imported>Vfb1893: BKL Quadrant aufgelöst

2025-08-12T15:54:50Z

BKL Quadrant aufgelöst

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{{Belege fehlen}}
[[Datei:Cone em duas dimensões.svg|mini|Ein Kegel im <math>\R^2</math>]]

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist ein ('''linearer''') '''Kegel''' eine [[Teilmenge]] eines [[Vektorraum]]s, die [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]] bzgl. [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] mit positiven [[Skalar (Mathematik)|Skalaren]] ist. Fordert man zusätzlich, dass der Kegel abgeschlossen bezüglich der Addition ist, so nennt man den Kegel einen [[Konvexer Kegel|konvexen Kegel]].

== Definition ==
Sei <math>\mathbb{K}</math> ein [[geordneter Körper]], beispielsweise die [[Reelle Zahlen|reellen]] oder auch die [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]. Eine Teilmenge <math>C</math> eines <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraums <math>V</math> heiße (linearer) Kegel, wenn für jedes Element <math>x \in C</math> und jeden [[Positive und negative Zahlen|nicht-negativen]] Skalar <math>\lambda \in \mathbb{K}_{\ge0}</math> auch <math>\lambda x \in C</math> ist.<ref name=AFischer153>{{Literatur | Autor = Andreas Fischer | Titel = Lineare Algebra | Jahr = 2003 | Verlag = Teubner | Ort = Stuttgart | ISBN = 3-519-00370-8 | Seiten = 153 }}</ref>

Eine gleichwertige Charakterisierung lautet: Eine Teilmenge <math>C</math> eines Vektorraums <math>V</math> ist genau dann ein (linearer) Kegel, wenn für jeden nicht-negativen Skalar <math>\lambda C \subseteq C</math> gilt. Manchmal wird dies auch als <math>[0,\infty)C\subseteq C</math> geschrieben.

== Arten von Kegeln ==
=== Spitze und stumpfe Kegel ===
Ein Kegel <math>C</math> heißt ''spitz'', wenn er keine Gerade enthält, das heißt <math>-C \cap C \subseteq \{0\}</math>, andernfalls ''stumpf''.

=== Punktierter Kegel ===
Manche Autoren schränken obige Definition auf die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation mit ''echt'' positiven Skalaren ein. In diesem Fall lassen sich ''punktierte'' Kegel (d. h. die <math>0_V</math> ist nicht enthalten) und Kegel ''mit 0'' unterscheiden.

=== Konvexer Kegel ===
{{Hauptartikel|Konvexer Kegel}}
Ein ''konvexer Kegel'' ist ein Kegel, der [[Konvexe Menge|konvex]] ist. Das Konvexitätskriterium für Mengen reduziert sich für Kegel zur Abgeschlossenheit bezüglich der Addition. Der Kegel <math>C</math> ist also genau dann ein konvexer Kegel, wenn für alle <math>x,y \in C</math> gilt, dass <math>x+y \in C</math>.
Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der [[Lineare Optimierung|linearen Optimierung]].

=== Polyedrischer Kegel ===
Ein Kegel <math>C\subseteq\mathbb{K}^n</math> heißt ''polyedrisch'', wenn es eine Matrix <math>A\in\mathbb{K}^{m\times n}</math> gibt, sodass <math>C =\{x\in\mathbb{K}^n\mid Ax\leq0\}</math>, wobei die Ungleichung hier komponentenweise zu verstehen ist, d. h. <math>(Ax)_i\leq0</math> für alle <math>i\in\{1,\ldots,m\}</math>.

Da die Matrixmultiplikation distributiv ist (hier <math>A(x+y)=Ax+Ay</math>), ist jeder polyedrische Kegel abgeschlossen unter Addition und daher [[Konvexer Kegel|konvex]].

=== Echter Kegel ===
Ein Kegel wird ein echter Kegel genannt, wenn er konvex, spitz und [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist sowie ein [[Innerer Punkt|nichtleeres Inneres]] hat. Echte Kegel im <math>\mathbb{R}^n</math> entsprechen dem intuitiven Kegelbegriff am ehesten.

=== Affiner Kegel ===
Wenn <math>C-v</math> für ein <math>C \subseteq V</math> und <math>v \in V</math> ein Kegel ist, so nennt man <math>C</math> (affinen) Kegel mit Spitze <math>v</math>. Anschaulich wird also ein (linearer) Kegel entlang des [[Ortsvektor]]s <math>\vec v</math> verschoben.

