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2025-07-01T05:32:07Z

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[[Datei:Cardiod animation.gif|250px|mini|Kardioide erzeugt durch einen rollenden Kreis auf einem Kreis mit demselben Radius.]]
[[Datei:Kardioide.svg|250px|mini|Erzeugung einer Kardioide durch Abrollen eines Kreises auf einem Kreis mit gleichem Radius]]
Die '''Kardioide''' oder '''Herzkurve''' (von {{elS|καρδία|de=Herz}}) ist eine [[Ebene (Mathematik)|ebene]] [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], genauer gesagt eine [[algebraische Kurve]] 4. Ordnung, die ihren Namen wegen ihrer Form erhielt.

Lässt man auf der Außenseite eines gegebenen festen [[Kreis (Geometrie)|Kreises]] mit Mittelpunkt M und Radius <math>a</math> einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius abrollen und betrachtet man dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abrollenden Kreis, so beschreibt P eine Kardioide. Damit erweist sich die Kardioide als spezielle [[Epizykloide]].

== Gleichungen der Kardioide ==
Ist <math>a</math> der gemeinsame Radius der erzeugenden Kreise mit den Mittelpunkten <math>(-a,0), (a,0)</math>, <math>\varphi</math> der Rollwinkel und der Nullpunkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die
* Parameterdarstellung:
: <math>x(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\cdot\cos\varphi \ ,</math>
: <math>y(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\cdot\sin\varphi \ , \qquad 0\le \varphi < 2\pi</math> .
Hieraus ergibt sich die Darstellung in
* [[Polarkoordinaten]]:
: <math>r(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)</math>
Mit der Substitution <math> \cos \varphi= x/r</math> und <math> r=\sqrt{x^2+y^2}</math> erhält man nach Beseitigung der Wurzel die implizite Darstellung in
* [[Kartesische Koordinaten]]:
: <math>(x^2 + y^2)^2 + 4 a x (x^2 + y^2) - 4a^2 y^2 \, = \, 0</math> .

; Beweis der Parameterdarstellung:
Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe [[Komplexe Zahl|komplexer Zahlen]] und ihrer Darstellung als [[Gaußsche Zahlenebene]] leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes <math>z</math> (komplexe Zahl) um den Nullpunkt <math>0</math> mit dem Winkel <math>\varphi</math> wird durch die Multiplikation mit <math> e^{i\varphi}</math> bewirkt.
: Die Drehung <math>\Phi_+</math> um den Punkt <math>a</math> ist <math>z \mapsto a+(z-a)e^{i\varphi}</math> .
: Die Drehung <math>\Phi_-</math> um den Punkt <math>-a</math> ist <math>z \mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi}</math>.
Ein Kardioidenpunkt <math> p(\varphi)</math> entsteht durch Drehung des Nullpunktes um <math>a</math> und anschließende Drehung um <math>-a</math> jeweils um den Winkel <math>\varphi</math>:
: <math>p(\varphi)=\Phi_-(\Phi_+(0))=\Phi_-(a-ae^{i\varphi})=-a+( a-ae^{i\varphi}+a)e^{i\varphi}=a\;(-e^{i2\varphi}+2e^{i\varphi}-1)</math>.
hieraus ergibt sich
: <math>
\begin{array}{cclcccc}
x(\varphi)&=&a\;(-\cos(2\varphi)+2\cos\varphi -1) &=& 2a(1-\cos\varphi)\cdot\cos\varphi && \\
y(\varphi)&=&a\;(-\sin(2\varphi)+2\sin\varphi)&=& 2a(1-\cos\varphi)\cdot\sin\varphi &.&
\end{array} </math>
(Es wurden die Formeln <math> e^{i\varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi, \ (\cos\varphi)^2+ (\sin\varphi)^2=1, \ \cos2\varphi=(\cos\varphi)^2- (\sin\varphi)^2,\; \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi</math> benutzt. Siehe [[Formelsammlung Trigonometrie]].)

