imported>Reseka: Änderung 266098135 von Immanuel Schleth rückgängig gemacht; Ist schon im übernächsten Satz verlinkt.

2026-04-12T15:31:49Z

Änderung 266098135 von Immanuel Schleth rückgängig gemacht; Ist schon im übernächsten Satz verlinkt.

Neue Seite

{{Navigation Elektrische Netzwerke}}
Die '''Kirchhoffschen Regeln''' werden im Rahmen der elektrischen [[Schaltungstechnik]] bei der [[Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)|Netzwerkanalyse]] verwendet. Sie unterteilen sich in zwei grundlegende und zusammenhängende Sätze, den Knotenpunktsatz und den Maschensatz, und beschreiben jeweils den Zusammenhang zwischen mehreren [[Elektrischer Strom|elektrischen Strömen]] und zwischen mehreren [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannungen]] in elektrischen Netzwerken. Sie wurden 1845 von [[Gustav Robert Kirchhoff]] formuliert,<ref>Gustav Robert Kirchhoff: ''Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige.'' In: ''[[Annalen der Physik|Annalen der Physik und Chemie]].'' Band LXIV, 1845, S. 513 ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k151490/f525.item Gallica]).</ref> nachdem sie bereits 1833 von [[Carl Friedrich Gauß]] entdeckt worden waren.<ref>Dunnington: ''Gauss – Titan of Science.'' American Mathematical Society, S. 161.</ref>

== {{Anker|Knotenpunktsatz}}Der Knotenpunktsatz (Knotenregel) – 1. Kirchhoffsches Gesetz ==
''In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.''

Bepfeilt man alle anliegenden Zweigströme so, dass alle zugehörigen [[Zählpfeil]]e zum Knoten hin oder alle zugehörigen Pfeile vom Knoten weg zeigen, so kann man den Knotenpunktsatz für einen Knoten mit <math>n</math> Zweigströmen folgendermaßen aufschreiben:

: <math>\sum_{k=1}^n {I}_k = 0</math>

Diese Regel gilt zunächst für Gleichstromnetzwerke.

Für Wechselstromnetzwerke gilt sie unter der Bedingung, dass man nur [[Netzwerk (Elektrotechnik)|konzentrierte Bauelemente]] verwendet und somit beispielsweise Ladungsspeicherungseffekte in den Knoten und Leitungen aufgrund der dort vorhandenen Kapazitäten ausbleiben.

Anstelle der Zeitwerte kann man auch die Zeigerdarstellungen der Ströme betrachten:

: <math>\sum_{k=1}^n \underline{I}_k = 0</math>

Für ein Netzwerk mit <math>m</math> Knoten lassen sich <math>m - 1</math> linear unabhängige Knotengleichungen aufstellen.

=== Erweiterung ===
Sofern man von konzentrierten Bauelementen ausgeht, gilt die Knotenregel nicht nur für einzelne Knoten, sondern auch für ganze Schaltungen. Allerdings wird davon ausgegangen, dass der Knoten elektrisch neutral bleibt. Möchte man z. B. nur eine Kondensatorplatte betrachten (und nicht den ganzen Kondensator), ist diese Forderung nicht mehr erfüllt. Man müsste die Betrachtung in diesem Fall um den [[Verschiebungsstrom]], der zwischen den Kondensatorplatten fließt, erweitern. Zur Beschreibung dieser nicht mehr quellenfreien Felder muss das [[Ampèresches Gesetz|ampèresche Gesetz]] benutzt werden.

=== Beispiel eines Knotens ===
[[Datei:Stromknoten.svg|mini|hochkant=0.5|Stromknoten mit zu- und abfließenden Strömen]]
Wie auf dem Bild zu erkennen ist, fließen die Ströme <math>I_1</math> und <math>I_3</math> in den Knoten hinein und die Ströme <math>I_2</math>, <math>I_4</math> und <math>I_5</math> aus dem Knoten heraus. Nach der Knotenregel ergibt sich folgende Formel:

: <math>I_1 + I_3 - I_2 - I_4 - I_5 = 0</math>
oder umgeformt:
: <math>I_1 + I_3 = I_2 + I_4 + I_5</math>
<div style="clear:both;"></div>

=== Beispiel eines Netzwerkknotens ===
[[Datei:Netzwerkknoten.png|mini|Netzwerk mit zu- und abfließenden Strömen]]
Auch ganze Netzwerke können als Knoten angesehen werden. Im Beispiel fließen die Wechselströme <math>\underline{I}_1</math> und <math>\underline{I}_2</math> in den Knoten hinein und der Strom <math>\underline{I}_3</math> aus dem Knoten heraus.

