imported>Johannes Barker: Querverweis zur Keplergleichung

2025-08-07T23:29:29Z

Querverweis zur Keplergleichung

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[[Datei:OrbitalEccentricityDemo2.svg|mini|Die vier Formen der Keplerbahnen,<br />jeweils mit numerischer Exzentrizität: Kreis (grau), Ellipse (rot), Parabel (grün), Hyperbel (blau). Der Brennpunkt ist jeweils der gleiche Punkt F.]]
'''Keplerbahnen''' sind Lösungen des [[Zweikörperproblem]]s der klassischen [[Himmelsmechanik]], bei dem zwei [[Massenpunkt]]e unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Massenanziehung ([[Gravitation]]) sich um den gemeinsamen Schwerpunkt (ihr [[Baryzentrum]]) bewegen. Die Formen der Keplerbahnen sind [[Kegelschnitt]]e: [[Kreis (Geometrie)|Kreis]], [[Ellipse]], [[Parabel (Geometrie)|Parabel]] und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], wobei sich das Baryzentrum im [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]] der Bahn befindet.

Wird das Baryzentrum als stillstehend betrachtet, führen beide Körper synchron eine [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnliche]] Keplerbahn um das Baryzentrum aus, wobei sie stets entgegengesetzte Punkte zum Baryzentrum einnehmen und das Verhältnis ihrer veränderlichen Abstände zum Baryzentrum stets umgekehrt ihrem Massenverhältnis ist. In der Praxis ist oft ein Körper so viel massereicher als der andere, dass der massereichere Körper auch als stillstehend betrachtet werden kann. Bei dieser Betrachtung führt der masseärmere Körper eine Keplerbahn um den massereicheren Körper aus. Auf annähernden Keplerellipsen bewegen sich z. B. die [[Planet]]en, [[Komet]]en und [[Asteroid]]en um die [[Sonne]], oder der [[Mond]] um die [[Erde]].

Für die Orientierung einer Keplerbahn im Raum siehe [[Bahnelement]]e. Für die Bewegung auf Keplerbahnen siehe [[Keplersche Gesetze]]. Für Abweichungen vom Ideal siehe [[Bahnstörung]].

== Details ==
In [[Polarkoordinaten]] zeigt eine Keplerbahn folgende Winkelabhängigkeit des Radius <math>r</math>, also des Abstands des Bahnpunkts vom Schwerpunkt <math>F</math>:<ref>{{Literatur |Autor=Franz Embacher |Titel=Elemente der Theoretischen Physik |Band=1 |Verlag=Springer DE |Datum=2010 |ISBN=3-8348-9782-5 |Seiten=134 |Online={{Google Buch|BuchID=oFHptoSKphkC|Seite=134}}}}</ref>

:<math> r (\nu) = \frac{p}{1 + \varepsilon \cdot \cos \nu}\,.</math>

Darin wird der '''wahre Anomalie''' genannte Winkel <math>\nu</math> zwischen [[Apsis (Astronomie)|Apsidenlinie]] und Radiusvektor von der [[Periapsis]] aus gezählt, die im Bild rechts liegt.

Die [[Exzentrizität (Astronomie)|numerische Exzentrizität]] <math>\varepsilon</math> gibt die Streckung der Bahn an:
: <math>\varepsilon = 0:</math> Kreisbahn
: <math>\varepsilon < 1:</math> elliptische Bahn
: <math>\varepsilon = 1:</math> parabolische Bahn
: <math>\varepsilon > 1:</math> hyperbolische Bahn.
Für die ''offenen'' Bahnen (Parabel und Hyperbel) ist der [[Definitionsbereich]] von <math>\nu</math> auf das offene Intervall <math>\pm (\pi - \arccos \tfrac{1}{\varepsilon})</math> beschränkt. Himmelskörper auf offenen Bahnen haben zum Zentralgestirn einen ''ungebundenen Zustand''. Beispiele sind einige [[Komet]]en, die nach einmaliger Näherung an die Sonne ohne Wiederkehr aus dem [[Sonnensystem]] verschwinden.

Für verschiedene <math>\varepsilon</math> schneiden sich die Bahnen bei <math>\nu = \pm \frac{\pi}{2}</math> (der sogenannte [[Ellipse#Halbparameter|Halbparameter]] <math>p = r \left(\pm \frac{\pi}{2}\right)</math> skaliert die Form).

Die zeitliche Entwicklung des Winkels <math>\nu(t)</math> und somit des Abstandes <math>r(t)</math> lässt über die [[Kepler-Gleichung]] bestimmen.

== Siehe auch ==
* [[Bahnbestimmung]]
* [[Gravitationsgesetz]]
* [[Vis-Viva-Gleichung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]

Keplerbahn - Versionsgeschichte

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