== Flächeninhalt, Kurvenlänge und Krümmungsradius ==
Für die obige Kardioide ist
* der ''Flächeninhalt'' <math> A= 6\pi a^2</math>, und
* die ''Kurvenlänge'' <math> L= 16 a </math>.
* ''[[Krümmungsradius]]'' <math>\rho(\varphi)=\tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2} \ . </math>
Die Beweise verwenden jeweils die Polardarstellung der obigen Kardioide. Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z. B. hier.<ref>Meyberg, Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1''. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 198,199</ref>

; Beweis für den Flächeninhalt:
: <math> A=2\cdot \tfrac{1}{2}\int_0^\pi{(r(\varphi))^2}\; d\varphi=\int_0^\pi{4a^2(1-\cos\varphi)^2}\; d\varphi=\cdots =4a^2\cdot\tfrac{3}{2}\pi=6\pi a^2</math> .
; Beweis für die Kurvenlänge:
: <math>L=2\int_0^\pi{\sqrt{r(\varphi)^2+(r'(\varphi))^2}} \; d\varphi=\cdots=8a\int_0^\pi\sqrt{\tfrac{1}{2}(1-\cos\varphi)}\; d\varphi= 8a\int_0^\pi\sin(\tfrac{\varphi}{2}) d\varphi= 16a</math> .
; Beweis für den Krümmungsradius:
Der Krümmungsradius <math> \rho </math> einer Kurve in Polarkoordinaten <math>r=r(\varphi)</math> ist (s. [[Krümmung#Ebene Kurven|Krümmung]])
:: <math>\rho(\varphi) = \frac{\left[r(\varphi)^2 + \dot r(\varphi)^2\right]^{3/2}}
{r(\varphi)^2 + 2 \dot r(\varphi)^2 - r(\varphi) \ddot r(\varphi)} \ .</math>
Für die Kardioide <math>r(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)=4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}</math> ergibt sich
: <math>\rho(\varphi)=\cdots=\frac{[16a^2\sin^2\frac{\varphi}{2}]^\frac{3}{2}}
{24a^2 \sin^2\frac{\varphi}{2}} = \frac{8}{3}a\sin\frac{\varphi}{2} \ . </math>

== Eigenschaften der Kardioide ==
[[Datei:Kardioide-2.svg|250px|mini|Sehnen einer Kardioide]]

=== Sehnen durch die Spitze ===
: '''S1:''' Die ''Sehnen'' durch die Spitze der Kardioide haben alle dieselbe Länge <math> 4a</math> .
: '''S2:''' Die Mittelpunkte der Sehnen durch die Spitze liegen auf dem festen Erzeugerkreis (s. Bild).

; Beweis zu S1:
Die Punkte <math>P: p(\varphi),\;Q: p(\varphi+\pi)</math> liegen auf einer Sehne durch die Spitze (=Nullpunkt). Es ist
: <math>|PQ|= r(\varphi) + r(\varphi+\pi)</math>
::: <math>=2a (1 - \cos\varphi) + 2a (1 - \cos(\varphi+\pi))=\cdots = 4a</math> .

; Beweis zu S2:
Für den Beweis wird die Darstellung in der gaußschen Zahlenebene (s. o.) verwendet. Für die Punkte
: <math>P: p(\varphi)=a\;(-e^{i2\varphi}+2e^{i\varphi}-1)</math>
: <math>Q: p(\varphi+\pi)=a\;(-e^{i2(\varphi+\pi)}+2e^{i(\varphi+\pi)}-1)
=a\;(-e^{i2\varphi}-2e^{i\varphi}-1)</math>,
ist
: <math>M:\tfrac{1}{2}(p(\varphi)+p(\varphi+\pi))=\cdots=-a-ae^{i2\varphi}</math>
der Mittelpunkt der Sehne <math>PQ</math> und liegt auf dem Kreis der Gaußschen Zahlenebene mit Mittelpunkt <math>-a</math> und Radius <math>a</math> (s. Bild).

[[Datei:Kardioide-parabel-1.svg|250px|mini|Die Kardioide entsteht durch Spiegelung einer Parabel am Einheitskreis (gestrichelt)]]

=== Kardioide als inverse Kurve einer Parabel ===
{{Hauptartikel|Inversion (Geometrie)}}
* Die Kardioide ist das Bild einer Parabel unter einer Kreisspiegelung ([[Inversion (Geometrie)|Inversion]]), bei der das Inversionszentrum im Brennpunkt der Parabel liegt (s. Bild).

