imported>Samuel Adrian Antz: Navigationsleiste entfernt.

2024-08-18T13:04:49Z

Navigationsleiste entfernt.

Neue Seite

Die '''Klein-Gordon-Gleichung''' (auch '''Klein-Fock-Gordon-Gleichung''' oder '''Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung'''<ref>{{Literatur |Autor=Eckhard Rebhan |Titel=Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2010 |ISBN=978-3-8274-2602-4 |Seiten=3, 116}}</ref>) ist die [[Relativitätstheorie|relativistische]] [[Feldgleichung]], welche die [[Kinematik]] freier [[Skalarfeld|skalarer Felder]] bzw. [[Boson#Einteilung nach dem Spin|Teilchen]] (d. h. [[Spin]] 0) bestimmt. Es handelt sich dabei um eine homogene [[partielle Differentialgleichung]] zweiter Ordnung, die relativistisch [[Kovarianz (Physik)|kovariant]] ist, d. h. forminvariant unter [[Lorentz-Transformation]].

== Geschichte ==
[[Datei:Klein, Oskar 1963 Kopenhagen 02.jpg|mini|hochkant=0.5|Oskar Klein, Kopenhagen 1963]]
Nach Schrödingers Publikation im Jahre 1926 versuchten viele Physiker, darunter [[Oskar Klein]] und [[Walter Gordon (Physiker)|Walter Gordon]], das relativistische Analogon zur [[Schrödingergleichung]] zu finden, um [[Wellenfunktion]]en zu charakterisieren, die in der [[Quantenmechanik]] den [[Zustand (Quantenmechanik)|Zuständen]] eines [[Freies Teilchen|freien Teilchens]] entsprechen. Unabhängig stießen auch Schrödinger selbst und [[Wladimir Fock]] auf die Klein-Gordon-Gleichung, weshalb sie manchmal zusätzlich nach ihnen benannt wird.

Zwar ergibt sich aus der Klein-Gordon-Gleichung die richtige Beziehung zwischen [[Energie]] und [[Impuls]], nicht aber der [[Spin]] der untersuchten Teilchen. Deswegen stimmen bei [[Elektrische Ladung|geladenen]] [[Fermion|Spin-1/2-Teilchen]] wie dem [[Elektron]] und dem [[Proton]] im [[Wasserstoffatom]] die aus der Klein-Gordon-Gleichung hergeleiteten [[Bindungsenergie]]n nicht mit den beobachteten Energien überein; die richtige Bewegungsgleichung für diese Teilchen ist die [[Dirac-Gleichung]]. Stattdessen beschreibt die Klein-Gordon-Gleichung als skalare Differentialgleichung spinlose Teilchen korrekt, z. B. [[Pion]]en.

== Herleitung ==
Bei der Herleitung geht man von der [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]]

:<math>E^2 - \vec p^2 c^2 - m^2 c^4 = 0</math>
zwischen der Energie <math>E</math> und dem Impuls <math>\vec p</math> eines Teilchens der Masse <math>m</math> in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] aus. Die [[erste Quantisierung]] deutet diese Relation als Gleichung für Operatoren, die auf Wellenfunktionen <math>\phi(t, \vec x)</math> wirken. Dabei sind <math>E</math> und <math>\hat{\vec p}</math> die Operatoren
:<math>E = \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\,,\ \hat{\vec p} =-\mathrm i\,\hbar\, \vec\nabla.</math>

Damit ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung
:<math>\left[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \vec{\nabla}^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \phi(t, \vec{x}) = 0.</math>

In diesen Einheiten, mit dem [[D’Alembert-Operator]]
:<math>\Box := \partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \vec{\nabla}^2= \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2}{\partial x^2} - \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - \frac{\partial ^2}{\partial z^2}</math>
und mit der abkürzenden Bezeichnung <math>x=(ct, \vec x)</math> für die Raumzeitkoordinaten lautet die Klein-Gordon-Gleichung:
:<math>\left( \Box + \frac{1}{{\lambda\!\!\!^{-}}_{\text{C}}^2} \right) \phi(x) = 0</math>

Da der Wellenoperator <math>\Box := \partial^\mu \partial_\mu</math> und die reduzierte [[Compton-Wellenlänge]] <math>{\lambda\!\!\!^{-}}_{\text{C}}= \frac{\hbar}{m\,c}</math> sich in der Minkowski-Raumzeit wie skalare Größen transformieren, ist in dieser Darstellung die relativistische Invarianz der skalaren Gleichung offensichtlich. In der relativistischen Quantentheorie verwendet man an Stelle der SI-Einheiten [[natürliche Einheiten]], in denen <math>\hbar</math> und <math>c</math> den Wert 1 haben. Dadurch ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung zu

:<math>\partial_t^2 \phi - \vec \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0</math>.

== Lösung ==
Bezeichne <math>k = (\tfrac{\omega}{c},\vec k)</math> den Vierer-Wellenvektor. Dann ist die [[ebene Welle]]
:<math>\phi = A \mathrm e^{\mathrm i kx}</math>
eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, wenn die [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> gemäß
: <math>\omega(\vec k) = \sqrt{\frac{m^2c^4}{\hbar^2} + c^2\vec k^ 2}</math>
oder in den [[Planck-Einheiten]]
: <math>\omega(\vec k) = \sqrt{m^2 + \vec k^2}</math>
mit dem [[Wellenvektor]] <math>\vec k</math> zusammenhängt. Ebenso löst die konjugiert-komplexe Welle
: <math>\phi^* = A^* \mathrm e^{-\mathrm i kx}</math>
die Klein-Gordon-Gleichung, da diese reell ist.

