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2025-11-10T18:09:47Z

Beweise: weitere Formeln stufenförmig

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[[Datei:Kegelstumpf.svg|mini|300px|Kegelstumpf]]
[[Datei:Tronco cono 3D.stl|mini|3D-Modell: Nach Anklicken kann das Bild mit der Maus manipuliert werden]]
'''Kegelstumpf''' ist in der [[Geometrie]] die Bezeichnung für einen speziellen [[Rotationskörper]]. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem [[Kegel (Geometrie)|geraden Kreiskegel]] [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] einen kleineren [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als ''Ergänzungskegel'' des Kegelstumpfs bezeichnet.

Die größere der beiden parallelen [[Kreisfläche]]n ist die ''Grundfläche'' <math>G</math>, die kleinere die ''Deckfläche'' <math>D</math>. Die dritte der begrenzenden Flächen wird als ''Mantelfläche'' <math>M</math> bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für die [[Flächeninhalt]]e dieser Flächen üblich. Unter der ''Höhe'' <math>h</math> des Kegelstumpfs versteht man den [[Abstand]] von Grundfläche und Deckfläche.

== Formeln ==
Mit <math>r</math> werde der [[Radius]] der Deckfläche, mit <math>R</math> der Radius der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] bezeichnet. <math>\varphi</math> sei der [[Winkel]] zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!colspan="3"| Formeln zum Kegelstumpf
|-
| [[Volumen]]
| <math>V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2) \cdot h</math>
| rowspan="8" |
[[Datei:01-Kegelstumpf-Definition-Höhe.svg|200px]]
|-
|[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]
|<math>A = \pi \cdot \left(r^2 + R^2 + m \cdot (r + R) \right)</math>
|-
|Deckfläche
|<math>D = \pi \cdot r^2</math>
|-
|[[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]
|<math>G = \pi \cdot R^2</math>
|-
|[[Mantelfläche#Mantelfläche des Kegelstumpfs|Mantelfläche]]
|<math>M = \pi \cdot (R + r) \cdot m</math>
|-
| Länge einer Mantellinie
| <math>m = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}</math>
|-
| [[Höhe (Geometrie)|Höhe]]
| <math>h = \frac{R - r}{\tan(\varphi)}</math>
|-
|[[Winkel]] zwischen einer Mantellinie und Kegelachse
|<math>\varphi = \arctan\left(\frac{R - r}{h}\right)</math>
|}

== Beweise ==
=== Volumen ===
Für die Berechnung des [[Volumen|Volumens]] des Kegelstumpfs wird die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Ergänzungskegels mit <math>k</math> bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels mit [[Radius]] <math>R</math> und Höhe <math>h+k</math> und dem Volumen des Ergänzungskegels mit Radius <math>r</math> und Höhe <math>k</math>. Mit Hilfe des [[Strahlensatz]]es folgt, dass
: <math>\frac{h+k}{R}=\frac{k}{r}</math>
Nennt man diesen [[Quotient]]en <math>\lambda</math>, so gilt
: <math>h + k = \lambda \cdot R</math>
: <math>k = \lambda \cdot r</math>
Die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] ist somit
: <math>h = \lambda \cdot (R - r)</math>
Das Volumen des großen [[Kegel (Geometrie)|Kegels]] ist
: <math>V_R = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot (h + k) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \lambda \cdot R^3</math>
das Volumen des kleinen Kegels ist
: <math>V_r = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot k = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \lambda \cdot r^3</math>
das [[Volumen]] des Kegelstumpfs ist die Differenz
: <math>\begin{align}
V &= V_R - V_r\\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \lambda \cdot (R^3 - r^3)\\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \lambda \cdot (R - r) \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)\\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2) \cdot h\\
\end{align}</math>

Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines [[Integralrechnung|Integrals]] berechnet werden, da ein solcher Körper als ein um die x-Achse rotierter [[Rotationskörper]] betrachtet werden kann. Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskörper lautet: <math>V = \pi \cdot \int\limits_{a}^{b}(f(x))^2 \mathrm dx</math>. Setzt man hier für <math>f(x)=\frac{R-r}{h} \cdot x+r</math> ein und errechnet das Integral in den Grenzen von <math>a=0</math> und <math>b=h</math>, so erhält man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern. Dass diese Formel der obigen Formel gleicht, ergibt sich durch folgende Rechnung:
: <math>\begin{align}
V &= \pi \cdot \int\limits_{0}^{h} \left(\frac{R - r}{h} \cdot x + r \right)^2 \mathrm{d}x\\
&= \pi \cdot \int\limits_{0}^{h} \left(\frac{(R - r)^2}{h^2} \cdot x^2 + 2 \cdot \frac{R - r}{h} \cdot x \cdot r + r^2\right) \mathrm{d}x\\
&= \pi \cdot \left[\frac{(R - r)^2}{3 \cdot h^2} \cdot x^3 + \frac{R - r}{h} \cdot r \cdot x^2 + r^2 \cdot x\right]^h_0 \\
&= \pi \cdot \left(\frac{(R - r)^2}{3} \cdot h + R \cdot r \cdot h\right)\\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left((R - r)^2 + 3 \cdot R \cdot r\right) \cdot h\\
&= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)\cdot h \\
\end{align}</math>