Im Beispiel des Bildes haben die Erzeugerkreise den Radius <math>a=\tfrac{1}{2}</math>. Die gespiegelte Parabel genügt in x-y-Koordinaten der Gleichung <math>x=\tfrac{1}{2}(y^2-1)</math>.

[[Datei:Kardioide-kreise.svg|200px|mini|Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar]]
=== Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar ===
Bildet man bei der Inversion der Parabel im vorigen Abschnitt die Tangenten mit ab, so gehen sie als Geraden in eine Schar von Kreisen durch das Inversionszentrum (Nullpunkt) über. Eine genauere Untersuchung (Nachrechnen) zeigt: Die Mittelpunkte der Kreise liegen alle auf dem festen Erzeugerkreis (cyan) der Kardioide. Der Erzeugerkreis ist das Bild der Leitlinie der Parabel. Da sich auf der Leitlinie einer Parabel die Tangenten senkrecht schneiden und die Kreisspiegelung winkeltreu ist, schneiden sich Kreise der Kreisschar auf dem Erzeugerkreis auch senkrecht.

Die hier beschriebene Eigenschaft der Kreisschar erlaubt eine einfache Methode um eine ''Kardioide zu zeichnen'':
: 1) Wähle einen Kreis k und einen Punkt O darauf,
: 2) zeichne Kreise durch O mit Mittelpunkte auf k,
: 3) zeichne die Einhüllende dieser Kreise.

; Beweis mit Einhüllenden-Bedingung:
Es sei durch
: <math>F(x,y,t)=0</math>
eine Schar von impliziten Kurven mit dem Scharparameter <math>t</math> gegeben. Die Einhüllende (oder Hüllkurve) besteht aus Punkten <math>(x,y)</math>, die für festes <math>t</math> Lösungen des i.a. nicht linearen Gleichungssystems
*<math>F(x,y,t)=0, \quad F_t(x,y,t)=0 \; . </math> (Einhüllenden-Bedingungen)
sind. (<math>F_t</math> bedeutet die [[partielle Ableitung]] nach <math>t</math>, siehe [[Einhüllende]])

Es sei k der Kreis mit Mittelpunkt <math>(-1,0)</math> und Radius <math>1</math>. k hat die Parameterdarstellung <math>(-1+\cos t,\sin t)</math>. Die Kreisschar, deren Mittelpunkte auf k liegen und die durch den Punkt <math>O=(0,0)</math> gehen, lassen sich implizit durch
: <math>F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^2+(y-\sin t)^2-(2-2\cos t)=0</math>
beschreiben. Multipliziert man die Klammern aus, ergibt sich
: <math>F(x,y,t)=x^2+y^2+2x\; (1-\cos t)-2 y\; \sin t=0\; .</math> Die 2. Scharbedingung ist
: <math>F_t(x,y,t)=2x\; \sin t-2y\; \cos t=0 </math>
Man prüft leicht nach, dass die Punkte der Kardioide mit der Parameterdarstellung
: <math>x(t)=2(1 - \cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1 - \cos t)\sin t</math>
das nicht lineare Gleichungssystem erfüllt. Der Scharparameter <math>t</math> ist hier identisch mit dem Winkel-Parameter der Kardioide.

=== Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar ===
[[Datei:Kardioide-sehnen.svg|220px|mini|Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar]]
Eine ähnlich einfache Methode, eine Kardioide als Einhüllende einer ''Geradenschar'' zu konstruieren, geht auf [[Luigi Cremona|L. Cremona]] zurück:

# Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit <math>2N</math> Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend.
# Zeichne die Sehnen: <math>(1,2), (2,4), ...., (n,2n),...., (N,2N), (N+1,2), (N+2,4), ...., </math>. (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit doppelter Geschwindigkeit.)
# Die ''Einhüllende'' dieser Strecken ist eine Kardioide.

