>.
Für eine sehr große Anzahl von Schritten nähert sich dieser Flächeninhalt dem [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]
:<math>A = \sum_{i=0}^\infty A_i = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n A_i = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2</math>.
Bei der [[Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochschen Schneeflocke]] werden die drei Seiten eines [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecks]] mit der Seitenlänge <math>a</math> durch die Koch-Kurve ersetzt. Der [[Flächeninhalt]], der von der kochschen Schneeflocke eingeschlossen wird, ergibt sich also, indem man das Dreifache des Flächeninhalts unterhalb der Koch-Kurve zum Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks addiert:<ref>Go Figure: [https://gofiguremath.org/fractals/koch-snowflake/koch-snowflake-area/ Koch Snowflake Area]</ref>
:<math>\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2 = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2</math>

=== Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Die [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] ist überall [[Stetige Funktion|stetig]], aber nirgends [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]].

Zur Untersuchung dieser Eigenschaften betrachtet man die [[Parameterdarstellung]] <math>f_n\colon [0,1]\to {\mathbb R}^2</math> des [[Iteration]]sschritts <math>n</math> und deren Grenzfunktion <math>f(t) = \lim_{n\to\infty} f_n(t)</math>. Wenn man <math>t\in [0,1]</math> als [[Zeitpunkt]] auffasst, ist <math>f_n(t)</math> derjenige [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] auf dem [[Streckenzug]] nach dem Iterationsschritt <math>n</math>, den man zum Zeitpunkt <math>t</math> erreicht, wenn man den Streckenzug mit konstanter Geschwindigkeit <math>\left(\tfrac{4}{3}\right)^{n-1}</math> (allerdings mit <math>4^{n-1}-1</math> abrupten Richtungsänderungen) vom linken zum rechten Endpunkt durchläuft. Die [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f_n</math> sind alle [[Stetige Funktion|stetig]] und [[Punktweise Konvergenz|konvergieren punktweise]] gegen die Grenzfunktion <math>f</math>.

Stellt man den [[Zeitpunkt]] <math>t</math> in einer Entwicklung zur Basis 4 dar, d. h. mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, dann gibt die erste Nachkommastelle den Abschnitt des ersten Konstruktionsschrittes an, auf welchem sich <math>f_n(t)</math> befindet, die zweite den Unterabschnitt auf diesem im zweiten Konstruktionsschritt usw. Dadurch kann man mit den ersten <math>n</math> Nachkommastellen ein Gebiet der Größenordnung <math>3^{-n}</math> konstruieren, in welchem sich alle nachfolgenden [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>f_{n+k}(t)</math> aufhalten müssen. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass die [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f_n</math> sogar [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>f</math> konvergieren. Nach einem Satz der Analysis ist <math>f</math> als „gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen“ dann ebenfalls [[Stetige Funktion|stetig]].

In jedem noch so kleinen Abschnitt der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] finden sich nach der Konstruktion Teilstücke, die eine [[Richtung]] <math>k\cdot 60^\circ</math> für jedes <math>k=0,1,2,3,4,5</math> haben. Daher kann man zu keinem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] der Kurve eine [[Tangente]] konstruieren, d. h., die Kurve ist nirgends [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]].

== Kochsche Schneeflocke ==
Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die ''kochsche Schneeflocke''. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein. Die kochsche Schneeflocke ist im Gegensatz zur Koch-Kurve nicht [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]]. Sie ist [[spiegelsymmetrisch]], [[punktsymmetrisch]] und [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]].
<div style="float:right;">[[Datei:Koch similarity tiling.svg|mini|[[Parkettierung]] der [[euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] mit kochschen Schneeflocken mit zwei verschiedenen Größen]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Koch snowflake05.ogv|mini|220px|Kochsche Schneeflocke, Animation.]]</div><div style="float:right;">[[Datei:Koch Snowflake 7th iteration.svg|mini|163px|Kochsche Schneeflocke]]</div>

=== Parkettierungen ===
Die [[euklidische Ebene]] kann mit kochschen Schneeflocken mit zwei verschiedenen Größen parkettiert werden (siehe Abbildung). Diese [[Parkettierung]] ist periodisch, [[spiegelsymmetrisch]], [[punktsymmetrisch]], [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[Translationssymmetrie|translationssymmetrisch]].

