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2021-06-09T13:43:39Z

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Die '''Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung''' ('''KPP-Gleichung''' nach [[Andrei Kolmogorow]], [[Iwan Petrowski]] und [[Nikolai Piskunow]] 1937) ist eine [[nichtlinear]]e [[partielle Differentialgleichung]] von der Form einer [[Reaktions-Diffusions-Gleichung]].

Ein Spezialfall ist '''Fishers-Gleichung''' (nach [[Ronald Aylmer Fisher]] 1937) der [[Populationsdynamik]], eine [[stetig]]e Variante der [[Logistische Gleichung|Logistischen Gleichung]] (siehe auch [[Logistische Funktion]]).

==Hauptteil==
Die KPP-Gleichung hat die Form:<ref>B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2</ref><ref>F. Hamel, N. Nadirashvili, Entire solutions of the KPP equation, ''Comm. Pure Appl. Math.'', Band 52, 1999, S. 1255–1276, {{DOI|10.1002/(SICI)1097-0312(199910)52:10<1255::AID-CPA4>3.0.CO;2-W}}.</ref>

:<math>\partial_t u = \partial^2_x u + g(u)</math>

mit einer nichtlinearen Funktion <math>g (u)</math>, die erfüllt: <math>g(1)=g(0)=0</math>, <math>g(u') >0</math> und <math>\tfrac {dg}{du} (u') < \tfrac {dg}{du} (0)</math> für <math>0< u' <1</math> (Das Intervall [0,1] ist häufig auch das Definitionsintervall der Variablen <math>u</math>, wenn diese eine Konzentration angibt).

Fishers Gleichung ist ein Spezialfall der Form:

:<math>\partial_t u = \partial^2_x u +u \cdot (1- u) = \partial^2_x u + u - u^2</math>

Manchmal wird statt des Reaktionsterms <math>g(u)=u \cdot (1-u)</math> auch ein Term <math>g(u)=r \cdot u \cdot (1-u)</math> angegeben, ähnlich wie bei der Logistischen Gleichung.

Dies ist eine semilineare [[Parabolische partielle Differentialgleichung|parabolische Gleichung]] zweiter Ordnung. Sie wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren, beispielsweise die [[Populationsdynamik]] oder [[chemische Reaktion]]en.

Die Differentialgleichung besteht aus einem [[Diffusion]]s<nowiki/>term <math>\partial^2_x u</math> und einem [[nichtlinear]]en Reaktionsterm <math>u - u^2</math>.

Verwendet man eine ortsunabhängige Funktion <math>f(t) = u(x,t)</math>, so erhält man die [[gewöhnliche Differentialgleichung]]

:<math>\partial_t f = f - f^2</math>.

An dieser kann man erkennen, dass mit dem [[Modell]] ein [[exponentielles Wachstum]] <math>\partial_t f = f</math> modelliert wird, das jedoch einen [[Sättigung (Physik)|Sättigungs]]<nowiki/>term <math>-f^2</math> enthält. Dieser steht z. B. bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung oder bei chemischen Reaktionen für die Sättigung der [[Stoffmengenkonzentration|Konzentration]].

== Reaktionsfronten ==
Verwendet man die Gleichung zur Modellierung einer örtlich lokalisiert startenden Reaktion, so ist klar, dass sich eine [[Reaktionsfront]] ausbildet. Diese besitzt, wie man zeigen kann, eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Verwendet man den für [[Welle]]n üblichen Ansatz

:<math>u(x,t) = f(x - vt) = f(w)</math>,

so erhält man nach Einsetzen die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

:<math>\partial_w^2 f + v\partial_w f + f - f^2 = 0</math>.

Nach [[Linearisierung]] und unter der Annahme, dass die "Konzentration" f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält man die Gleichung für die [[Eigenwerte]]

:<math>\lambda_{1,2} = \frac{-v \pm \sqrt{v^2 - 4}}{2}</math>.

Da diese für stabile Wellen [[reell]] sein müssen, muss <math>v \geq 2</math> gelten.

== Verallgemeinerungen ==
Die Fisher-Gleichung kann verallgemeinert werden zu:

:<math>\partial_t u = \partial^2_x u + (1 - u^m)u</math>

mit einer positiven ganzen Zahl <math>m</math>.

Im Fall der Fisher-Gleichung gilt dann <math>m=1</math>.

== Siehe auch ==
* [[Nernst-Planck-Gleichung]]

==Einzelnachweise==
<references />

[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Theoretische Biologie]]
[[Kategorie:Theoretische Ökologie]]

KPP-Gleichung - Versionsgeschichte

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