78.104.188.66: Grammatikkorrektur

2021-05-12T12:51:03Z

Grammatikkorrektur

Neue Seite

'''Kelley-Räume''' oder auch '''k-Räume''' oder '''kompakt erzeugte Räume''' werden in der [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Disziplin]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von Räumen, deren Topologie in enger Beziehung zu ihren [[Kompakter Raum|kompakten]] Teilmengen steht und die aus diesem Grunde eine wichtige Rolle in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] spielen.

== Definition ==
Ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> heißt '''Kelley-Raum''', wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
* <math>X</math> ist ein [[Hausdorff-Raum]]
* Eine Teilmenge <math>A\subset X</math> ist genau dann [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], wenn die Durchschnitte <math>A\cap K</math> für alle kompakten Teilmengen <math>K\subset X</math> abgeschlossen sind.

Die Begriffe k-Raum oder kompakt erzeugter Raum sind in der Literatur häufiger anzutreffen, das unten genannte Lehrbuch von J. Cigler und H. C. Reichel verwendet den Begriff Kelley-Raum.

== Beispiele ==
* [[Lokalkompakter Raum|Lokalkompakte]] Räume sind Kelley-Räume.
* Hausdorff-Räume, die dem ersten [[Abzählbarkeitsaxiom]] genügen, sind Kelley-Räume.

== Kelleyfizierung ==
Ist <math>(X,\tau)</math> ein Hausdorff-Raum und definiert man ein System <math>\tau_K</math> von Teilmengen durch <math>U\in\tau_K :\Leftrightarrow (X\setminus U)\cap K</math> ist abgeschlossen für alle kompakten Teilmengen <math>K\subset X</math>, so ist <math>\tau_K</math> eine [[Topologischer Raum#Vergleich von Topologien: gröber und feiner|feinere]] Topologie auf <math>X</math> (das heißt <math>\tau \subset \tau_K</math>), die <math>X</math> zu einem Kelley-Raum macht. Der topologische Raum <math>(X,\tau_K)</math> heißt die Kelleyfizierung von <math>X</math> und wird mit <math>k(X)</math> bezeichnet.

<math>(X,\tau)</math> ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn <math>\tau = \tau_K</math> gilt. Man kann zeigen, dass <math>\tau_K</math> die feinste Topologie auf <math>X</math>, die auf allen kompakten Teilmengen die Ausgangstopologie erzeugt.

Ist <math>f:X\rightarrow Y</math> eine stetige Abbildung zwischen Hausdorffräumen, so ist sie auch stetig als Abbildung <math>f:k(X)\rightarrow k(Y)</math>. Wir haben damit einen [[Kategorientheorie|Funktor]] <math>k:\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{K}</math> von der Kategorie der Hausdorffräume in die Kategorie der Kelley-Räume, mit jeweils den stetigen Abbildungen als Morphismen. Ist <math>I:\mathcal{K} \rightarrow \mathcal{H}</math> die Einbettung, so ist <math>I</math> [[Adjungierter Funktor|links-adjungiert]] zu <math>k</math>.

== Eigenschaften ==
* Ein Hausdorff-Raum und seine Kelleyfizierung haben dieselben kompakten Mengen.
* Ist <math>X</math> ein Kelley-Raum, so gilt für jeden anderen topologischen Raum <math>Y</math> und jede Abbildung <math>f:X\rightarrow Y</math>: <math>f</math> ist stetig <math>\Leftrightarrow f|_K</math> ist stetig für alle kompakten Teilmengen <math>K\subset X</math>. (Umgekehrt ist ein Hausdorff-Raum mit dieser Eigenschaft ein Kelley-Raum; betrachte dazu <math>{\rm id}_X:X\rightarrow k(X)</math>.)
* Abgeschlossene [[Unterraum|Unterräume]] von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume, die Kelley-Eigenschaft vererbt sich nicht auf beliebige Unterräume. Der [[Arens-Fort-Raum]] ist kein Kelley-Raum, aber Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
* Die [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Kelley-Räume ist eine [[Unterkategorie|volle Unterkategorie]] der Kategorie der Hausdorffräume.
* Ist von den Kelley-Räumen <math>X</math> und <math>Y</math> einer lokalkompakt, so ist der [[Produkttopologie|Produktraum]] <math>X\times Y</math> ein Kelley-Raum. Das Produkt von beliebigen Kelley-Räumen ist im Allgemeinen kein Kelley-Raum. Setzt man allerdings <math>X\times_k Y := k(X\times Y)</math>, so ist <math>\times_k</math> ein Produkt in der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Kelley-Räume.
* Hausdorffsche [[Quotiententopologie|Quotienten]] von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume.
* Einer der Gründe, warum Kelley-Räume in der algebraischen Topologie verwendet werden, ist folgende Aussage: Sind <math>X</math> und <math>Y</math> Kelley-Räume und bezeichnet <math>C_{co}(X,Y)</math> den Raum der stetigen Funktionen <math>X\to Y</math> mit der [[Kompakt-offene Topologie|kompakt-offenen Topologie]], so ist folgende [[Auswertungsabbildung]] stetig:
:<math>k(C_{co}(X,Y))\times_k X \rightarrow Y,\,\, (f,x)\mapsto f(x)</math>

== Charakterisierung ==
Folgende Charakterisierung der Kelley-Räume geht auf D. E. Cohen zurück und zeigt, dass man die Kelley-Räume als Verallgemeinerung der lokalkompakten Räume betrachten kann:

* Ein Hausdorffraum ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn er Quotient eines lokalkompakten Raums ist.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]
|Titel=Topologie. Eine Grundvorlesung
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=121
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1978
|ISBN=3-411-00121-6}}
* [[James Dugundji]]: ''Topology'' (= ''Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics''). Allyn & Bacon, Boston MA 1966 (Auch: Brown, Dubuque IA 1989, ISBN 0-697-06889-7).
* {{Literatur
|Autor=Vasudevan Srinivas
|Titel=Algebraic K-Theory
|Reihe=Progress in Mathematics
|BandReihe=90
|Auflage=2nd Edition
|Verlag=Birkhauser
|Ort=Boston MA u. a.
|Datum=1996
|ISBN=0-8176-3702-8}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Kompaktheit]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Kelley-Raum - Versionsgeschichte

78.104.188.66: Grammatikkorrektur