[[Datei:Cycloid-cremona-pr.svg|220px|mini|Kardioide: Erzeugung nach Cremona, zum Beweis]]
; Beweis:
Im Folgenden werden die [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrischen Formeln]] für
<math> \cos \alpha+\cos\beta,\ \sin \alpha+\sin\beta, \ 1+\cos 2\alpha, \ \cos2\alpha , \sin 2\alpha</math>
verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Kardioide mit der Polardarstellung <math>r=2(1{\color{red}+}\cos\varphi)</math> geführt (s. Abschnitt ''anders orientierte Kardioiden'').
; ''Gleichung der Tangente'': an die Kardioide mit der Polardarstellung <math>r=2(1+\cos\varphi)</math>:
: Aus der Parameterdarstellung
: <math>x(\varphi)= 2(1+\cos\varphi)\cos \varphi,</math>
: <math> y(\varphi)=2(1+\cos\varphi)\sin \varphi </math>
berechnet man zunächst den Normalenvektoren <math>\vec n=(\dot y , -\dot x)^T </math>. Die Gleichung der Tangente <math>\dot y(\varphi)\cdot (x -x(\varphi)) - \dot x(\varphi)\cdot (y-y(\varphi))= 0</math> ist dann:
: <math>(\cos2\varphi+\cos \varphi)\cdot x \ + \ (\sin 2\varphi+\sin \varphi)\cdot y = 2(1+\cos \varphi)^2 \ .</math>
Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch <math> \cos\tfrac{1}{2}\varphi</math> lässt sich die Gleichung der Tangente so schreiben:
*<math>\cos(\tfrac{3}{2}\varphi) \cdot x + \sin(\tfrac{3}{2}\varphi) \cdot y = 4 (\cos\tfrac{1}{2}\varphi)^3 \quad 0 < \varphi < 2\pi,\ \varphi \ne \pi .</math>
; ''Gleichung der Sekante'': an den Kreis mit Mittelpunkt <math>(1,0)</math> und Radius <math>3</math>: Für die Gleichung der [[Sekante]] durch die beiden Punkte <math>(1+3\cos\theta, 3\sin\theta), \ (1+3\cos{\color{red}2}\theta, 3\sin{\color{red}2}\theta)) </math> ergibt sich:
: <math>(\sin\theta-\sin 2\theta)\cdot x \ + \ (\cos 2\theta-\sin \theta)\cdot y = -2\cos \theta -\sin2\theta \ .</math>
Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch <math> \sin\tfrac{1}{2}\theta</math> lässt sich die Gleichung der Sekante so schreiben:
*<math>\cos(\tfrac{3}{2}\theta) \cdot x + \sin(\tfrac{3}{2}\theta) \cdot y = 4 (\cos\tfrac{1}{2}\theta)^3 \quad 0 < \theta < 2\pi .</math>

Die beiden Winkel <math>\varphi , \theta</math> haben zwar verschiedene Bedeutungen (s. Bild), für <math>\varphi=\theta </math> ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Kardioide und
* ''die Kardioide ist die Einhüllende der Kreissehnen.''

''Bemerkung:'' 
Der Beweis lässt sich auch mit den Einhüllen-Bedingungen einer impliziten Kurvenschar (s. vorigen Abschnitt) führen. Dabei beschreibt
: <math>F(x,y,t)=\cos\tfrac{3}{2}t\cdot x \ + \ \sin \tfrac{3}{2}t\cdot y - 4 (\cos\tfrac{1}{2}t)^3=0\ ,</math> die Schar der Sekanten an den Kreis (s. o.)
: <math>F_t(x,y,t)=-\tfrac{3}{2}\sin\tfrac{3}{2}t\cdot x \ + \ \tfrac{3}{2}\cos \tfrac{3}{2}t\cdot y +3\cos\tfrac{1}{2}t \sin t=0\ .</math>
Beide Gleichungen sind für festen Parameter t Geradengleichungen. Der Schnittpunkt
: <math>x(t)=2(1 + \cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1 + \cos t)\sin t</math>
der Geraden ist ein Punkt der Kardioide mit der Polardarstellung <math>r=2(1+\cos t)</math>. (Bei Umformungen müssen immer wieder trigonometrische Formeln (s. o.) benutzt werden.)

