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2024-06-17T20:32:02Z

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit Koalgebren über Körpern. Für Koalgebren über [[Komonade]]n siehe dort.}}
Eine '''Koalgebra''' ist ein [[Vektorraum]], der die zu einer Algebra duale Struktur besitzt. Das heißt anstelle einer Multiplikation, die zwei Elemente auf ihr Produkt abbildet, gibt es eine '''Komultiplikation''', die ein Element auf ein [[Tensorprodukt]] abbildet, und anstelle eines neutralen Elements, das die Einbettung des Grundkörpers in die Algebra ermöglicht, gibt es eine Abbildung aus der Koalgebra in den Grundkörper, die '''Koeins''' genannt wird.

== Definition ==
Eine ''Koalgebra'' über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>k</math> ist ein <math>k</math>-[[Vektorraum]] <math>C</math> mit [[Vektorraumhomomorphismus|Vektorraumhomomorphismen]] <math>\Delta_C \colon C \to C \otimes_k C</math>, genannt ''Komultiplikation'', ''Koprodukt'' oder auch ''Diagonale'', und <math>\epsilon_C \colon C \to k</math>, genannt ''Koeins'', so dass

: <math>(\mathrm{id}_C \otimes \Delta_C) \circ \Delta_C = (\Delta_C \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta_C</math> (Koassoziativität)
: <math>(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon_C) \circ \Delta_C = \mathrm{id}_C = (\epsilon_C \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta_C</math> (Koeins)

Ein ''Koalgebrahomomorphismus'' zwischen zwei Koalgebren ''C'' und ''D'' ist ein Vektorraumhomomorphismus <math>f \colon C \to D</math> mit

: <math>f \otimes f \circ \Delta_C = \Delta_D \circ f</math> und <math>\epsilon_C = \epsilon_D \circ f</math>.

== Beispiel ==

Sei <math>(e_1, e_2, e_3)</math> die kanonische Basis von <math>\R^3</math>. Man kann auf <math>\R^3</math> eine Koalgebra-Struktur mittels
:<math>\Delta_{\R^3}(e_i)=e_i \otimes e_i</math>
und
:<math>\epsilon_{\R^3}(e_i)=1</math>
definieren.

<math>\Delta_{\R^3}</math> ist koassoziativ, da
:<math>e_i \otimes \Delta_{\R^3}(e_i) =e_i \otimes e_i \otimes e_i = \Delta_{\R^3}(e_i) \otimes e_i </math>,
und <math>\epsilon_{\R^3}</math> ist Koeins, da
:<math>e_i \otimes \epsilon_{\R^3}(e_i) = e_i = \epsilon_{\R^3}(e_i) \otimes e_i</math>.

Die Elemente von <math>\R^3 \otimes \R^3</math> sind Tensoren zweiter Stufe und können daher als Matrizen dargestellt werden. Die Komultiplikation ist dann
:<math>\Delta_{\R^3}
\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}
=
a_1
\Delta_{\R^3}
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
a_2
\Delta_{\R^3}
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
a_3
\Delta_{\R^3}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3
\end{pmatrix}
</math>.

== Dualität ==

Die Multiplikation <math>\mu_A</math> einer (unitären assoziativen) [[Algebra (Struktur)|Algebra]] <math>A</math> ist bilinear, und aufgrund der [[Universelle Eigenschaft|Universellen Eigenschaft]] des Tensorprodukts kann sie als Abbildung von <math>A \otimes A</math> nach <math>A</math> aufgefasst werden. Die Multiplikation ist genau dann [[Assoziativität|assoziativ]], wenn das folgende Diagramm kommutiert.

:[[Bild:Algebra-Associativity.svg]]

Eine Algebra <math>A</math> besitzt genau dann ein neutrales Element, wenn es einen Vektorraumhomomorphismus <math>\eta_A</math> gibt, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

:[[Bild:Algebra-Unit.svg]]

In diesem Fall gilt <math>1_A=\eta_A(1_k)</math>.