=== Mantelfläche ===
Für die Berechnung der [[Mantelfläche]] des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des Ergänzungskegels mit <math>n</math> bezeichnet. Laut [[Strahlensatz]] gilt
: <math>\frac{R}{r} = \frac{n+m}{n}</math>
also
: <math>n = \frac{m \cdot r}{R - r}</math>

Die [[Mantelfläche]] berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche <math>M_1</math> des ganzen Kegels mit Radius <math>R</math> und Mantellinie <math>m+n</math> und der Mantelfläche <math>M_2</math> des Ergänzungskegels mit Radius <math>r</math> und Mantellinie <math>n</math>:
: <math>\begin{align}
M &= M_1 - M_2\\
&= \pi \cdot R \cdot (m + n) - \pi \cdot r \cdot n\\
&= \pi \cdot m \cdot R + \pi \cdot n \cdot (R - r) \\
&= \pi \cdot m \cdot R + \pi \cdot \frac{m \cdot r}{R - r} \cdot (R - r)\\
&= \pi \cdot m \cdot R + \pi \cdot m \cdot r\\
&= \pi \cdot m \cdot (R + r) \\
\end{align}</math>

{{Siehe auch|Kegel (Geometrie)#Mantelfläche|Mantelfläche#Mantelfläche des Kegelstumpfs|titel1=Abschnitt Mantelfläche im Artikel Kegel (Geometrie)|titel2=Abschnitt Mantelfläche des Kegelstumpfs im Artikel Mantelfläche}}

=== Oberfläche ===
[[Datei:Kegelstumpfnetz.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Kegelstumpfs: Der Umfang u1 der Deckfläche D ist gleich der Bogenlänge b1. Der Umfang u2 der Grundfläche G ist gleich der Bogenlänge b2. M ist die Mantelfläche.]]
Die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:
: <math>\begin{align}
A &= D + G + M\\
&= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot R^2 + \pi \cdot m \cdot (r + R)\\
&= \pi \cdot \left(r^2 + R^2 + m \cdot (r + R)\right)\\
\end{align}</math>

== Anwendungsbeispiele ==

=== Trinkglas ===
[[Datei:15-09-26-RalfR-WLC-0084.jpg|mini|Ein [[Martiniglas]] hat annähernd die Form eines [[Kegel (Geometrie)|Kegels]]. Der nicht gefüllte Teil hat die Form eines Kegelstumpfs.]]
Einige [[Trinkglas|Trinkgläser]], zum Beispiel ein [[Martiniglas]], haben annähernd die Form eines Kegels.

Ein [[Martiniglas]] mit dem Durchmesser 103 [[Millimeter]] und der Füllhöhe 59 Millimeter wird bis zu einer Höhe von 40 Millimetern mit [[Orangensaft]] gefüllt. Daraus ergibt sich <math>R = 51{,}5 \ \mathrm{mm}</math>, <math>r = \frac{40 \ \mathrm{mm}}{59 \ \mathrm{mm}} \cdot {51{,}5 \ \mathrm{mm}} \approx 34{,}9 \ \mathrm{mm}</math>, <math>h = 59 \ \mathrm{mm} - 40 \ \mathrm{mm} = 19 \ \mathrm{mm}</math> und daraus das [[Volumen]] des nicht gefüllten Teils, der die Form eines Kegelstumpfs hat:
:<math>V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)</math>
:<math>\ \approx 113 \cdot 10^{3} \ \mathrm{mm^3} = 113 \ \mathrm{cm^3} = 113 \ \mathrm{ml}</math>
Der nicht gefüllte Teil hat also ein [[Volumen]] von etwa 113 [[Milliliter]]n.

Der Anteil des [[Martiniglas]], der gefüllt ist, beträgt
:<math>\left(\frac{40 \ \mathrm{mm}}{59 \ \mathrm{mm}}\right)^3 \approx 0{,}312</math>
Das [[Martiniglas]] ist also zu etwa 31,2 Prozent mit [[Orangensaft]] gefüllt.

== Siehe auch ==
* [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
* [[Pyramidenstumpf]]
* [[Konus]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Rolf Baumann (Autor)|Rolf Baumann]]
|Titel=Geometrie für die 9./10. Klasse
|TitelErg=Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen
|Auflage=4.
|Verlag=Mentor-Verlag
|Ort=München
|Jahr=2003
|ISBN=3-580-63635-9
|Seiten=95 ff.}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Truncated cones|Kegelstumpf}}
{{Wiktionary}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=1025473582}}

[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Kegelstumpf - Versionsgeschichte

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