[[Datei:Kardioide-kaustik-1.svg|mini|Zu ''Kardioide als Kaustik'': 
Lichtquelle <math>Z</math>, Lichtstrahl <math>\vec s</math>, reflektierter Strahl <math>\vec r</math>]]
[[Datei:Kardioide-kaustik-2.svg|mini|Kardioide als Kaustik eines Kreises mit Lichtquelle (rechts) auf dem Kreis]]

=== Kardioide als Kaustik eines Kreises ===
Die vorigen Überlegungen liefern auch einen Beweis dafür, dass als [[Kaustik (Optik)|Kaustik]] eines Kreises mit der Lichtquelle auf dem Kreis eine Kardioide auftritt.

* Gehen in der Ebene von einem Punkt <math>Z</math> eines spiegelnden Kreises Lichtstrahlen gemäß der Abbildung aus, so sind die im Innern des Kreises reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Kardioide. (s. Abschnitt ''Kardioide in Optik und Akustik'')

; Beweis:
Der Kreis habe (wie im vorigen Abschnitt) den Mittelpunkt <math>(1,0) </math> und den Radius <math>3</math>. Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung
: <math>k(\varphi)=(1+3\cos\varphi,3\sin\varphi) \ .</math>
Die Tangente im Kreispunkt <math>K= k(\varphi)</math> hat den Normalenvektor <math>\vec n_t=(\cos\varphi,\sin\varphi)^T</math>. Der reflektierte Strahl muss dann (laut Abbildung) den Normalenvektor <math>\vec n_r=(\cos{\color{red}\tfrac{3}{2}}\varphi,\sin{\color{red}\tfrac{3}{2}}\varphi)^T</math> haben und durch den Kreispunkt <math>K:(1+3\cos\varphi,3\sin\varphi) </math> gehen. Der reflektierte Strahl liegt also (s. vorigen Abschnitt) auf der Gerade mit der Gleichung
: <math>\cos\tfrac{3}{2}\varphi\cdot x \ + \ \sin \tfrac{3}{2}\varphi\cdot y = 4 (\cos\tfrac{1}{2}\varphi)^3 \ ,</math>
die wiederum Tangente an die Kardioide mit der Polardarstellung
: <math>r=2(1+\cos\varphi)</math>
des vorigen Abschnitts ist.

''Bemerkung:'' Mehrfachreflexionen am Kreis werden bei diesen Überlegungen üblicherweise nicht berücksichtigt.

=== Kardioide als Fußpunktkurve eines Kreises ===
[[Datei:Kardioide-kreistangenten.svg|220px|mini|Kardioide: Lotfußpunkte auf Kreistangenten]]
Die Cremona-Erzeugung einer Kardioide sollte nicht verwechselt werden mit der folgenden Erzeugung:

Es sei ein Kreis <math>k</math> und ein fester Punkt <math> O</math> auf diesem Kreis gegeben. Es gilt:
* Die Lotfußpunkte vom Punkt <math>O</math> auf die Tangenten des Kreises <math>k</math> bilden eine Kardioide.
Eine Kardioide ist somit eine spezielle [[Fußpunkt-Transformation|Fußpunktkurve]] (engl.: ''pedal curve'') eines Kreises.

; Beweis:
In der x-y-Ebene habe der Kreis <math>k</math> den Mittelpunkt <math>(2a,0)</math> und den Radius <math>2a</math>. Die Tangente im Kreispunkt <math>(2a+2a\cos\varphi, 2a\sin \varphi)</math> hat die Gleichung
: <math>(x-2a)\cdot\cos \varphi + y\cdot\sin\varphi = 2a\ .</math>
Der Lotfußpunkt von <math>O</math> auf die Tangente ist der Punkt <math>(r\cos \varphi, r\sin \varphi)</math> mit dem noch unbekannten Abstand <math>r</math> zum Nullpunkt <math>O</math>. Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt
: <math>(r\cos\varphi-2a)\cos\varphi + r\sin^2\varphi =2a \quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi) </math>
die Polardarstellung einer Kardioide.

''Bemerkung:'' Liegt der Punkt <math>O</math> nicht auf dem Kreis <math>k</math>, so entsteht eine ''pascalsche Schnecke'' (s. nächsten Abschnitt).

