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2026-03-18T09:44:18Z

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Die '''Kantendetektion''' oder '''Kantenextraktion''' ist Teil einer [[Segmentierung (Bildverarbeitung)|Segmentierung]] von Elementen in der [[Bildverarbeitung]]. Sie versucht, flächige Bereiche in einem [[Digitalbild|digitalen Bild]] voneinander zu trennen, wenn sie sich entlang gerader oder gekrümmter Linien ausreichend in Farb- oder [[Grauwert]], [[Helligkeit]] oder [[Textur (Oberflächenattribut)|Textur]] unterscheiden. Spezielle Kantenoperatoren sollen die Übergänge zwischen diesen Bereichen erkennen und als Kanten markieren. Zugleich soll aber ein einzelner, homogener Bereich als solcher erkannt werden und von einem guten Kantendetektor nicht durch eine Kante in zwei Flächen geteilt werden.

Eine Hauptschwierigkeit der Kantendetektion, insbesondere bei [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] Objekten, ist die Unterscheidung von ''Reflexionskanten'', die auf Eigenschaften des Objektes beruhen, und ''Beleuchtungskanten'', die auf Eigenschaften der [[Beleuchtung]] beruhen (z. B. [[Schatten]], [[Lichtkegel]]).

Die Kantendetektion wird u. a. im [[Computer Vision]], in der [[Photogrammetrie]] und der [[Kartografie]] eingesetzt, um z. B. aus [[Luftbildfotografie|Luftbildern]] genaue Objekt- oder [[Geländekante]]n zu detektieren.

== Definition Kante ==
Unter einer Kante versteht man eine Kurve <math>\vec{g}(t)</math>, entlang derer der Gradient des Bildes <math>f</math> immer in Normalenrichtung zeigt (das heißt eine [[Isolinie]]):
:<math>f(\vec{g}(t)) \implies \frac{df(\vec{g}(t))}{dt}=\nabla f|_{\vec{g}(t)} \cdot \frac{\partial \vec{g}}{\partial t}=0 </math>

=== Probleme mit dieser Definition ===
Bei der der obigen Definition der Kante mit Hilfe des Gradienten <math>\vec{g}(t)</math> von der Helligkeit <math>f</math> treten folgende Probleme auf:

# Wenn zwei benachbarte Teilmengen eines Bildes unterschiedliche Farben, aber die gleiche Helligkeit haben, dann ist der Gradient der Helligkeit gleich Null, und es wird keine Kante entdeckt.
# Die Kantendetektion wird am Computer mittels Bildverarbeitung gemacht. Das Bild im Computer ist ein zwei-dimensionales Feld mit ganzzahligen Elementen jedoch keine stetige Funktion, weswegen man keine Ableitungen berechnen kann. Daher muss der Gradient durch zwei partielle Differenzen (jeweils in <math>x</math>- und <math>y</math>-Richtung) ersetzt werden. Dies gilt zunächst einmal nur für einen Farbkanal (sogenanntes Grauwertbild). In einem Farbbild gibt es jedoch mehrere Gradienten, jeweils einen für die Farbkanäle Rot, Grün und Blau.
# Bei einer ein Pixel breiten farbigen Linie auf einem Hintergrund von einer anderen Farbe sollen zwei Kanten auf beiden Seiten der Linie entdeckt werden können. Zur Unterscheidung beider Seiten sollen die Differenzen gegenüber liegender Seiten unterschiedliche Vorzeichen haben. Hingegen soll bei einer drei Pixel breiten Rampe nur eine Kante entdeckt werden, d. h., die Differenzen sollen gleiche Vorzeichen haben. Dieses Vorzeichen kann nicht das Vorzeichen der Differenz der Helligkeiten sein, weil bei zwei benachbarten Teilmengen mit unterschiedlichen Farben und gleichen Helligkeiten die Differenz der Helligkeiten gleich Null ist und kein Vorzeichen hat.
# In der Literatur werden teilweise auch [[Gratlinie]]n als Kanten bezeichnet, wo obige Definition nicht greifen würde.

