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2026-01-18T03:31:46Z

In der Kunst

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[[Datei:Blue Trefoil Knot.png|mini|Kleeblattschlinge]]

Die '''Kleeblattschlinge''' oder der '''Kleeblattknoten''' ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der [[Knotentheorie]]. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu [[Klee|Kleeblättern]].

== Parametrisierung und Invarianten ==
Eine einfache [[Parameterdarstellung]] der Kleeblattschlinge ist:

<math>x = \sin t + 2\sin2t \qquad y = \cos t - 2\cos2t \qquad z = -\sin3t</math>

Der (2,3)-Torusknoten ist ebenfalls ein Kleeblattknoten. Die folgenden parametrischen Gleichungen ergeben einen (2,3)-Torusknoten, der auf dem Torus liegt:
:<math>x = (2+\cos 3t)\cos 2t, \qquad y=(2+\cos 3t )\sin 2t, \qquad z=\sin 3t.</math>
Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem [[Torus]], der in
Zylinderkoordinaten durch <math>(r-2)^2+z^2 = 1</math> definiert ist.
Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines [[Torusknoten|Torusknotens]].<ref>[http://www.uni-math.gwdg.de/schick/publ/KnotentheorieInDerSchule.pdf uni-math.gwdg.de] (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.</ref>

Das [[Alexander-Polynom]] der Kleeblattschlinge ist
:<math>\Delta(t) = t - 1 + t^{-1},</math>
und ihr [[Jones-Polynom]] ist
:<math>V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}</math> oder
:<math>V(q) = q + q^3 - q^4,</math>
je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die [[Knotengruppe]] hat die [[Präsentierung einer Gruppe|Präsentierung]]
:<math>\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle \, </math>
und ist damit [[Gruppenisomorphismus|isomorph]] zur [[Zopfgruppe]] <math>B_3</math>.

Das [[Knotenkomplement]] der Kleeblattschlinge ist [[diffeomorph]] zu <math>SL(2,\R)/SL(2,\Z)</math>, also dem [[Quotiententopologie|Quotienten]] von [[SL(2,R)]] nach der [[Modulgruppe]] <math>SL(2,\Z)</math>.

== Symmetrie ==
Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.<ref>[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/knots.shtml cut-the-knot.org] über Achtknoten. Abgerufen am 3. Mai 2012.</ref>

<gallery class="center" widths="150">
Trefoil knot left.svg|Eine linkshändige Kleeblattschlinge.
TrefoilKnot 01.svg|Eine rechtshändige Kleeblattschlinge.
</gallery>

== In der Kunst ==
Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der [[Bildende Kunst|bildenden Kunst]] und der [[Ikonographie]] vor. So sind zum Beispiel die [[Triquetra]] und die zusammenhängende Form der [[Valknut]] Kleeblattschlingen.

<gallery>
DFB-Logo 2025.svg|Das Logo des [[Deutscher Fußball-Bund|Deutschen Fußball-Bunds]] ähnelt einer Kleeblattschlinge.
Triquetra-Vesica.svg|Eine [[Triquetra]].
Mjollnir.png|Ein alter nordischer [[Mjöllnir]], Anhänger mit Kleeblättern.
</gallery>

== Galerie ==
<gallery perrow="6">
Triquetra-Vesica.svg|Ein einfaches [[Triquetra]]-Symbol
Triquetra-tightly-knotted.svg|Eine fest geknüpfte Triquetra
Valknut-Symbol-triquetra.svg|Die [[Valknut]]
Metallic Valknut black background.PNG|Eine metallische Valknut in Form eines Kleeblattes
Superfície - bordo trifólio.jpg|[[Seifert-Fläche]] für eine Kleeblattschlinge.
Superfície não orientável - Bordo trifólio.jpg|Nicht-orientierbare Fläche, deren Rand eine Kleeblattschlinge ist.
</gallery>

== Literatur ==
* [[Max Dehn]]: ''Die beiden Kleeblattschlingen.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' 102, 1914, S. 402–413 ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002265737&IDDOC=28916 uni-goettingen.de]).

== Weblinks ==
{{Commonscat|Trefoil knots}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Knoten und Verschlingungen]]

Kleeblattschlinge - Versionsgeschichte

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