== Beispiele ==
* Die Halbgerade
::<math>\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \lambda \geq 0</math>

:ist ein Kegel im <math>\mathbb{R}^2</math>. Allgemeiner ist jeder Strahl, der von Null ausgeht, ein Kegel.
* Der [[Quadrant (Mathematik)|positive Quadrant]]
::<math>Q= \{\,x \in \mathbb{R}^2 \,|\, x_1,x_2 \geq 0\,\}</math>
: ist ein konvexer Kegel, da Summen von Vektoren mit positiven Einträgen wieder positive Einträge haben und er daher abgeschlossen bezüglich Addition ist. Außerdem ist er spitz (er enthält keine Gerade), hat ein nichtleeres Inneres (zum Beispiel liegt der Punkt <math>(1,1)^\top</math> in seinem Inneren) und ist abgeschlossen. Somit ist er ein echter Kegel. Er ist sogar ein polyedrischer Kegel, da ein Vektor <math>x</math> in <math>Q</math> liegt, genau dann, wenn
:<math>\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} x \leq 0</math> ist.
* Die offene rechte Halbebene
:<math>O=\{\,x \in \mathbb{R}^2 \,|\, x_1> 0 \,\}</math>
:ist ein punktierter Kegel, da sie den Nullpunkt nicht enthält, aber abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit echt positiven Skalaren ist.
* Die abgeschlossene rechte Halbebene
:<math>A=\{\,x \in \mathbb{R}^2 \,|\, x_1\geq 0 \,\}</math>
: ist ein konvexer Kegel mit null, aber nicht spitz, da er als Gerade <math>\lambda (0,1)^\top</math> enthält mit <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>.

Abgesehen von den hier aufgeführten „anschaulichen“ Kegeln gibt es Beispiele für Kegel auch in beliebigen Vektorräumen. Beispiele wären:
* Über dem Vektorraum der stetigen Funktionen bilden die [[Konvexe Funktion|konvexen Funktionen]] einen konvexen Kegel. Er ist nicht spitz, da es Funktionen gibt, für die sowohl <math>f</math> als auch <math>-f</math> konvex sind, dies sind die linearen Funktionen. Auch die konkaven Funktionen bilden einen Kegel.
* Die [[Posynomialfunktion]]en bilden einen konvexen Kegel im Vektorraum aller Funktionen <math>\mathbb{R}^n_{++} \to \mathbb{R}</math>, die [[Monomialfunktion]]en immerhin noch einen (punktierten) Unterkegel, der aber nicht konvex ist.

== Eigenschaften ==
*Der Schnitt einer [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Kegeln ist ein Kegel. Somit bilden die Kegel ein [[Hüllensystem]], der zugehörige Hüllenoperator ist die Kegelhülle.
*Die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] einer Familie von Kegeln ist wieder ein Kegel.
*Das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] eines Kegels ist wieder ein Kegel.
*Für zwei Kegel <math>B,C</math> sind <math>-B</math> und die [[Minkowski-Summe|Summe]] <math>B + C</math> jeweils Kegel.
* Für zwei Kegel <math>B\subseteq V, C\subseteq W</math> ist das [[Direktes Produkt|direkte Produkt]] <math>B\times C\subseteq V\times W</math> wieder ein Kegel im jeweiligen Produktraum.
* Ist der Kegel konvex, abgeschlossen und hat ein nichtleeres Inneres, so definiert er eine [[Halbordnung]]. Diese führt dann zu [[Verallgemeinerte Ungleichung|verallgemeinerten Ungleichungen]] und zur Definition von [[K-konvexe Funktion|K-konvexen Funktionen]], die k[[Konvexe Funktion|onvexe Funktion]]en verallgemeinern.

== Operatoren ==
=== Kegelhülle ===
{{Hauptartikel|Kegelhülle}}
Die Kegelhülle <math>\operatorname{cone}(X)</math> ordnet einer beliebigen Teilmenge <math>X \subseteq V</math> den kleinsten Kegel, der <math>X</math> ganz enthält, zu. Sie ist definiert als
:<math>\operatorname{cone}(X) = \{\,\lambda x\,|\,\lambda \in \mathbb{K}_{\ge0} \text{ und } x \in X\,\}</math>.

=== Dualer Kegel und Polarer Kegel ===
{{Hauptartikel|Dualer Kegel}}
Der duale Kegel und der mit ihm eng verwandte polare Kegel lassen sich für jeden Kegel definieren und bilden die Menge aller Vektoren, die mit dem Kegel einen Winkel von weniger als neunzig Grad (im Falle des polaren Kegels mit mehr als neunzig Grad) einschließen. Sie werden meist über das Skalarprodukt definiert, können aber auch allgemeiner über die [[duale Paarung]] definiert werden.

=== Konische Hülle ===
{{Hauptartikel|Konische Hülle}}
Jeder Teilmenge eines Vektorraumes lässt sich ein kleinster konvexer Kegel zuordnen, der diese Menge enthält. Dieser Kegel wird die konische Hülle der Menge genannt. Die konische Hülle ist die [[konvexe Hülle]] der Kegelhülle bzw. die Kegelhülle der konvexen Hülle.