Eine Koalgebra <math>C</math> ist eine Algebra in der zu den Vektorräumen <math>\mathrm{Vekt}</math> [[Duale Kategorie|dualen Kategorie]] <math>\mathrm{Vekt}^\mathrm{op}</math>. Das heißt, anstelle der Multiplikation gibt es eine Abbildung <math>\Delta_C \colon C \to C \otimes C</math>, so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

:[[Bild:Coalgebra-Coassociativity.svg]]

Und anstelle eines neutralen Elements gibt es eine Abbildung <math>\epsilon_C \colon C \to k</math>, so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

:[[Bild:Coalgebra-Counit.svg]]

== Sweedlernotation ==

Über das Koprodukt <math>\Delta_C(x)</math> eines Elements <math>x \in C</math> ist im Allgemeinen nur bekannt, dass es in <math>C \otimes C</math> liegt und sich folglich als
:<math>\Delta_C(x)=\sum_i x_{(1)}^{(i)} \otimes x_{(2)}^{(i)}</math>
darstellen lässt. In der ''Sweedler-Notation'' (nach [[Moss Sweedler]]) wird dies abgekürzt, indem man symbolisch
:<math>\Delta_C(x)=\sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)}</math>
schreibt. In ''summenloser Sweedler-Notation'' verzichtet man sogar auf das Summensymbol und schreibt
:<math>\Delta_C(x)=x_{(1)} \otimes x_{(2)}</math>
Es ist dabei wichtig zu beachten, dass diese Schreibweise nach wie vor eine Summe bezeichnet. Die Symbole <math>x_{(1)}</math> und <math>x_{(2)}</math> sind für sich allein bedeutungslos und stehen nicht für bestimmte Elemente aus <math>C</math>, denn die Darstellung von <math>\textstyle \Delta_C(x)</math> ist nicht eindeutig. Bei Rechnungen in der Sweedlernotation liest man die <math>\textstyle x_{(k)}^{(i)}</math> am besten als „geeignete und für diese Rechnung fest gewählte“ Elemente.

Diese Schreibweise ermöglicht es, die Komposition von <math>\Delta_C</math> mit anderen Funktionen als
:<math>(f \otimes g) \circ \Delta_C(x)=f(x_{(1)}) \otimes g(x_{(2)})</math>
zu schreiben.

In summenloser Sweedler-Notation ist <math>\epsilon_C</math> genau dann Koeins, wenn
:<math>\epsilon_C(x_{(1)}) x_{(2)} = x = x_{(1)} \epsilon_C(x_{(2)})</math>.

Das Koprodukt <math>\Delta_C</math> ist genau dann koassoziativ, wenn
:<math>x_{(1)} \otimes \Delta_C(x_{(2)}) = \Delta_C(x_{(1)}) \otimes x_{(2)}</math>.
Dieses Element wird in Sweedler-Notation symbolisch als
:<math>\sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)} \otimes x_{(3)}</math>
und summenlos als
:<math>x_{(1)} \otimes x_{(2)} \otimes x_{(3)}</math>
geschrieben.

Durch erneutes Anwenden von <math>\Delta_C</math> entstehen längere Tensorprodukte, die analog geschrieben werden. Dabei muss man die „Indizes“ der hinteren Elemente gegebenenfalls erhöhen:
:<math>f(x_{(1)}) \otimes \Delta_C(x_{(2)}) \otimes g(x_{(3)}) = f(x_{(1)}) \otimes x_{(2)} \otimes x_{(3)} \otimes g(x_{(4)})</math>.
Durch Anwenden von <math>\epsilon_C</math> verkürzen sich die Tensorprodukte, die „Indizes“ der hinteren Elemente werden entsprechend angepasst:
:<math>f(x_{(1)}) \otimes \epsilon_C(x_{(2)}) \otimes x_{(3)} \otimes g(x_{(4)}) = f(x_{(1)}) \otimes x_{(2)} \otimes g(x_{(3)})</math>.

== Literatur ==

* Christian Kassel: ''Quantum Groups'' In: ''Graduate Texts in Mathematics''. Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6.

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Koalgebra - Versionsgeschichte

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