Es gilt also:
: <math>\underline{I}_1 + \underline{I}_2 - \underline{I}_3 = 0</math>

Sind für die zufließenden Ströme folgende komplexe Effektivwerte gegeben (mit der in der Elektrotechnik üblichen [[Imaginäre Zahl|imaginären Einheit]] <math>\mathrm j</math>):
: <math>\underline{I}_1 = \mathrm{3\,A \cdot e^{j\cdot 15^\circ}}</math>
: <math>\underline{I}_2 = \mathrm{1\,A \cdot e^{-j\cdot 35^\circ}}</math>
So ergibt sich für den abfließenden Strom aus der Knotenregel:
: <math>\underline{I}_3 = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 = \mathrm{3\,A \cdot e^{j\cdot 15^\circ} + 1\,A \cdot e^{-j\cdot 35^\circ} \approx 3{,}73\,A\cdot e^{j\cdot 3{,}12^\circ}}</math>
<div style="clear:both;"></div>

== {{Anker|Maschensatz}}Der Maschensatz (Maschenregel) – 2. Kirchhoffsches Gesetz ==
[[Datei:Masche und Knoten.svg|mini|Beispiel für die Anwendung des Maschensatzes: Die Teilspannungen ''U''<sub>1</sub> bis ''U''<sub>5</sub> addieren sich zu null. Die in der Darstellung verwendeten Spannungspfeile legen die Zählrichtung für das Vorzeichen fest.]]
Alle [[Elektrische Spannung|Teilspannungen]] eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. Die Richtung des Umlaufes kann beliebig gewählt werden; sie legt dann aber die Vorzeichen der Teilspannungen fest. Soweit [[Zählpfeil]]e entgegen der Umlaufrichtung zeigen, sind die Spannungen mit umgekehrten Vorzeichen einzusetzen.

In einem Umlauf mit <math>n</math> Teilspannungen eines elektrischen Netzes gilt folgende Formel:
: <math>\sum_{k=1}^n U_k = 0</math>
Auch diese Regel gilt für beliebig zeitlich abhängige Ströme und für Netzwerke mit nichtlinearen Bauelementen.

In Wechselstromnetzwerken kann die Summe der komplexen [[Effektivwert]]e oder [[Komplexe Amplitude|komplexen Amplituden]] der Spannung betrachtet werden:
: <math>\sum_{k=1}^n \underline{U}_k = 0</math>
Die Maschengleichung gilt in diesem Fall jedoch nur für die Klemmenspannungen. Diese entspricht nicht der elektrischen Feldstärke in den Bauelementen selbst (beispielsweise innerhalb des Spulendrahtes).

Ein Netzwerk mit <math>z</math> Zweigen und <math>m</math> unabhängigen Knotengleichungen hat <math>z - m</math> unabhängige Maschengleichungen.

== Hintergrund ==
[[Datei:Maschenregel.svg|mini|Ein einfacher Stromkreis]]
Beide kirchhoffschen Regeln sind Schlussfolgerungen aus physikalischen [[Erhaltungssatz|Erhaltungssätzen]], der 1. und 3. [[Maxwellsche Gleichungen|maxwellschen Gleichung]]:

* Die Knotenpunktregel beschreibt die Erhaltung der [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] und sagt aus, dass in den Knoten weder Ladungen vernichtet noch zwischengespeichert werden.

* Die Maschenregel beschreibt die Erhaltung der elektrischen Energie in der [[Elektrostatik]]. Darin gilt, dass eine Ladung <math>Q</math> bei einem einmaligen Umlauf des Stromkreises insgesamt keine Arbeit am elektrischen Feld verrichtet. So bewegen sich in dem nebenstehenden einfachen Stromkreis die Ladungen innerhalb des [[Elektrischer Widerstand|Widerstandes]] mit dem elektrischen Feld, und innerhalb der [[Spannungsquelle]] bewegen sie sich dem Feld entgegen.

Die Maschenregel ist formal eine Schlussfolgerung aus dem [[Induktionsgesetz]]. Sie gilt nur für den Fall, dass innerhalb der Masche keine Änderung des magnetischen Flusses erfolgt (<math>\mathrm d\Phi/\mathrm dt=0</math>) und somit auch auf magnetischem Weg keine Energie in das Netzwerk eingespeist oder von dort entnommen wird. Bei Abwesenheit von magnetischen Wechselfeldern liefert das Induktionsgesetz

: <math>\oint E \, \mathrm ds = -\frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm dt} = 0</math>,

was exakt der Aussage der Maschenregel entspricht. Der Ausdruck <math>\oint E \, \mathrm ds</math> bezeichnet dabei die Umlaufspannung für einen Weg, der die Bauelemente umgeht, aber deren [[Elektrischer Pol|Pole]] enthält.<ref name="Feynman">{{BibISBN|9783486581072|Kapitel=Abschnitt 22.3|Seiten=419 f.|URL=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_22.html#Ch22-S3 The Feynman Lectures on Physics Website}}</ref>

