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2021-01-24T14:49:14Z

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In der [[Knotentheorie]], einem [[Teilgebiet der Mathematik]], bezeichnet man einen in den [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] [[Einbettung (Mathematik)|eingebetteten]] [[Kreis]] als ''Knoten''. Die entsprechende '''Knotengruppe''' ist dann die [[Fundamentalgruppe]] des [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]]s des Knotens <math>K</math>
:<math>\pi_1(\R^3 \setminus K).</math>

== Andere Konvention ==
In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] betrachtet man statt des euklidischen Raumes häufig dessen [[Einpunktkompaktifizierung]] <math>\mathbb{S}^3</math> und entsprechend Knoten als eingebettete Kreise in der <math>\mathbb{S}^3</math>.

Es lässt sich zeigen, dass die so entstehende '''Knotengruppe'''
:<math>\pi_1(\mathbb{S}^3 \setminus K)</math>
[[Isomorphismus|isomorph]] zu <math>\pi_1(\R^3 \setminus K)</math> ist.

== Eigenschaften ==
Äquivalente Knoten haben isomorphe Knotengruppen, die Knotengruppen ist also eine Knoteninvariante und kann dazu dienen, Knoten zu unterscheiden.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, so gibt es nicht-äquivalente Knoten mit isomorphen Knotengruppen.
Außerdem ist es ein [[Komplexitätstheorie|algorithmisch schwieriges]] Problem, die Nicht-Isomorphie von Knotengruppen zu beweisen.

Die [[Abelisierung]] der Knotengruppe ist immer isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen <math>\Z</math>. Das folgt aus dem ''Alexanderschen Dualitätssatz''.

Die Knotengruppe kann mit dem [[Wirtinger-Algorithmus]] recht einfach berechnet werden. (D.h. der Wirtinger-Algorithmus liefert eine endliche [[Präsentation einer Gruppe|Präsentation]] der Knotengruppe.) Es gibt aber keinen allgemeinen Algorithmus, der zu zwei endlichen Gruppenpräsentationen entscheidet, ob die Gruppen isomorph sind.

Alle Erzeuger in der Wirtinger-Präsentierung sind [[Meridian]]e des Knotens und insbesondere sind alle diese Erzeuger [[Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]] zueinander. Unter der Abelisierungsabbildung werden alle auf denselben Erzeuger der ganzen Zahlen <Math>\Z</Math> abgebildet.

== Beispiele ==
* Die Knotengruppe des trivialen Knotens ist <math>\Z</math>.
* Die Knotengruppe des [[Kleeblattknoten]]s ist die [[Zopfgruppe]] <math>B_3</math> mit Präsentation
::<math>\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle</math> oder <math>\langle a, b \mid aba = bab \rangle</math>.
* Die Knotengruppe des (p,q)-[[Torusknoten]]s ist
::<math>\langle x,y \mid x^p = y^q \rangle</math>.
* Die Knotengruppe des [[Achtknoten (Mathematik)|Achterknoten]]s ist
::<math>\langle x,y \mid x^{-1}yxy^{-1}xy=yx^{-1}yx\rangle</math>.

== Literatur ==
* Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner. Knots. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. xii+559 pp. ISBN 3-11-017005-1

== Weblinks ==
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Knot_and_link_groups Knot and Link Groups]", [[Encyclopedia of Mathematics]], Springer, ISBN 978-1556080104

[[Kategorie:Knoteninvariante]]

Knotengruppe - Versionsgeschichte

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