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2020-01-17T07:02:29Z

Konsistente Verwendung von \operatorname

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Die '''Killing-Form''' (auch '''Cartan-Killing-Form''') spielt eine wichtige Rolle in der [[Differentialgeometrie]] und in der Klassifikation der [[halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfachen Lie-Algebren]].
Sie ist nach [[Wilhelm Killing]] benannt.

== Definition ==

Sei <math>\mathfrak g</math> eine [[Lie-Algebra]] über dem Körper <math>k</math> und <math>\operatorname{ad}:\mathfrak g\rightarrow \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> ihre [[adjungierte Darstellung]].

Die ''Killing-Form'' ist die durch
:<math>B(X,Y):=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}(X)\circ \operatorname{ad}(Y))</math>
für <math>X,Y\in\mathfrak g</math> definierte [[symmetrische Bilinearform]]
:<math>B:\mathfrak g\times\mathfrak g\rightarrow k</math>,
wobei <math>\operatorname{Tr}</math> die [[Spur (Mathematik)|Spur]] bezeichnet.

== Eigenschaften ==

* <math>B</math> ist eine symmetrische Bilinearform.
* <math>B</math> ist ''assoziativ'', das heißt, es gilt <math>B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])</math> für alle <math>X,Y,Z\in\mathfrak g</math>.
* Für alle <math>Z\in\mathfrak g</math> ist <math>\operatorname{ad}(Z)</math> schiefsymmetrisch bzgl. <math>B</math>, das heißt für alle <math>X,Y\in\mathfrak g</math> gilt
:<math>B(\operatorname{ad}(Z)X,Y)=-B(X,\operatorname{ad}(Z)Y)</math>.
* Die Killing-Form ist [[Bilinearform#Nicht ausgeartete Bilinearform|nicht-ausgeartet]] genau dann, wenn die Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> halb-einfach ist.
* Falls <math>\mathfrak g</math> die Lie-Algebra einer [[Lie-Gruppe]] <math>G</math> ist, dann ist <math>B</math> <math>\operatorname{Ad}</math>-invariant, d. h. für alle <math>g\in G,X,Y\in\mathfrak g</math> gilt
:<math>B(\operatorname{Ad}(g)X,\operatorname{Ad}(g)Y)=B(X,Y)</math>.
* Falls <math>\mathfrak g</math> die Lie-Algebra einer [[Halbeinfache Lie-Gruppe|halbeinfachen Lie-Gruppe]] ist, dann ist die Killing-Form [[negativ definit]] genau dann, wenn <math>G</math> kompakt ist. Insbesondere definiert <math>-B</math> eine bi-invariante [[Riemannsche Metrik]] auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe <math>G</math>. Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets [[negativ semidefinit]].

== Beispiele ==

Die Killing-Form [[Nilpotente Lie-Algebra|nilpotenter Lie-Algebren]] ist identisch Null.

Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:

{| class="wikitable"
|-
! '''g''' || <math>B(X,Y)</math>
|-
| '''gl'''(''n'', '''R''') || <math>2n \operatorname{Tr}(XY)-2 \operatorname{Tr}(X)\operatorname{Tr}(Y)</math>
|-
| '''sl'''(''n'', '''R''') || <math>2n \operatorname{Tr}(XY)</math>
|-
| '''su'''(''n'') || <math>2n \operatorname{Tr}(XY)</math>
|-
| '''so'''(''n'', '''R''') || <math>(n-2) \operatorname{Tr}(XY)</math>
|-
| '''so'''(''n'') || <math>(n-2) \operatorname{Tr}(XY)</math>
|-
| '''sp'''(''n'', '''R''') || <math>(2n+2) \operatorname{Tr}(XY)</math>
|-
| '''sp'''(''n'', '''C''') || <math>(2n+2) \operatorname{Tr}(XY)</math>
|}

== Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ ==

Ein [[symmetrischer Raum]] von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form
:<math>M=G/K</math>
mit einer [[Halbeinfache Lie-Gruppe|halbeinfachen Lie-Gruppe]] <math>G</math> und einer maximal kompakten Untergruppe <math>K</math>.

Zu einem symmetrischen Raum hat man eine [[Cartan-Zerlegung]]
:<math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p</math>
und man kann den Tangentialraum <math>T_{\left[e\right]}G/K</math> im neutralen Element mit <math>\mathfrak p</math> identifizieren.

Die Killing-Form ist negativ definit auf <math>\mathfrak k</math> und positiv definit auf <math>\mathfrak p</math>. Insbesondere definiert sie ein <math>\operatorname{Ad}(G)</math>-invariantes Skalarprodukt auf <math>\mathfrak p</math> und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf <math>M=G/K</math>. Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige <math>G</math>-invariante Metrik auf <math>M</math>.

Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

== Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren ==

Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der [[Halbeinfache Lie-Algebra|Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren]] über [[algebraisch abgeschlossen]]en Körpern der Charakteristik <math>0</math>.

== Literatur ==
* Humphreys, James E.: ''Introduction to Lie algebras and representation theory.'' Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.

[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Killing-Form - Versionsgeschichte

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