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2024-08-15T18:15:39Z

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Ein (Ko-)'''Kettenkomplex''' in der [[Mathematik]] ist eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] oder [[Modul (Mathematik)|<math>R</math>-Moduln]] oder – noch allgemeiner – [[Kategorientheorie|Objekten]] in einer [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorie]], die durch [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] kettenartig verknüpft sind.

== Definition ==
=== Kettenkomplex ===
Ein ''Kettenkomplex'' besteht aus einer Folge
: <math>C_n , \,n \isin \mathbb{Z}</math>
von <math>R</math>-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie ''A'') und
einer Folge
: <math>d_n \colon C_n \rarr C_{n-1}</math>
von <math>R</math>-Modul-[[Homomorphismus|Homomorphismen]] (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in ''A''), so dass
: <math>d_n \circ d_{n+1} = 0</math>
für alle ''n'' gilt. Der Operator <math>\mathrm{d}_n</math> heißt ''Randoperator''. Elemente von <math>C_n</math> heißen ''n-Ketten''.
Elemente von
: <math>Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n</math> bzw. <math>B_n(C,d):=\mathop{\operatorname{im}} d_{n+1}\subseteq C_n</math>
heißen ''n-Zykel'' bzw. ''n-Ränder''. Aufgrund der Bedingung <math>d_n d_{n+1} = 0</math> ist jeder Rand ein Zykel. Der [[Faktorraum|Quotient]]
: <math>H_n(C,d) := Z_n(C,d)/B_n(C,d)</math>
heißt ''n''-te ''[[Homologie (Mathematik)|Homologiegruppe]]'' (Homologieobjekt) von <math>( C, d)</math>, ihre Elemente heißen ''Homologieklassen''. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen ''homolog''.

=== Kokettenkomplex ===
Ein ''Kokettenkomplex'' besteht aus einer Folge
: <math>C^n,\, n \isin \mathbb{Z}</math>
von <math>R</math>-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie ''A'') und
einer Folge
: <math>d^n \colon C^n \rarr C^{n+1}</math>
von <math>R</math>-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in ''A''), so dass
: <math>d^n \circ d^{n-1} = 0</math>
für alle ''n'' gilt. Elemente von <math>C^n</math> heißen ''n-Koketten''.
Elemente von
: <math>Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n</math> bzw. <math>B^n:=\operatorname{im} d^{n-1}\subseteq C^n</math>
heißen ''n-Kozykel'' bzw. ''n-Koränder''. Aufgrund der Bedingung <math>d^n d^{n-1} = 0</math> ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient
: <math>H^n(C,d) := Z^n(C,d)/B^n(C,d)</math>
heißt ''n''-te ''[[Kohomologie]]gruppe'' (Kohomologieobjekt) von <math>(C, d)</math>, ihre Elemente ''Kohomologieklassen''. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen ''kohomolog''.

=== Doppelkomplex ===
[[Datei:Double-complex.svg|mini|Ein Doppelkomplex]]
Ein ''Doppelkomplex''<ref>S. 7–8 in {{Literatur |Autor=[[Charles Weibel|Charles A. Weibel]] |Titel=An introduction to homological algebra |Reihe=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |BandReihe=38 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1994 |ISBN=0-521-43500-5}}</ref>  <math>D_{**}</math>  in der abelschen Kategorie ''A'' ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in ''A''. Etwas genauer besteht  <math>D_{**}</math>  aus Objekten
: <math> D_{p,q} \in \operatorname{ob} A \,, \quad p,q \in \mathbb{Z}</math>
zusammen mit Morphismen
: <math> D_{p,q} \xrightarrow{d} D_{p-1,q} </math>   und   <math> D_{p,q} \xrightarrow{d'} D_{p,q-1} \quad \forall \, p,q \in \mathbb{Z} </math>
die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:
: <math> d \circ d = 0 \quad d' \circ d' = 0 \quad d \circ d' + d' \circ d = 0 \, . </math>
Der '''Totalkomplex'''  <math>\operatorname{Tot}(D)_*</math>  des Doppelkomplex  <math>D_{**}</math>  ist der Kettenkomplex gegeben durch
: <math>\operatorname{Tot}(D)_n = \bigoplus_{p+q=n} D_{p,q}</math>
mit der folgenden Randabbildung: für  <math>x \in D_{p,q}</math>  mit  <math>p+q=n</math>  ist
: <math>d_n(x) = d(x) + d'(x) \in D_{p-1,q} \oplus D_{p,q-1} \subseteq \operatorname{Tot}(D)_{n-1} \, .</math>
Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von [[Tor (Mathematik)|<math>\operatorname{Tor}^R_*(M,N)</math>]] nicht davon abhängt, ob man ''M'' auflöst oder ''N''.<ref>Abschnitt 2.7 in {{Literatur |Autor=[[Charles Weibel|Charles A. Weibel]] |Titel=An introduction to homological algebra |Reihe=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |BandReihe=38 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1994 |ISBN=0-521-43500-5}}</ref>