Dabei sind die Abmessungen der großen Schneeflocken um den Faktor <math>\sqrt{3}</math> größer als die kleinen Schneeflocken. Der [[Flächeninhalt]] ist also 3-mal so groß.

Es ist möglich, eine kochsche Schneeflocke in 6 Schneeflocken mit <math>\tfrac{1}{9}</math> des Flächeninhalts und 1 Schneeflocke mit <math>\tfrac{1}{3}</math> des Flächeninhalts zu zerlegen. Daher gibt es auch [[Parkettierung]]en mit kochschen Schneeflocken, die mehr als zwei verschiedene Größen haben.

=== Anwendung ===
* Ein Beispiel ist die [[Fraktalantenne]]

== Verallgemeinerungen ==
Die kochsche Schneeflocke kann auch mithilfe eines [[Hexagramm]]s definiert werden. Startfigur ist dann ein Hexagramm. Mit jedem [[Iteration]]sschritt wird jeder Streckenabschnitt durch einen aus 4 gleich langen [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt mit den [[Winkel]]n <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{6} = 240^\circ</math>, <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{6} = 60^\circ</math> und <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{6} = 240^\circ</math> ersetzt.
Als Verallgemeinerung kann als Startfigur ein <math>\{n/2\}</math>-[[Stern (Geometrie)|Stern]] genommen werden. Dabei bezeichnet <math>\{n/2\}</math> das [[Schläfli-Symbol]]. Dann wird mit jedem [[Iteration]]sschritt jeder Streckenabschnitt durch einen aus 4 gleich langen [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt mit den [[Winkel]]n <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{n}</math>, <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{n}</math> und <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{n}</math> ersetzt.

<div style="float:right;">[[Datei:01 Kochkurve-Achtort-Verallg.svg|mini|hochkant=1|Bild 6: Verallgemeinerung, kochsche Schneeflocke,<br />
Startfigur [[Achtort]] (0, hellblau) mit 2 Iterationsschritten.]]</div><div style="float:right;">[[Datei:01 Kochkurve-Pentagramm-alt. Def.-5.svg|mini|hochkant=1|Bild 5: Verallgemeinerung, kochsche Schneeflocke,<br /> Startfigur Pentagramm (0, hellblau) mit 3 Iterationsschritten.]]</div><div style="float:right;">[[Datei:ZoomingpentaKoch.gif|mini|hochkant=1|Bild 4: Ausschnitt einer verallgemeinerten [[Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochschen Schneeflocke]].]]</div>
Für den Fall <math>n = 5</math> ist die Startfigur ein [[Pentagramm]]<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Baird |url=https://www.researchgate.net/publication/262600735_The_Koch_curve_in_three_dimensions |titel=The Koch curve in three dimensions |titelerg=scrolle zu ''3. Generalising the Koch Curve'' |hrsg=ResearchGate |datum=2014-05 |seiten=2 |abruf=2020-11-17|sprache=en }}</ref> und die [[Winkel]] zwischen den Strecken betragen <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{5} = 252^\circ</math>, <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{5} = 36^\circ</math> und <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{5} = 252^\circ</math>.

Die [[Animation]] (Bild 4) zeigt einen Ausschnitt der kochschen Schneeflocke für <math>n = 5</math>. In der nächsten Darstellung (Bild 5) sind auf einer Zacke der Startfigur (0, hellblau) die drei ausgeführten Iterationsschritte farbig hervorgehoben: 1. Iterationsschritt (goldgelb), 2. Iterationsschritt (grün) und 3. Iterationsschritt (rot).