Bei der Anwendung der kirchhoffschen Gleichungen ist allgemein zu beachten, dass alle Verbindungen zwischen den einzelnen Stromkreiselementen als ideal leitend vorausgesetzt werden. Außerdem werden die Bauelemente als konzentrierte Bauelemente angesehen. Konzentrierte Bauelemente lassen sich in ihrem elektrischen Verhalten vollständig durch die an den Anschlüssen fließenden Ströme und außen anliegenden Spannungen beschreiben. Sollten in der zu untersuchenden Schaltung nicht konzentrierte Bauelemente vorkommen, so müssen diese durch Ersatzschaltungen konzentrierter Stromkreiselemente ersetzt werden.

Für praktische Anwendungen wurde die Darstellung der allgemeinen kirchhoffschen Regeln verschiedenartig modifiziert. So beschreibt unter anderem der im englischsprachigen Raum gebräuchliche [[Satz von Millman]] ein auf den kirchhoffschen Regeln basierendes Verfahren, um die Summenspannung von mehreren [[Parallelschaltung|parallel]] geschalteten Spannungs- und Stromquellen zu ermitteln.

== Erfassung zeitveränderlicher externer Magnetfelder ==
Wenn durch die Maschen eines Netzwerks mit feldkapselnden<ref>Gemeint sind Elemente, deren elektromagnetische Felder sich allenfalls durch vernachlässigbare Streueffekte nach außen bemerkbar machen.</ref> passiven oder aktiven Elementen (z. B. Widerstände, Kondensatoren, Spulen, Dioden, Elektromotoren, Kraftwerksgeneratoren, elektrochemische Zellen, Thermoelemente, Photozellen usw.) externe (nicht durch die Ströme des Netzwerks erregte) zeitveränderliche Flüsse <math>\Phi(t)</math> treten, ist die Hauptvoraussetzung des Kirchhoff’schen Maschensatzes (nämlich <math>\mathrm{d}\Phi(t)/\mathrm{d}t=0</math>) verletzt. Dann gilt für eine Masche die mit dem [[Elektromagnetische Induktion#Allgemeines|Induktionsgesetz]] herleitbare Spannungsgleichung

:<math>\sum\limits_{k=1}^n{} U_k = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}</math>.

Die linke Seite der Gleichung ist genau wie oben (d. h. ''ohne'' äußeres Magnetfeld) mit den ''Klemmen''spannungen der Elemente zu bilden. Dabei kann der Umlaufsinn der Summierung nicht mehr willkürlich gewählt werden, sondern ist [[Orientierte Fläche#Flächen mit Rand|rechtsschraubend]] mit der [[Zählpfeil|Bezugsrichtung]] des magnetischen Flusses zu orientieren.

Der Fall tritt z. B. bei [[Geomagnetisch induzierter Strom|geomagnetisch induzierten Strömen]] auf.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Karl Küpfmüller]], Gerhard Kohn
|Titel=Theoretische Elektrotechnik und Elektronik
|Auflage=14.
|Verlag=Springer
|Datum=1993
|ISBN=3-540-56500-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gustav Robert Kirchhoff]]
|Titel=Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige
|Sammelwerk=[[Annalen der Physik|Annalen der Physik und Chemie]]
|Band=Band LXIV
|Datum=1845
|Seiten=497–514
|Online=[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k151490/f509 Gallica]}}
* [[Gert Hagmann]]: Grundlagen der Elektrotechnik. 15. Auflage. AULA-Verlag. Wiebelsheim, ISBN 978-3-89104-747-7

== Weblinks ==
{{Commonscat|Kirchhoff's circuit laws|Kirchhoffsche Regeln}}
* [https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/komplexere-schaltkreise/grundwissen/kirchhoffsche-gesetze Kirchhoff – Gesetze] auf Schülerniveau ([[LEIFI]])
* [http://www.elektronik-kompendium.de/sites/grd/0608011.htm elektronik-kompendium]
* [https://web.archive.org/web/20190911121124/https://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/elessonshtml/Basic/Basic4Ki.html facstaff.bucknell] (englisch), Archivlink abgerufen am 4. Februar 2026

== Einzelnachweise ==
<references></references>

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Gustav Robert Kirchhoff]]

Kirchhoffsche Regeln - Versionsgeschichte

imported>Reseka: Änderung 266098135 von Immanuel Schleth rückgängig gemacht; Ist schon im übernächsten Satz verlinkt.