=== Definition nach Kovalevsky ===
* Die Kante ist eine zusammenhängende Folge von kurzen, zwischen zwei benachbarten Pixeln liegenden Strecken, die als '''Cracks''' bezeichnet werden.<ref>V. Kovalevsky: ''Image Processing with Cellular Topology.'' Springer 2021, ISBN 978-981-16-5771-9, S. 113–137.</ref>
* Die entsprechenden Differenzen sollen zu einem Wert <math>\bigtriangleup Farbe</math> zusammengeführt werden, zum Beispiel für zwei horizontal benachbarte Pixel als Summe der Beträge der Differenzen:
* <math>\bigtriangleup Farbe=\left\vert \bigtriangleup Rot \right\vert + \left\vert \bigtriangleup Gruen \right\vert + \left\vert \bigtriangleup Blau \right\vert</math>.
* Die resultierende Differenz <math>\bigtriangleup Farbe</math> soll größer als ein vorgegebener Schwellwert sein.
* Das Vorzeichen dieser Differenz im Fall eines Farbbildes ist gleich dem Vorzeichen der Differenz der Intensitäten der grünen Farbkanäle, falls diese Differenz ungleich Null ist. Sonst soll es die Differenz der Intensitäten der roten Farbkanäle sein, falls diese Differenz ungleich Null ist. Wenn beide Differenzen, die grüne und die rote gleich Null sind, dann soll es das Vorzeichen der blauen Differenz sein. Diese kann nicht gleich Null sein, weil die Summe der drei Differenzen größer als die Schwelle ist.
* Ein Crack <math>C</math> gehört zur Kante, wenn der Betrag der Differenz <math>\bigtriangleup Farbe</math> an diesem Crack größer als die Schwelle ist, und die Vorzeichen an ''N'' mit <math>C</math> benachbarten parallelen Cracks gleich sind. Da eine Kante eine gerade Strecke ist, ist es von Vorteil, wenn man nur einen Crack bestimmt, welcher sich von den anderen Cracks hervorhebt. Dieser Crack repräsentiert dann die gesamte Kante. Um diesen zu identifizieren, vergleicht man alle ''N'' mit <math>C</math> benachbarten parallelen Cracks und der Crack mit der größten Differenz ist der repräsentative Crack für diese Kante.

'''Beispiel:'''

Diese Bedingungen können zum Beispiel so sein:



Wenn ''N'' gleich 2 ist, die Vorzeichen dieser zwei Differenzen gleich dem Vorzeichen der Differenz von ''<math>C</math>'' sind und der Betrag der Differenz von <math>C</math> größer als die Beträge der beiden anderen Differenzen ist, dann gehört <math>C</math> zur Kante.

Man kann ähnliche Bedingungen für den Fall ''N'' > 2 aufstellen. Diese Bedingungen werden so gewählt, dass unter den ''N'' mit <math>C</math> benachbarten Cracks mit gleichen Vorzeichen der Differenzen nur ein Crack als Kante gewählt wird.

== Funktionsweise ==
Ein Kantendetektor berechnet in der Regel den [[Gradient (Mathematik)|Farbwertgradienten]] an jedem einzelnen [[Pixel]] eines Bildes durch Untersuchung eines den [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] umgebenden Bereiches. Dieser Vorgang erfolgt durch diskrete [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] des Bildes mit einer [[Faltungsmatrix]], dem ''Kantenoperator''. Letzterer definiert dabei die Größe des zu untersuchenden Umfeldes und mit welcher Gewichtung dessen einzelne Pixel in die Berechnung eingehen. Der Kantenoperator ermittelt für das zentrale Pixel aus der Umgebung quasi einen mittleren Wert für den Gradienten. Führt man diese Operation für alle Pixel im Bild durch, so kann man aus der resultierenden [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] der [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] ein neues Bild zusammensetzen, das [[Kantenbild]] genannt wird. Auf ihm heben sich die Kanten zwischen homogenen Bereichen ab, da an diesen Stellen ein vergleichsweise großer Gradient der Farbwerte vorliegt.

Wendet man den Kantenoperator auf das Ergebnisbild an, so kann man quasi die zweite [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] bilden, d. h., es werden die Änderungen des Helligkeits-Gradienten sichtbar. Die Kanten treten in der zweiten Ableitung meist am deutlichsten hervor. Feine Kanten können hierbei jedoch untergehen und bleiben unentdeckt.

Der größte Unterschied verschiedener Kantendetektoren besteht im Allgemeinen im verwendeten Kantenoperator.