Da die Klein-Gordon-Gleichung linear und homogen ist, sind Summen und komplexe Vielfache von Lösungen ebenso Lösungen. Daher löst
: <math>\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4} \left[
a_k\,\mathrm e^{\mathrm i kx}+ b^*_k\,\mathrm e^{-\mathrm i kx}\right]</math>
mit beliebigen [[Fouriertransformation|fouriertransformierbaren]] Amplituden <math>a_k</math> und <math>b^*_k</math> die Klein-Gordon-Gleichung. Umgekehrt ist jede fouriertransformierbare Lösung von dieser Form.

In dieser Darstellung der Lösung ist allerdings nicht ersichtlich, dass sie im Punkt <math>x</math> nur von ihren Anfangswerten auf und im Inneren des [[Lichtkegel]]s von <math>x</math> abhängt.

In der [[Quantenfeldtheorie]] sind <math>\phi</math> und dementsprechend auch <math>a_k</math> und <math>b_k</math> Operatoren. Der Operator <math>a_k</math> vernichtet Teilchenzustände mit Spin <math>s=0</math>, beispielsweise negative Pionen, <math>b^\dagger_k</math> erzeugt die entgegengesetzt geladenen [[Antiteilchen]], positive Pionen. Der adjungierte Operator <math>\phi^\dagger</math> vernichtet dann positive Pionen und erzeugt negative Pionen.

Für ein reelles Feld <math>\varphi</math> gilt <math>a_k = b_k</math>. Es ist invariant unter Phasentransformationen und trägt nicht zum elektromagnetischen Strom bei. Die Teilchen, die das reelle Feld vernichtet und erzeugt, beispielsweise neutralen Pionen, sind ungeladen und stimmen mit ihren Antiteilchen überein.

== Lagrangedichte ==
Eine [[Lagrangedichte]] für ein reelles Feld <math>\varphi</math>, die auf die Klein-Gordon-Gleichung führt, lautet
: <math> \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[ (\partial_t \varphi)^2
- (\partial_x \varphi)^2 - (\partial_y \varphi)^2 - (\partial_z \varphi)^2 - m^2 \varphi^2 \right]\ =\frac{1}{2} \left[ (\partial_\mu \varphi)(\partial^\mu \varphi) - m^2 \varphi^2 \right]</math>

und für ein komplexes Feld <math>\phi</math>
: <math> \mathcal{L} = \partial_t \phi^\dagger\, \partial_t \phi
-\partial_x \phi^\dagger\, \partial_x \phi
-\partial_y \phi^\dagger\, \partial_y \phi
-\partial_z \phi^\dagger\, \partial_z \phi
- m^2 \phi^\dagger \,\phi\,
=(\partial_\mu \phi^\dagger)(\partial^\mu \phi) - m^2 \phi^\dagger \phi.</math>

Mit der hier gewählten Normierung der Lagrangedichten ergeben sich in der Quantenfeldtheorie für das komplexe Feld dieselben [[Propagator]]en wie für das reelle.

== Kontinuitätsgleichung ==
Die Lagrangedichte für das komplexe Feld ist invariant unter der kontinuierlichen Schar von Transformationen
: <math>
T_\alpha:\ \phi \mapsto \mathrm e^{ \mathrm i \alpha } \phi \,,\ \phi^\dagger \mapsto ( \mathrm e^{\mathrm i \alpha } \phi)^\dagger \ = \mathrm e^{- \mathrm i \alpha } \phi^\dagger,
</math>
die das Feld mit einer komplexen Phase <math>\mathrm e^{\mathrm i \alpha}\,,0\le \alpha < 2\pi</math> multiplizieren.

Nach dem [[Noether-Theorem]] gehört zu dieser kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener [[Kontinuitätsgleichung|Strom]] mit Komponenten
: <math>j_\mu = \mathrm i \left( \phi^\dagger\, \partial_\mu \phi - (\partial_\mu \phi^\dagger)\, \phi\right ) \,,\ \mu\in\{0,1,2,3\}.</math>

Die 0-Komponente ist die Dichte der erhaltenen Ladung:
: <math>\rho(x) = j_0(x) = \mathrm i \left( \phi^\dagger\, \partial_t \phi - (\partial_t \phi^\dagger)\, \phi \right)</math>

Diese Dichte ist nicht [[positiv semidefinit]] und kann nicht als [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] gedeutet werden. Vielmehr wird
: <math>Q = \int \mathrm{d}^3 \vec x \, j_0 = \mathrm i \int \mathrm{d}^3 x \, \left( \phi^\dagger\, \partial_t \phi - (\partial_t \phi^\dagger)\, \phi \right)</math>

als die elektrische Ladung und <math>j_\mu</math> als die elektromagnetische Viererstromdichte gedeutet, an die das skalare Potential und das Vektorpotential der [[Elektrodynamik]] koppeln.

== Siehe auch ==
* [[Wellengleichung]]
* [[Proca-Gleichung]] (Spin 1)

== Literatur ==
* [[Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow|N. N. Bogoliubov]], D. V. Shirkov: ''Introduction to the Theory of Quantized Fields.'' Wiley-Interscience, New York 1959.
* [[Richard Courant|R. Courant]], [[David Hilbert|D. Hilbert]]: ''Methoden der mathematischen Physik.'' Band 2. 2. Auflage. Springer, 1968.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Kleingordongleichung}}
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Klein-Gordon-Gleichung - Versionsgeschichte

imported>Samuel Adrian Antz: Navigationsleiste entfernt.