Der [[Flächeninhalt]] dieser verallgemeinerten kochschen Schneeflocke beträgt <math>\tfrac{1}{44} \cdot (30 + 13 \cdot \sqrt{5}) \cdot \sqrt{10 - 2 \cdot \sqrt{5}} \cdot a^2</math>, wobei <math>a</math> die Seitenlänge des Pentagramms bezeichnet.<ref>Stack Exchange Inc.: [https://math.stackexchange.com/questions/229001/area-fractal-pentagrams-i Area fractal pentagrams]</ref>

Für den Fall <math>n = 8</math> (Bild 6) ist die Startfigur ein [[Stern (Geometrie)|Achtort]] <math>\{8/2\}</math> und die [[Winkel]] zwischen den Strecken betragen <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{8} = 225^\circ</math> und <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{8} = 90^\circ</math>. Auf einer Zacke der Startfigur (0, hellblau) sind die zwei ausgeführten Iterationsschritte farbig hervorgehoben: 1. Iterationsschritt (hellgrün), 2. Iterationsschritt (rot). Der [[Flächeninhalt]] innerhalb der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] beträgt <math>\tfrac{1}{7} \cdot (52 + 36 \cdot \sqrt{2}) \cdot a^2</math>.

== Lokalisierung von Punkten ==
Wird das [[Einheitsintervall]] <math>[0, 1]</math> [[Äquidistanz (Geometrie)|äquidistant]] auf die Koch-Kurve abgebildet, dann gibt es ein effektives Verfahren, um herauszufinden, auf welchen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] eine [[reelle Zahl]] <math>x</math> mit <math>0 \leq x \leq 1</math> abgebildet wird. Dafür wird die Darstellung von <math>x</math> im [[Dualsystem]] verwendet und anschließend das [[gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreieck]] mit den [[Innenwinkel]]n 30°, 30° und 120°, in dem die Koch-Kurve liegt, Schritt für Schritt verkleinert (siehe [[Koch-Kurve#Alternative Definitionen|Alternative Definitionen]]).

=== Beispiel ===
[[Datei:01 Kochkurve-Dreieck-dualer Punkt.svg|mini|hochkant=1.7|[[Algorithmus]] für die Lokalisierung von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]]. Mit jedem Iterationsschritt verkleinert sich der [[Flächeninhalt]] des 30°-120°-30°-[[Dreieck]]s, in dem der Punkt P liegen kann, um den Faktor 3. Zum Punkt A orientierte Teildreiecke entsprechen der [[Binärziffer]] 0, zum Punkt B orientierte Teildreiecke entsprechen der [[Binärziffer]] 1 im [[Einheitsintervall]].]]
Es soll der [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] ermittelt werden, auf den die Zahl 0,625 abgebildet wird. Die Zahl 0,625 hat im [[Dualsystem]] die Darstellung <math>[0{,}101]_2</math>. Im ersten Schritt wird aus dem [[gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] ein [[gleichseitiges Dreieck]] herausgeschnitten, dessen Seitenlänge <math>\tfrac{1}{3}</math> der längsten Seite des gleichschenkligen Dreiecks ist. Dabei entstehen 2 neue gleichschenklige Dreiecke mit <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> der Seitenlängen. Der Punkt liegt dann innerhalb des rechten gleichschenkligen Dreiecks, weil die erste [[Dualsystem|duale]] Nachkommastelle gleich 1 ist. Im zweiten Schritt entstehen wieder 2 neue gleichschenklige Dreiecke mit kleinerer Seitenlänge. Der Punkt liegt innerhalb des linken gleichschenkligen Teildreiecks, weil die zweite duale Nachkommastelle gleich 0 ist. Im dritten Schritt liegt der Punkt im rechten Teildreieck, weil die dritte duale Nachkommastelle gleich 1 ist. Alle weiteren Nachkommastellen sind gleich 0. Daher liegt der gesuchte Punkt P zum Punkt A orientiert, ist also die obere Ecke dieses Teildreiecks (siehe Abbildung).

Die Grundlage dieses [[Algorithmus]] ist im Abschnitt [[Koch-Kurve#Alternative Definitionen|Alternative Definitionen]] zu finden.

