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[[Datei:2006-01-14 Surface waves.jpg|mini|hochkant=1.2|Kapillarwellen auf dem Wasser]]

'''Kapillarwellen''' sind [[Transversalwelle]]n an einer Flüssigkeitsoberfläche, deren Eigenschaften inklusive der Ausbreitungsgeschwindigkeit hauptsächlich von der [[Oberflächenspannung]] der Flüssigkeit abhängen. Dies ist bis zu einer [[Wellenlänge]] von etwa einem Zentimeter der Fall.<ref>{{Literatur|Herausgeber=Joachim Grehn|Titel=Metzler Physik|Auflage=2.|Verlag=Schroedel Schulbuchverlag GmbH|Ort=Hannover|Jahr=2005|ISBN=3-507-05209-1|Seiten=124}}</ref>

Mit steigender Wellenlänge gehen Kapillarwellen in [[Schwerewelle]]n über, bei denen der Einfluss der [[Schwerkraft]] überwiegt.

== Physikalische Beschreibung ==
Am höchsten Punkt eines Wellenberges (<math>y = h</math>) wirkt nach der [[Young-Laplace-Gleichung]] der Kapillardruck

:<math>p_{\mathrm{kap}} = \sigma\Bigl( \frac{1}{r}+\frac{1}{r^{\prime}}\Bigr) = \frac{\sigma}{r}</math>

mit
* der [[Oberflächenspannung]] <math>\sigma</math> in [[Newton (Einheit)|N]]/m
* den [[Krümmungsradius|Krümmungsradien]] der Oberfläche <math>r</math> in Ausbreitungsrichtung und <math>r^\prime= \infty</math> entlang des Wellenrückens. Hierbei gilt <math>r \approx 1/y^{\prime\prime}</math>, wobei die Funktion <math>y(x)</math> die Form der Oberfläche gemäß der [[Wellengleichung#Die Wellengleichung in einer räumlichen Dimension|Wellengleichung]]

::<math>y(x) = h \cdot \sin(2\pi \cdot x/\lambda)</math>

:angibt, mit
:* der vertikalen Koordinate <math>y</math>
:* der horizontalen Koordinate <math>x </math>
:* der [[Amplitude]] <math>h.</math>

Somit ist auf dem Wellenberg der Kapillardruck durch

:<math> p_\mathrm{kap} = \sigma \frac{4 \pi^2}{\lambda^2}h </math>

gegeben und für das Wellental mit entsprechend geändertem Vorzeichen.

Auf dem Wellenberg ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen geringer als im Wellental: Für einen Beobachter, der der Welle folgt, haben die Teilchen in ersterem (betragsmäßig) die Geschwindigkeit <math>c_\text{kap}-v</math> und in letzterem die Geschwindigkeit <math>c_\text{kap}+v</math>. Dabei ist <math>c_\text{kap}</math> die [[Phasengeschwindigkeit|Ausbreitungsgeschwindigkeit]] der Welle und <math>v</math> der (halbe) Geschwindigkeitsunterschied. Für einen mit der Flüssigkeit ruhenden Beobachter bewegen sich die Teilchen (in guter Näherung) nicht. Die Propagation der Welle durch die Flüssigkeit entspricht für ihn einer Kreisbewegung der einzelnen Teilchen mit Radius <math>h</math> und Radialgeschwindigkeit <math>v</math>. Dabei ist die [[Winkelgeschwindigkeit]] <math> \omega </math> wie gewöhnlich mit der Wellenlänge <math> \lambda </math> verbunden:

:<math> \omega = \frac{v}{h} = 2 \pi \, \frac{c_\text{kap}}{\lambda} </math>.

Die Differenz der kinetischen Energie pro Volumen (mit [[Dichte|Flüssigkeitsdichte]] <math>\rho</math>)

:<math> \frac{\Delta E_\text{kin}}{V} = \frac{1}{2} \, \rho \, (c_\text{kap}+v)^2 - \frac{1}{2} \, \rho \, (c_\text{kap}-v)^2 =
2 \rho c_\text{kap} v = \frac{4 \pi h \rho c_\text{kap}^2}{\lambda} </math>

zwischen Berg und Tal entspricht einem Druck ([[Bernoulli-Gleichung|Bernoulli-Formel]]), der dem Kapillardruck entgegenwirkt.

Aus der Bedingung, dass dieser dynamische Druckunterschied zwischen Wellenberg und Wellental gleich dem Kapillardruckunterschied (dieser entspricht dem zweifachen Betrag des oben angegebenen <math>p_\text{kap} </math>) zwischen diesen beiden Regionen ist, folgt somit für die Ausbreitungsgeschwindigkeit

:<math>c_\text{kap} = \sqrt{\frac{2 \pi \sigma}{\rho \lambda}}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Dieter Meschede]] |Titel=Gerthsen Physik |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2015 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-45976-8 |DOI=10.1007/978-3-662-45977-5 |Seiten=204-205 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-45977-5 |Abruf=2020-02-12}}</ref>

Das bedeutet, dass Kapillarwellen eine [[anomale Dispersion]] haben, d. h., ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit steigender Wellenlänge <math>\lambda</math> ab.

== Siehe auch ==
* [[Kapillarwellenspektroskopie]]
* [[Wasserwelle]]
* [[Ultraschallvernebler]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Erich Truckenbrodt|Sammelwerk=Fluidmechanik|Band=2|Titel=Elementare Strömungsvorgänge dichteveränderlicher Fluide sowie Potential- und Grenzschichtströmungen|Auflage=4.|Verlag=Springer|Jahr=2008|ISBN=3-540-79023-3}}
* {{Literatur|Autor=[[Dieter Meschede]]|Titel=Gerthsen Physik|Auflage=23.|Verlag=Springer|Ort=Berlin/Heidelberg/New York|Jahr=2006|ISBN=3-540-25421-8}}
* {{Literatur|Herausgeber=Joachim Grehn|Titel=Metzler Physik|Auflage=2.|Verlag=Schroedel Schulbuchverlag GmbH|Ort=Hannover|Jahr=2005|ISBN=3-507-05209-1}}

== Weblinks ==
* [http://www.ifu.ethz.ch/GWH/education/graduate/Hydraulik_II/Vorlesungen/k7.pdf Vorlesungsskript über Hydraulik und Wasserwellen] (PDF; 179 kB)
* [http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves Eintrag über Kapillarwellen im Sklogwiki]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4251487-3}}

[[Kategorie:Oberflächenphysik]]
[[Kategorie:Welle]]

Kapillarwelle - Versionsgeschichte

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