== Eigenschaften ==
* Ein Kettenkomplex <math>(C_\bullet,d_\bullet)</math> ist genau dann [[Exakte Folge|exakt]] an der Stelle <math>i</math>, wenn <math>H_i(C_\bullet,d_\bullet)=0</math> ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

* Ein Kettenkomplex heißt '''azyklisch''', wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

== {{Anker|Kettenhomomorphismus}} Kettenhomomorphismus ==
Eine Funktion
: <math> f \colon (A_\bullet, d_{A,\bullet}) \to (B_\bullet, d_{B,\bullet})</math>
heißt '''(Ko-)Kettenhomomorphismus''', oder einfach nur '''Kettenabbildung''', falls sie aus einer Folge von [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]] <math>f_n \colon A_n \rightarrow B_n</math> besteht, welche mit dem Randoperator <math>d</math> vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:
: <math>d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}</math>.
Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend
: <math>d_B^n\circ f_{n} = f_{n+1} \circ d_A^n</math>.
Diese Bedingung stellt sicher, dass <math>f</math> Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die [[Kategorientheorie|Kategorie]] Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

== Euler-Charakteristik ==
Es sei <math>(C,d)</math> ein Kokettenkomplex aus <math>R</math>-Moduln über einem Ring <math>R</math>. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die [[Euler-Charakteristik]] des Komplexes definiert als die ganze Zahl
: <math>\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K\mathrm H^i(C,d) \in \Z.</math>
Sind auch die einzelnen Komponenten <math>C^i</math> endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch
: <math>\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K C^i \in \Z.</math>
Im Spezialfall eines Komplexes <math>C^0\to C^1</math> mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der [[Rangsatz]].

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex ''perfekt'', wenn nur endlich viele Komponenten <math>C^i</math> nichttrivial sind und jede Komponente ein [[Erzeugendensystem|endlich erzeugter]] [[projektiver Modul]] ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige [[Äquivalenzklasse]] in der [[K0-Gruppe|K<sub>0</sub>-Gruppe]] von <math>R</math> zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik
: <math>\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i[C^i] \in K_0(R).</math><ref>J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: ''Topological and Bivariant K-Theory'', Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31 </ref>
Ist jeder projektive Modul [[Freies Objekt|frei]], etwa wenn <math>R</math> ein Körper oder ein [[Hauptidealring]] ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält <math>K_0(R)\cong \Z</math> mit <math>[R^n] \,\widehat=\, n</math>. Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

== Beispiele ==
* [[Simplizialkomplex]]
* Der [[Singulärer Kettenkomplex|singuläre Kettenkomplex]] zur Definition der [[Singuläre Homologie|singulären Homologie]] und der [[Singuläre Kohomologie|singulären Kohomologie]] [[Topologischer Raum|topologischer Räume]].
* [[Gruppenkohomologie|Gruppen(ko)homologie]].
* Jeder [[Homomorphismus]] <math>f\colon A\to B</math> definiert einen Kokettenkomplex
:: <math>(C,d)=(\ldots\to0\to0\to A\to B\to0\to0\to\ldots).</math>
: Legt man die Indizes so fest, dass sich <math>A</math> in Grad 0 und <math>B</math> in Grad 1 befindet, so ist
:: <math>H^0(C,d)=\ker f</math> und <math>H^1(C,d) = \operatorname{coker} f.</math>
: Die Euler-Charakteristik
:: <math>\dim\ker f-\dim\operatorname{coker} f</math>
: von <math>(C,d)</math> wird in der Theorie der [[Fredholm-Operator]]en der ''Fredholm-Index'' von <math>f</math> genannt. Dabei bezeichnet <math>\operatorname{coker} f</math> den [[Kokern]] von <math>f</math>.
* Ein [[elliptischer Komplex]] oder ein [[Dirac-Komplex]] ist ein Kokettenkomplex, der in der [[Globale Analysis|Globalen Analysis]] von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem [[Atiyah-Bott-Fixpunktsatz]] auf.

== Literatur ==
* Peter John Hilton, [[Urs Stammbach]]: ''A Course in Homological Algebra'' (''Graduate Texts in Mathematics'' 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Algebraische Topologie}}

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Kettenkomplex - Versionsgeschichte

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