'''Bemerkung:''' Ein solches Verfahren lässt sich im Prinzip auch auf andere "einfache" kurvenförmige und [[Selbstähnlichkeit|selbstähnliche]] [[Fraktal]]e, wie zum Beispiel die [[Hilbert-Kurve]], die [[Peano-Kurve]], die [[Gosper-Kurve]] und [[Minkowski-Kurve]] anwenden. Das kurvenförmige Fraktal muss dabei nicht in zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verlaufen. Entscheidend ist jedoch die [[Äquidistanz (Geometrie)|äquidistante]] [[Ordnungsrelation]] der selbstähnlichen [[Kurve (Mathematik)|Kurve]]. Bei [[Affine Abbildung|selbstaffinen]] Fraktalen ist die Zuordnung des [[Einheitsintervall]]s zu den [[Koordinatensystem|Koordinaten]] komplizierter. Für mehrdimensionale selbstähnliche Fraktale, wie zum Beispiel das [[Sierpinski-Dreieck#Sierpinski-Tetraeder|Sierpinski-Tetraeder]], den [[Menger-Schwamm]] oder deren Oberfläche, für die keine eindeutige Ordnungsrelation definiert ist, ist das nicht ohne Weiteres möglich.

Die [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] des [[Einheitsintervall]]s auf ein "einfaches" kurvenförmiges (oder [[Affine Abbildung|selbstaffines]] [[Fraktal]]) kann mithilfe von [[Elementargeometrie|einfachen geometrischen]] Betrachtungen passieren. Im Fall der Schneeflockenkurve kann es wie beschrieben, die iterative Erzeugung von 30°-120°-30°-[[Dreieck]]en und [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] sein.

Es ist jedoch zumindest im [[Zweidimensional|zweidimensionalen]] Fall auch mit [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] ([[Symmetrie (Geometrie)|Translationsmatrixen]], [[Spiegelsymmetrisch|Spiegelmatrixen]] und [[Drehmatrizen|Drehmatrixen]]) und [[Vektor]]en für die [[Strecke (Geometrie)|Strecken]], die die [[Iteration]]en definieren, möglich. Die [[Addition]] oder [[Multiplikation]] dieser 2x2-[[Quadratische Matrix|Matrizen]] erfolgt dann iterativ, sodass die [[Koordinatensystem|Koordinaten]] der Teilstrecken gegen einen bestimmten [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] [[Konvergenz (Mathematik)|konvergieren]]. Jedes Element des Einheitsintervalls, zum Beispiel 0,625, wird dann auf diesen Grenzwert abgebildet.

== Dreidimensionale „Koch-Kurve“ ==
Die Koch-Kurve kann auf 3 [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verallgemeinert werden. Die Startfigur ist ein [[regelmäßiges Tetraeder]]. Bei jedem [[Iteration]]sschritt werden die [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]] der Oberfläche in 4 [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Dreiecke mit halber Seitenlänge aufgeteilt und jeweils ein regelmäßiges Tetraeder auf das mittlere dieser Dreiecke gesetzt. Die Kantenlänge der hinzugefügten Tetraeder halbiert sich also mit jedem Iterationsschritt.

Dieses [[Dreidimensional|dreidimensionale]] [[Fraktal]] nähert sich mit jedem [[Iteration]]sschritt dem umbeschriebenen [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] an, dessen alternierende [[Ecke]]n die 4 Ecken des ursprünglichen [[Tetraeder]]s sind. Nach dem ersten Schritt entsteht ein [[Sterntetraeder]]. Die [[Seitenfläche]]n aller Tetraeder sind [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu einer Seitenfläche des ursprünglichen Tetraeders. Die Ecken aller Tetraeder sind Gitterpunkte eines Kubusgitters. Mit jedem Schritt verfeinert sich das Kubusgitter um den Faktor 2.
<div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-1.svg|mini|links|231px|[[Tetraeder]], Iterationsschritt 0]]</div> <div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-2.0.svg|mini|links|231px|[[Sterntetraeder]], Iterationsschritt 1]]</div><div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-5.svg|mini|links|233px|56 Teil-[[Tetraeder]], Iterationsschritt 2]]</div> <div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-Animation-1.gif|mini|links|243px|Zwei Iterationsschritte als [[Animation]]]]</div>
{{Absatz}}