=== Kardioide als pascalsche Schnecke ===
Eine pascalsche Schnecke ist eine ebene Kurve mit einer Polardarstellung <math>r=b+a\cos t</math>. Im Fall <math>b=a</math> ergibt sich eine Kardioide. Also gilt:
* Die Kardioide ist ein Spezialfall der [[Pascalsche Schnecke|pascalschen Schnecke]], diese ist wiederum ein Spezialfall der [[Konchoide]].
[[Datei:Cardioide.JPG|mini|Kardioide auf der Glasur eines Schmortopfes]]

=== Kardioide in Optik und Akustik ===
* Die Lichterscheinung ([[Kaustik (Optik)|Kaustik]]) in einer Kaffeetasse, die von Licht aus einer am Tassenrand platzierten Lichtquelle getroffen wird, ist eine Kardioide. Die Kaustik, die von parallel eintreffendem Licht erzeugt wird, wird allerdings durch eine andere Kurve ([[Nephroide]]) beschrieben; in anderen Fällen entsteht eine Mischform.

In der [[Tontechnik]] wird das [[Polarkoordinaten|Polardiagramm]] der [[Richtcharakteristik]] einer Kardioide mit [[Nierencharakteristik|Niere]] bezeichnet, auch wenn es eine Herzkurve darstellt.

== Evolute einer Kardioide ==
[[Datei:Cardioid-evol.svg|mini|Evolute (grün) einer Kardioide (rot) 
magenta: ein Punkt P, sein Krümmungsmittelpunkt M und der zugehörige Krümmungskreis]]
Die [[Evolute]] einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort aller [[Krümmungsmittelpunkt]]e dieser Kurve. Für eine parametrisierte Kurve <math>\vec x(s)=\vec c(s)</math> mit Krümmungsradius <math>\rho(s)</math> hat die Evolute die Parameterdarstellung
: <math>\vec X(s)=\vec c(s) + \rho(s)\vec n(s).</math>
wobei <math>\vec n(s)</math> die geeignet orientierte Einheitsnormale ist. (<math>\vec n(s)</math> zeigt zu dem Krümmungsmittelpunkt hin.)

Für eine Kardioide gilt:
* Die ''Evolute'' einer Kardioide ist wieder eine Kardioide ein Drittel so groß (siehe Bild).
; Beweis:
Für die Kardioide mit der Parameterdarstellung
: <math>x(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\cos\varphi=4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi\ ,</math>
: <math>y(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\sin\varphi=4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\sin\varphi</math>
ist die Einheitsnormale
: <math>\vec n(\varphi)=(-\sin\tfrac{3}{2}\varphi, \cos\tfrac{3}{2}\varphi)</math>
und der Krümmungskreisradius (s. oben)
: <math>\rho(\varphi)=\tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2} \ . </math>
Also hat die Evolute die Parameterdarstellung
: <math>X(\varphi) = 4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi-\tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2}\cdot \sin\tfrac{3}{2}\varphi
=\cdots= \tfrac{4}{3}a\cos^2\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi-\tfrac{4}{3}a \ , </math>
: <math>Y(\varphi) = 4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\sin\varphi+\tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2} \cdot\cos\tfrac{3}{2}\varphi\ =\cdots= \tfrac{4}{3}a\cos^2\tfrac{\varphi}{2}\sin\varphi \ . </math>
Diese Gleichungen beschreiben eine Kardioide, die ein Drittel so groß wie die gegebene Kardioide, um 180 Grad gedreht und um <math>-\tfrac{4}{3}a</math> entlang der x-Achse verschoben ist.

(Es wurden [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrische Formeln]] benutzt: <math> \sin\tfrac{3}{2}\varphi=\sin\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi+\cos\tfrac{\varphi}{2}\sin\varphi\ ,\ \cos\tfrac{3}{2}\varphi=\cdots, \ \sin\varphi=2\sin\tfrac{\varphi}{2}\cos\tfrac{\varphi}{2}\ , \ \cos\varphi= \cdots</math>.)