== Wichtige Kegel ==
=== Positiver Orthant ===
Der positive [[Orthant]] ist die Menge aller Vektoren im <math>\mathbb{R}^n</math>, die nur positive Einträge haben.
:<math>O=\{\,x \in \mathbb{R}^n \,|\, x_i \geq 0 \text{ für } i=1, \dots, n\,\}</math>.

Er ist ein echter Kegel, der von den [[Einheitsvektor]]en [[Endlich erzeugter Kegel|endlich erzeugt]] wird, und ist [[Selbstdualer Kegel|selbstdual]] bezüglich des [[Standardskalarprodukt]]es. Insbesondere ist die von ihm erzeugte [[verallgemeinerte Ungleichung]] das "komponentenweise Kleinergleich".
=== Norm-Kegel ===
Der Norm-Kegel im <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> ist definiert durch
:<math>N= \{\,(x,t) \in \mathbb{R}^{n+1} \,|\, \left\|x\right\| \leq t \}</math>.

Sein dualer Kegel ist wieder ein Norm-Kegel, aber bezüglich der [[Duale Norm|dualen Norm]].
=== Lorentz-Kegel ===
ist <math>\left\|\cdot\right\|= \left\|\cdot\right\|_2</math> die [[Euklidische Norm]], so heißt er der Norm-Kegel auch Lorentz-Kegel oder quadratischer Kegel, manchmal auch wie im englischen ''second order cone'' bzw. ''ice-cream cone'':
:<math>L= \{\,(x,t) \in \mathbb{R}^{n+1} \,|\, \left\|x\right\|_2 \leq t \,\}</math>.

Er ist ein echter, selbstdualer Kegel, der bei der Formulierung von [[SOCP]]s verwendet wird.
=== Euklidischer Kegel ===
Für einen Winkel <math>\phi \in [0,\pi/2]</math> ist der euklidische Kegel die Menge aller Vektoren in <math>\mathbb{R}^n</math>, die mit einem vorgegebenen Vektor <math>c</math> einen Winkel kleiner als <math>\phi</math> einschließen:
:<math>C = \{\,x \in \mathbb{R}^n \,|\, \sphericalangle(x,c) \leq \phi \,\}</math>.

Er entsteht durch (nichtsinguläre) lineare Transformation des Lorentz-Kegels.

=== Positiv semidefiniter Kegel ===
Auf dem Vektorraum
:<math>S^n:= \{\, A \in \mathbb{R}^{n \times n} \,|\, A^\top=A \,\}</math>

der symmetrischen reellen <math>n \times n</math>-Matrizen bilden die positiv semidefiniten Matrizen einen Kegel
:<math>S^n_+:= \{\, A \in S^n \,|\, \forall x \in \mathbb{R}^n. x^\top Ax \geq 0 \,\}</math>,

den sogenannten positiv semidefiniten Kegel oder gelegentlich auch nur semidefiniten Kegel. Er ist konvex und selbstdual bezüglich des [[Frobenius-Skalarprodukt]]es. Er spielt eine wichtige Rolle in der [[Semidefinite Programmierung|semidefiniten Optimierung]], da er als [[Ordnungskegel]] eine Halbordnung auf dem <math>S^n</math> definiert, die [[Loewner-Halbordnung]].

== Sphärischer Schnitt ==

Ist der Vektorraum <math>V</math> durch <math>\left\|\cdot\right\| \colon V \to \R</math> [[normierter Vektorraum|normiert]], so lässt sich die [[Zentralprojektion]] eines Kegels <math>C \subseteq V</math> auf den [[Einheitskreis]] <math>S = \{x \in V | \left\|x\right\| = 1 \}</math> betrachten. Diese ist durch
:<math>\pi_C\ \colon\ C \setminus \{0_V \} \to S\ ;\ x \mapsto \frac{x}{\left\|x\right\|}</math>
erklärt. Ihr [[Bild (Mathematik)|Bild]] <math>\operatorname{img}(\pi_C) = C \cap S</math> ist offenbar gleich dem [[Schnittmenge|Schnitt]] des Kegels mit dem Einheitskreis.

Ein Kegel wird durch seinen Kreisschnitt vollständig beschrieben, denn es gilt:
:<math>\operatorname{cone} (\operatorname{img}(\pi_C)) = C</math>

== Siehe auch ==
*[[Kegel (Geometrie)]]
*[[Geordneter Vektorraum]]
*[[Tangentialkegel und Normalkegel]]
*[[Linearisierter Tangentialkegel]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Kegel (Lineare Algebra) - Versionsgeschichte

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