=== Berechnungen ===
Ist <math>a</math> die Kantenlänge des ursprünglichen [[Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßigen Tetraeders]], dann ist <math>\tfrac{a}{\sqrt{2}}</math> die Kantenlänge des umbeschriebenen [[Würfel (Geometrie)|Würfels]]. Das [[Volumen]] des ursprünglichen Tetraeders beträgt <math>V_0 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 </math> und das Volumen der Teil-Tetraeder, die beim [[Iteration]]sschritt <math>n</math> hinzugefügt werden, beträgt jeweils <math>\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \left(\frac{a}{2^n}\right)^3 = \frac{1}{8^n} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 </math>. Beim Iterationsschritt <math>n</math> kommen <math>4 \cdot 6^{n-1} </math> Teil-Tetraeder hinzu und es sind insgesamt <math>6 \cdot 4^n - 12 \cdot 2^n + 8 </math> Teil-Tetraeder auf der Oberfläche dieses [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Fraktal]]s sichtbar. Bei 10 realisierten Iterationsschritten würde dies zu folgenden ''insgesamten Anzahlen'' der Teil-Tetraeder führen.

:<math>8,\;\;56,\;\;296,\;\;1.352,\;\;5.768,\;\;23.816,\;\;96.776,\;\;390.152,\;\;1.566.728,\;\;6.279.176</math>
Im Inneren des [[Fraktal]]s entstehen Hohlräume, die die Form eines [[Oktaeder]]s haben und deren Kantenlänge sich mit jedem Iterationsschritt halbiert.

Mit jedem [[Iteration]]sschritt versechsfacht sich die Anzahl der hinzugefügten [[Tetraeder]], während das [[Volumen]] um den Faktor <math>\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}</math> kleiner wird. Das Volumen der hinzugefügten Tetraeder wird also mit jedem Schritt um den Faktor <math>\tfrac{3}{4}</math> kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> also <math>V_n = 4 \cdot 6^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \left(\frac{a}{2^n}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot a^3 </math> . Das gesamte Volumen der [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] „Koch-Kurve“ kann mithilfe der [[geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] berechnet werden und beträgt
:<math>V = V_0 + \sum_{i=1}^\infty V_i = V_0 + \sum_{i=0}^\infty \left(\left(\frac{3}{4}\right)^i \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot a^3\right) = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 + \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot a^3 = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a^3</math>
Wegen <math>\left(\tfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a^3</math> ist das gleich dem [[Volumen]] des umbeschriebenen [[Würfel (Geometrie)|Würfels]].

== Programmierung ==
Die [[Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochsche Schneeflocke]] lässt sich [[Rekursive Programmierung|rekursiv]] auf einfache Weise implementieren. Das folgende Beispiel zeigt eine Implementierung in der [[Programmiersprache]] [[C-Sharp|C#]].<ref>Rosetta Code: [https://rosettacode.org/wiki/Koch_curve Koch curve]</ref><syntaxhighlight lang="c#">
using System.Windows.Forms;

public class MainForm : System.Windows.Forms.Form
{
private Graphics graphics;

public MainForm()
{
InitializeComponent();
Text = "Koch-Kurve";
Width = 800;
Height = 600;
graphics = CreateGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen auf dem Hauptfenster.
Paint += OnPaint; // Verknüpft die Ereignisbehandlungsmethode mit dem Paint Ereignis des Hauptfensters.
}

