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2022-01-25T21:29:56Z

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In der [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], sind '''Kan-Komplexe''' ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.

== Definition ==
[[Datei:2dKanFibration.svg|mini|rechts|Der violette 2-Simplex <math>\sigma</math> hat die schwarzen Kanten <math>\tau_0,\tau_2</math> als Ränder: <math>\partial_0\sigma=\tau_0,\partial_2\sigma=\tau_2</math>.]]
Eine [[simpliziale Menge]] ist ein Kan-Komplex, wenn sie die ''Kan-Erweiterungs-Eigenschaft'' erfüllt:
: Für alle <math>n\in\mathbb N, 0\le k\le n+1</math> und jede <math>(n+1)</math>-elementige Menge <math>\left\{\tau_0,\ldots,\tau_{k-1},\tau_{k+1},\ldots\tau_{n+1}\right\}</math> von <math>n</math>-Simplizes mit <math>\partial_i\tau_j=\partial_{j-1}\tau_i</math> für alle <math>i<j</math> gibt es ein <math>(n+1)</math>-Simplex <math>\sigma</math> mit <math>\partial_i\sigma=\tau_i</math> für <math>i=0,\ldots,k-1,k+1,\ldots,n+1</math>.

== Homotopiegruppen ==

[[Daniel Marinus Kan|D. M. Kan]]<ref>Daniel Marinus Kan: ''A combinatorial definition of homotopy groups.'' In: ''Ann. of Math.'' (2) 67 1958, S. 282–312.</ref> gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

== Beispiel ==

Sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]]. Die ''singuläre simpliziale Menge'' <math>S_*(X)</math> sei wie folgt definiert. Die <math>n</math>-Simplizes in <math>S_n(X)</math> sind die stetigen Abbildungen des Standard-<math>n</math>-Simplexes nach <math>X</math>. Die Randabbildungen von <math>S_*(X)</math> werden von den Randabbildungen <math>\Delta^{n-1} \to \Delta^n</math> induziert.

<math>S_*(X)</math> ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den [[Homotopiegruppe]]n von <math>X</math> überein.

== Literatur ==
* [[J. Peter May]]: ''Simplicial objects in algebraic topology.'' Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

== Weblinks ==
* G. Friedman: [https://arxiv.org/pdf/0809.4221.pdf an elementary illustrated introduction to simplicial sets]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Homotopietheorie]]

Kan-Komplex - Versionsgeschichte

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