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Der '''Kern''' einer [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] dient in der [[Algebra]] dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der [[Injektivität]] abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] <math>f \colon V \to W</math> zwischen [[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>V</math> und <math>W</math> aus denjenigen Vektoren in <math>V</math>, die auf den [[Nullvektor]] in <math>W</math> abgebildet werden; er ist also die [[Lösungsmenge]] der [[Homogene Gleichung|homogenen]] [[Lineare Gleichung|linearen Gleichung]] <math>f(x) = 0</math> und wird hier auch '''Nullraum''' genannt. In diesem Fall ist <math>f</math> genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in <math>V</math> besteht. Analoge Definitionen gelten für [[Gruppenhomomorphismus|Gruppen-]] und [[Ringhomomorphismus|Ringhomomorphismen]]. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im [[Homomorphiesatz]].

== Definition ==

* Ist <math>f\colon G \to H</math> ein [[Gruppenhomomorphismus]], so wird die Menge
::<math>\operatorname{Kern} f := \{ g \in G \mid f(g) = e_H \in H \}</math>
:aller [[Element (Mathematik)|Elemente]] von <math>G</math>, die auf das [[neutrales Element|neutrale Element]] <math>e_H</math> von <math>H</math> abgebildet werden, Kern von <math>f</math> genannt. Er ist ein [[Normalteiler]] in <math>G</math>.
* Ist <math>f\colon R\to S</math> ein [[Ringhomomorphismus]], so ist die Menge
::<math>\operatorname{Kern} f :=\{ r \in R \mid f(r) = 0 \in S \}</math>
:der Kern von <math>f</math>. Er ist ein zweiseitiges [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in <math>R</math>.
Im Englischen wird statt <math>\operatorname{Kern}</math> auch <math>\ker</math> oder <math>\operatorname{Ker}</math> (für engl. ''{{lang|en|kernel}}'') geschrieben.
* Ist <math>f\colon V\to W</math> eine [[lineare Abbildung]] von [[Vektorraum|Vektorräumen]] (oder allgemeiner ein [[Modulhomomorphismus]]), dann heißt die Menge
::<math>\operatorname{Kern} f := \{ v \in V \mid f(v) = 0 \in W \}</math>
:der Kern von <math>f</math>. Er ist ein [[Untervektorraum]] (allgemeiner ein [[Untermodul]]) von <math>V</math>.

== Bedeutung ==
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus enthält immer das neutrale Element, der Kern einer linearen Abbildung enthält immer den [[Nullvektor]]. Enthält er nur das neutrale Element bzw. den Nullvektor, so nennt man den Kern ''trivial''.

Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist).<ref name="netzer">{{Internetquelle |url=https://www.uibk.ac.at/mathematik/algebra/media/teaching/lineare-algebra.pdf |titel=Lineare Algebra |autor=Tim Netzer |werk=Universität Innsbruck |format=pdf |datum=222 |abruf=2023-09-15}}</ref>

Der Kern ist von zentraler Bedeutung im [[Homomorphiesatz]].<ref>{{Literatur |Autor=Jessica K. Sklar |Titel=A First Course in Linear Algebra |Kapitel=9.1 |Verlag=libretexts.org |Sprache=en |Online=[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/First-Semester_Abstract_Algebra%3A_A_Structural_Approach_(Sklar)/09%3A_The_Isomorphism_Theorem/9.01%3A_The_First_Isomorphism_Theorem The_First_Isomorphism_Theorem]}}</ref>

== Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen) ==
Wir betrachten die lineare Abbildung <math>f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3</math>, die durch
:<math>f(x)= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ 0\end{pmatrix}</math>
definiert ist. Die Abbildung <math>f</math> bildet genau die Vektoren der Form
:<math>x=\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}, \lambda \in \R</math>
auf den Nullvektor ab und andere nicht. Der Kern von <math>f</math> ist also die Menge
: <math>\operatorname{Kern} f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}, \lambda \in \R\right\}</math>.

Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die <math>z</math>-Achse) und hat demnach die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] 1. Die Dimension des Kerns wird auch als [[Defekt (Mathematik)|Defekt]] bezeichnet und kann mit Hilfe des [[Rangsatz]]es explizit berechnet werden.<ref name="netzer"/>

== Verallgemeinerungen ==
=== Universelle Algebra ===
In der [[universelle Algebra|universellen Algebra]] ist der Kern einer Abbildung <math>f \colon A \to B</math> die durch <math>f</math> induzierte [[Äquivalenzrelation]] auf <math>A</math>, also die Menge <math>\operatorname{Kern}(f):=\{(x,y) \in A \times A \mid f(x)=f(y)\}</math>. Wenn <math>A</math> und <math>B</math> algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel <math>A</math> und <math>B</math> sind Verbände) und <math>f</math> ein [[Homomorphismus]] von <math>A</math> nach <math>B</math> ist, dann ist die Äquivalenzrelation <math>\operatorname{Kern}(f)</math> auch eine [[Kongruenzrelation]]. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus ist. Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann injektiv, wenn <math>\operatorname{Kern}(f)</math> die Identitätsrelation <math>\{(a,a) \mid a \in A\}</math> auf <math>A</math> ist.

=== Kategorientheorie ===
In einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> mit [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekten]] ist ein Kern eines [[Morphismus]] <math>f \colon X \to Y</math> der [[Differenzkern]] des Paares <math>(f,0)</math>, das heißt charakterisiert durch die folgende [[universelle Eigenschaft]]:
* Für die Inklusion <math>i\colon\operatorname{Kern} f\to X</math> gilt <math>fi=0</math>.
* Ist <math>t \colon T \to X</math> ein Morphismus, so dass <math>ft=0</math> ist, so faktorisiert <math>t</math> eindeutig über <math>\operatorname{Kern} f</math>.
Abstrakter formuliert bedeutet das, dass der Kern sich aus dem universellen Morphismus vom Einbettungs<nowiki/>[[Funktor (Mathematik)|funktor]] von <math>(\mathcal C\downarrow 0)</math> in <math>(\mathcal C\downarrow\mathcal C)</math> zum <math>f</math> entsprechenden Objekt ergibt.

== Kokern ==
Der '''Kokern''', Alternativschreibweise '''Cokern''', ist der duale Begriff zum Kern.

Ist <math>f\colon V\to W</math> eine [[lineare Abbildung]] von [[Vektorraum|Vektorräumen]] über einem [[Körpertheorie|Körper]], so ist der ''Kokern'' von <math>f</math> der [[Faktorraum|Quotient]] von <math>W</math> nach dem [[Bild (Mathematik)|Bild]] von <math>f</math>.

Entsprechend ist der Kokern für Homomorphismen [[Abelsche Gruppe|abelscher Gruppen]] oder [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem Ring definiert.

Der Kokern mit der Projektion <math>q\colon W\to\operatorname{coker} f</math> erfüllt die folgende [[universelle Eigenschaft]]: Jeder Homomorphismus <math>t\colon W\to T</math>, für den <math>tf=0</math> gilt, faktorisiert eindeutig über <math>q</math> und es gilt <math>qf=0</math>. Er ergibt sich in einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> mit Nullobjekten aus dem universellen Morphismus vom <math>f</math> entsprechenden Objekt zum Einbettungsfunktor von <math>(0\downarrow\mathcal C)</math> in <math>(\mathcal C\downarrow\mathcal C)</math>.

Diese Eigenschaft ist auch die Definition für den Kokern in beliebigen Kategorien mit [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekten]]. In [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]] stimmt der Kokern mit dem [[Äquivalenzrelation#Quotientenmenge und Partition|Quotienten]] nach dem [[Bild (Mathematik)|Bild]] überein.

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel
| Titel=Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen
| Auflage=
| Verlag=Springer Spektrum
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2013
| DOI=10.1007/978-3-8274-2309-2
| Fundstelle=S. 74f, S. 425f
}}
* {{Literatur
| Autor=Kenneth Kuttler
| Titel=A First Course in Linear Algebra
| Kapitel=5.7
| Verlag=libretexts.org
| Sprache=en
| Online=[https://math.libretexts.org/Courses/Lake_Tahoe_Community_College/A_First_Course_in_Linear_Algebra_(Kuttler)/05%3A_Linear_Transformations/5.07%3A_The_Kernel_and_Image_of_A_Linear_Map The Kernel and Image of A Linear Map]
}}
* {{Literatur
| Autor=Serlo
| Titel=Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Algebra 1
| Verlag=WikiBooks
| Online=[[b:Mathe für Nicht-Freaks: Kern einer linearen Abbildung|Kern einer linearen Abbildung]]
}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Kern (Algebra) - Versionsgeschichte

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