private void OnPaint(object sender, PaintEventArgs e)
{
float faktor = (float) Math.Sqrt(3) / 2; // Skalierungsfaktor für die Höhe der gleichseitigen Dreiecke
float x1 = 200, y1 = 200, x2 = 600, y2 = 200;
// Definiert eine Farbe mit RGB-Werten.
Color farbe = Color.FromArgb(0, 0, 255);
// 3 Aufrufe der Methode mit maximaler Rekursionstiefe 4. Die kochsche Schneeflocke besteht aus 3 Koch-Kurven.
ZeichneKochKurve(x1, y1, x2, y2, Color.FromArgb(0, 0, 0), 0, 4);
ZeichneKochKurve(x2, y2, (x1 + x2) / 2 + faktor * (y1 - y2), (y1 + y2) / 2 + faktor * (x2 - x1), Color.FromArgb(0, 0, 0), 0, 4);
ZeichneKochKurve((x1 + x2) / 2 + faktor * (y1 - y2), (y1 + y2) / 2 + faktor * (x2 - x1), x1, y1, Color.FromArgb(0, 0, 0), 0, 4);
}

// Diese Methode wird aufgerufen, wenn das Hauptfenster gezeichnet wird. Sie enthält 4 rekursive Aufrufe.
private void ZeichneKochKurve(float x1, float y1, float x2, float y2, Color farbe, int tiefe, int maximaleTiefe)
{
// Wenn maximale Rekursionstiefe erreicht, dann Koordinaten setzen und Strecke zeichnen
if (tiefe == maximaleTiefe)
{
graphics.DrawLine(new Pen(farbe), x1, y1, x2, y2); // Zeichnet die Strecke mit den gesetzten Koordinaten und der als Parameter angegebenen Farbe.
}
// sonst Methode für jede der 4 Teilstrecken rekursiv aufrufen
else
{
float faktor = (float) Math.Sqrt(3) / 2; // Skalierungsfaktor für die Höhe der gleichseitigen Dreiecke
// Rekursive Aufrufe der Methode für das Zerlegen der aktuellen Strecke in 4 Teilstrecken mit 1/3 der Breite und Höhe.
ZeichneKochKurve(x1, y1, (2 * x1 + x2) / 3, (2 * y1 + y2) / 3, farbe, tiefe + 1, maximaleTiefe);
ZeichneKochKurve((2 * x1 + x2) / 3, (2 * y1 + y2) / 3, (x1 + x2) / 2 + faktor * (y2 - y1) / 3, (y1 + y2) / 2 + faktor * (x1 - x2) / 3, farbe, tiefe + 1, maximaleTiefe);
ZeichneKochKurve((x1 + x2) / 2 + faktor * (y2 - y1) / 3, (y1 + y2) / 2 + faktor * (x1 - x2) / 3, (x1 + 2 * x2) / 3, (y1 + 2 * y2) / 3, farbe, tiefe + 1, maximaleTiefe);
ZeichneKochKurve((x1 + 2 * x2) / 3, (y1 + 2 * y2) / 3, x2, y2, farbe, tiefe + 1, maximaleTiefe);
}
}
}
</syntaxhighlight>

== Erstveröffentlichungen ==
* {{Literatur
|Autor=Helge von Koch
|Titel=Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire
|Sammelwerk=Arkiv för Matematik
|Band=1
|Datum=1904
|Seiten=681–704}}
* {{Literatur
|Autor=Helge von Koch
|Titel=Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certaines questions de la théorie des courbes planes
|Sammelwerk=[[Acta Mathematica]]
|Band=30
|Datum=1906
|Seiten=145–174}}

== Weblinks ==
{{Commons|Koch curve|Koch-Kurve}}
{{Commons|Koch snowflake|Koch-Schneeflocke}}
* {{MacTutor |id=Koch |title=Niels Fabian Helge von Koch}}
* {{MathWorld |id=KochSnowflake |title=Koch Snowflake}}
* [http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=558 Tetraederfraktal (T-Fraktal)] Mathematische Modelle, TU Dresden

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Fraktale Geometrie]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Koch-Kurve - Versionsgeschichte

imported>Ulanwp: /* Einleitung */ Parameterkonflikt beseitigt: Parameter DOI und zusätzlich Parameter ONLINE mit doi-Pfad ist unzulässig; Parameter ONLINE und ABRUF entfernt