Für eine korrekte Kantendetektion sind in der Regel vier Schritte notwendig:

# ''Glätten'': Unterdrücke so viel [[Bildrauschen|Rauschen]] wie möglich, ohne die echten Kanten zu zerstören.
# ''Verbesserung'': Wende einen [[Filter (Mathematik)|Filter]] an, um die Qualität der Bildränder zu verbessern.
# ''Erkennung'': Bestimme, welche [[Pixel]] als Rauschen verworfen werden sollen und welche beibehalten werden sollte. Normalerweise liefert die Schwellenwertbildung das Kriterium, das für die Erkennung verwendet wird.
# ''Lokalisierung'': Bestimme die genaue Position einer Kante. Für einige Anwendungen kann es erforderlich sein, die Position einer Kante genauer als den [[Abstand]] zwischen den Pixeln zu bestimmen. Kantenverdünnung und Verknüpfung sind in der Regel in diesem Schritt erforderlich.<ref name=":0">University of Nevada, Reno: [https://www.cse.unr.edu/~bebis/CS791E/Notes/EdgeDetection.pdf Edge detection]</ref>

== Berechnungen ==
=== Kantendetektion mit Ableitungen ===
Ein [[digitales Bild]] ist eine [[Zweidimensional|zweidimensionale]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. Daher werden [[Operator (Mathematik)|Operatoren]], die Kanten beschreiben, mit [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] ausgedrückt. Punkte, die an einer Kante liegen, können erkannt werden durch:

* Erfassen lokaler Maxima oder Minima der ersten [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]]
* Erfassen der [[Nullstelle]]n der zweiten Ableitung

Weil ein digitales Bild keine kontinuierliche Funktion ist, sondern eine diskrete Funktion von nebeneinander liegenden Pixeln, kann man die partiellen Ableitungen nicht direkt bilden. Stattdessen muss man, um die Ableitungen von Farbwerten zu berechnen, sie mit endlichen [[Subtraktion|Differenzen]] annähern:

'''1. Ableitung'''
:<math> f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \approx f(x + 1) - f(x)</math>

'''2. Ableitung'''
:<math> f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} \approx f'(x + 1) - f'(x) \approx f(x + 2) - 2 \cdot f(x + 1) + f(x)</math>

Das kann man auf zwei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verallgemeinern:<ref name=":0" />
:<math> \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h_x \to 0} \frac{f(x + h_x, y) - f(x, y)}{h_x} \approx f(x + 1, y) - f(x, y)</math>
:<math> \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h_y \to 0} \frac{f(x, y + h_y) - f(x, y)}{h_y} \approx f(x, y + 1) - f(x, y)</math>

== Operatoren ==

Die bekanntesten Kantenoperatoren (auch ''Kantenfilter'') sind:
* [[Sobel-Operator]]
* [[Sobel-Operator#Scharr-Operator|Scharr-Operator]]
* [[Laplace-Filter]] (siehe auch [[Laplace-Operator]])
* [[Prewitt-Operator]]
* [[Roberts-Operator]]
* [[Kirsch-Operator]]
* [[Canny-Algorithmus]]
* [[Marr-Hildreth-Operator]] (auch Laplacian of Gaussian (LoG) oder Sombrerofilter)
* [[Kontrast]]verstärker
* [[Aktive Kontur]] (Snake)
* [[Extremalspannenfilter]]
* [[Gabor-Filter]]
<gallery heights="200" widths="200" perrow="4">
Bikesgray.jpg|Ein [[Schwarzweißfotografie|Schwarzweißfoto]]
Bikesgraysobel.jpg|Normalisierte [[Gradient]]engröße des [[Sobel-Operator]]s
Bikesgraygv.jpg|Normalisierter x-[[Gradient]] des [[Sobel-Operator]]s
Bikesgraygh.jpg|Normalisierter y-[[Gradient]] des [[Sobel-Operator]]s
Bikesgray-scharr.png|Normalisierte [[Gradient]]engröße des [[Sobel-Operator#Scharr-Operator|Scharr-Operators]]
Bikesgray roberts.JPG|Normalisierte [[Gradient]]engröße des [[Roberts-Operator]]s
Bikesgray prewitt.JPG|Normalisierte [[Gradient]]engröße des [[Prewitt-Operator]]s
</gallery>

== Menschliches Auge ==

Für den Menschen ist Kantendetektion eine wesentliche Voraussetzung zur visuellen [[Objekterkennung]]. Sein [[Sehen|Sehapparat]] leistet diese Aufgabe hauptsächlich mit der [[Laterale Hemmung|lateralen Hemmung]]. Dadurch werden sogar feinste [[Linienstruktur]]en aus größerer Distanz erkennbar, etwa dünne Drähte oder ferne Wegverläufe. Allerdings sind auch [[optische Täuschung]]en möglich, etwa teilweise bei den sog. ''[[Marskanäle]]n'' oder den ''[[Machsche Streifen|Machschen Streifen]]''.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kantendetektion| ]]
[[Kategorie:Computer Vision]]
[[Kategorie:Bildverarbeitung]]
[[Kategorie:Sehen]]

Kantendetektion - Versionsgeschichte

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