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2026-01-05T11:51:46Z

Kernoperatoren

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In der [[Mathematik]] versteht man unter dem '''Kern''' einer Menge eine [[Teilmenge]], die klein genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die größte Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Das wichtigste Beispiel ist der offene Kern bzw. das [[Innerer Punkt|Innere]] einer Teilmenge eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]]. '''Kernoperator''' bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihr Kern zugeordnet wird. Die durch einen Kernoperator gegebenen Kerne bilden ein '''Kernsystem''', also ein [[Mengensystem]] mit bestimmten Eigenschaften.

== Definitionen ==
=== Kernoperatoren ===
Über einer gegebenen [[Grundmenge]] <math>X</math> ist ein ''Kernoperator'' eine [[intensive Abbildung|intensive]], [[Monotone Abbildung|monotone]], [[Idempotenz|idempotente]] [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>K\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)</math> auf der [[Potenzmenge]] von <math>X</math>, die jeder [[Teilmenge]] <math>A \subseteq X</math> eine weitere Teilmenge von <math>X</math>, nämlich den Kern <math>K(A) \subseteq X</math>, zuordnet, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind:
* '''Intensivität''': <math>K(A) \subseteq A</math>, das heißt: Der Kern von <math>A</math> ist in der Menge <math>A</math> selbst enthalten.
* '''Monotonie''' bzw. '''Isotonie''': <math>A\subseteq B\ \Rightarrow\ K(A)\subseteq K(B)</math>, das heißt: Wenn <math>A</math> Teilmenge von <math>B</math> ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Kerne.
* '''Idempotenz''': <math>K(K(A)) = K(A)</math>, das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so bleibt dieser unverändert.

Aufgrund der beiden anderen Anforderungen genügt es auch, an Stelle der Idempotenz nur <math>K(A) \subseteq K(K(A))</math> zu fordern, das heißt: Jeder Kern liegt in seinem eigenen Kern.

Äquivalent zu den drei genannten Einzelforderungen ist folgende. <math>K\colon \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math> heißt Kernoperator, wenn für alle <math>A, B \subseteq X</math> gilt:
* <math>K(A) \subseteq K(B) \Longleftrightarrow K(A) \subseteq B</math>

:<small>Zum Nachweis der Intensivität setze man <math>B:=A</math>, für die Idempotenz setze man <math>B := K(A)</math>, und die Monotonie folgt dann dank Intensivität (<math>K(A) \subseteq A</math>).</small>

=== Kernsysteme ===
Ein ''Kernsystem'' ist ein unter beliebiger [[Vereinigungsmenge]]nbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h., ein Kernsystem über einer Menge <math>X</math> ist eine aus Teilmengen der Grundmenge <math>X</math> bestehende Menge <math>\mathcal{S}</math> mit folgenden Eigenschaften:
* <math>\mathcal{S}</math> enthält die [[leere Menge]]: <math>\emptyset \in \mathcal{S}</math>.
* Für jede nichtleere Teilmenge <math>\mathcal{T}</math> von <math>\mathcal{S}</math> ist die Vereinigung der Elemente von <math>\mathcal{T}</math> ein Element aus <math>\mathcal{S}</math>, oder kurz: <math>\forall \mathcal{T} \subseteq \mathcal{S},\, \mathcal{T} \neq \emptyset:\, \bigcup_{T\in \mathcal{T}} T \in \mathcal{S}</math>.

Mit der Konvention <math>\bigcup_{T\in\emptyset} T := \emptyset</math> lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen äquivalenten Bedingung zusammenfassen:
* Für jede Teilmenge <math>\mathcal{T}</math> von <math>\mathcal{S}</math> ist die Vereinigung der Elemente von <math>\mathcal{T}</math> ein Element aus <math>\mathcal{S}</math>, oder kurz: <math>\forall \mathcal{T} \subseteq \mathcal{S}:\, \bigcup_{T\in \mathcal{T}} T \in \mathcal{S}</math>.

== Zusammenhang zwischen Kernsystemen und Kernoperatoren ==
Kernsysteme und Kernoperatoren entsprechen einander:
# Ist <math>\mathcal{S}</math> ein Kernsystem über <math>X</math>, dann kann man einen Kernoperator <math>K_\mathcal{S}</math> auf <math>X</math> wie folgt definieren: <math>K_\mathcal{S}(A) := \bigcup_{A \supseteq Y \in \mathcal{S}} Y</math> für alle <math>A \subseteq X</math>
# Umgekehrt kann aus jedem Kernoperator <math>K</math> auf <math>X</math> ein Kernsystem <math>\mathcal{S}_K</math> über <math>X</math> gewonnen werden: <math>\mathcal{S}_K := \{ K(A) \mid A \subseteq X \}</math>

::<small> Tatsächlich ist für eine Teilmenge <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{S}_K</math> die Vereinigung <math>\bigcup_{T\in \mathcal{T}} K(T)</math> selbst ein Kern. Dazu genügt es zu zeigen, dass <math>K\left( \bigcup_{T\in \mathcal{T}} K(T) \right) \supseteq \bigcup_{T\in \mathcal{T}} K(T)</math> ist. Dies folgt aus der trivialen Aussage <math>\forall T\in \mathcal{T}:\, \bigcup_{T\in \mathcal{T}} K(T) \supseteq K(T) </math>.</small>

Daher ist ein Kernsystem <math>\mathcal S</math> nicht nur gegenüber beliebiger Vereinigungsbildung stabil, sondern lässt auch die Bildung eines '''[[Infimum]]s''' (nämlich in Gestalt des Kerns) über einer beliebigen Menge <math>\mathcal{A}</math> von Teilmengen <math>A\subseteq X</math> zu:
:<math>\operatorname{Inf}_{\mathcal{S}} \mathcal{A} := \bigwedge_{A \in \mathcal{A}}^{\mathcal{S}} A := K_{\mathcal S} \left( \bigcap_{A \in \mathcal{A}} A \right)</math>.

Die Begriffspaare „[[Hüllenoperator]] – Kernoperator“ bzw. „[[Hüllensystem]] – [[Kernsystem]]“ stehen zueinander in „komplementärem“ oder „dualem“ Verhältnis, das heißt: Die Komplementärmengen des einen Systems erfüllen die Bedingungen des anderen, wobei der Durchschnitt durch die Vereinigung und das Supremum (die Hülle) durch das Infimum (Kern) ersetzt wird.

== Beispiel ==
* Die [[Offene Menge|offenen Mengen]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] bilden ein Kernsystem, nämlich die Topologie des Raumes. Der zugehörige Kernoperator ist die Bildung des [[Innerer Punkt|Inneren]] einer Teilmenge.

== Siehe auch ==
* [[Hüllenoperator]]
* [[Mengenverband]]
* [[Verband (Mathematik)]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor= Marcel Erné
|Titel= Einführung in die Ordnungstheorie
|Verlag= Bibliographisches Institut
|Ort= Mannheim
|Datum= 1982
|ISBN= 3-411-01638-8
}}
* {{Literatur
|Autor= Heinrich Werner
|Titel= Einführung in die allgemeine Algebra
|Verlag= Bibliographisches Institut
|Ort= Mannheim
|Datum= 1978
|ISBN= 3-411-00120-8
}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Universelle Algebra]]

Kernoperator - Versionsgeschichte

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