== Orthogonaltrajektorien ==
[[Datei:Cardioid-penc.svg|300px|mini|Orthogonale Kardioiden]]
Eine [[Orthogonaltrajektorie]] einer Kurvenschar ist eine Kurve, die jede Kurve der Schar senkrecht schneidet. Für Kardioiden gilt:
* Die Orthogonaltrajektorien der Kardioidenschar mit den Gleichungen
:: <math>r=2a(1-\cos\varphi)\ , \; a>0 \ , \ </math>
: sind die Kardioiden mit den Gleichungen
:: <math>r=2b(1+\cos\varphi)\ , \; b>0 \ . </math>
(Die zweite Schar entsteht durch Spiegelung der ersten an der y-Achse. Siehe Bild.)

'''Beweis:''' 
Ist eine Kurve in Polarkoordinaten durch eine Funktion <math>r(\varphi)</math> gegeben, so besteht zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten eines Punktes die folgende Beziehung:
: <math> x(\varphi)=r(\varphi)\cos\varphi\ ,\qquad</math> <math> y(\varphi)=r(\varphi)\sin\varphi \qquad </math>
und damit
: <math>\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi \ ,\qquad </math><math>\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi\ . </math>
Dividiert man die letzten beiden Gleichungen erhält man die Steigung in kartesischen Koordinaten:
: <math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.</math>
Für die Kardioiden mit den Gleichungen <math>r=2a(1-\cos\varphi) \; </math> bzw. <math>r=2b(1+\cos\varphi)\ </math> ergibt sich
: <math>\frac{dy_a}{dx}=\frac{\cos\varphi-\cos2\varphi}{\sin2\varphi-\sin\varphi}\quad </math> bzw. <math>\quad \frac{dy_b}{dx}=-\frac{\cos\varphi+\cos2\varphi}{\sin2\varphi+\sin\varphi}\ . </math>
(Die Steigungen hängen jeweils nur von <math>\varphi</math> ab, und nicht mehr von den Parametern <math>a,b</math> !) 
Hieraus ergibt sich
: <math>\frac{dy_a}{dx}\cdot \frac{dy_b}{dx}=\cdots=-\frac{\cos^2\varphi-\cos^2 2\varphi}{\sin^2 2\varphi-\sin^2\varphi}= -\frac{-1+\cos^2\varphi+1-\cos^2 2\varphi}{\sin^2 2\varphi-\sin^2\varphi}=-1\ .</math>
D. h. jede Kurve der einen Schar schneidet jede Kurve der anderen Schar senkrecht.

[[Datei:Kardioide-4.svg|300px|mini|4 Kardioiden mit Polardarstellung und Lage im Koordinatensystem]]

== Anders orientierte Kardioiden ==
Wählt man andere Lagen der Kardioide im Koordinatensystem so ändern sich die Gleichungen, die sie beschreiben. Im Bild sind die 4 üblichen Orientierungen und ihre zugehörigen Polardarstellungen zu sehen.

== Zur Geschichte der Kardioide ==
Bei der Suche nach einer optimalen Form von Zahnrädern untersuchte [[Ole Roemer]] 1674 Epizykloiden und damit auch Kardioiden. Der Name ''Kardioide'' wurde zuerst von [[Johann Castillon|Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon]] verwendet. Die Länge einer Kardioide wurde 1708 von [[Philippe de la Hire]] berechnet. Eine Kardioide ist eine spezielle [[Pascalsche Schnecke]], benannt nach [[Étienne Pascal]], dem Vater von [[Blaise Pascal]].

== Literatur ==
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik''. Harri Deutsch-Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 479

== Weblinks ==
{{Commonscat|Cardioids|Kardioide}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=Cardioid |title=Cardioid}}
* {{MacTutor |id=Cardioid |title=Cardioid|page=cur}}
* Xah Lee: [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cardioid_dir/cardioid.html ''Cardioid''] (englisch)
* [https://www.math.hmc.edu/~gu/math142/mellon/curves_and_surfaces/curves/cardioid.html Curves & Surfaces: ''Cardioid''.] (englisch)
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml ''Cardioid''.] Mathcurve

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Kardioide - Versionsgeschichte

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