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2025-10-26T20:05:36Z

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Das [[Mathematik|mathematische]] Teilgebiet der ''' ''K''-Theorie''' beschäftigt sich mit dem Studium von [[Vektorbündel]]n auf [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] (''topologische K-Theorie'') oder von [[Ring (Algebra)|Ringen]] bzw. [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]] (''algebraische K-Theorie'').
Der Name K-Theorie wurde von [[Alexander Grothendieck]] kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

== Geschichte ==
Um seine Arbeiten zum [[Satz von Riemann-Roch]] zu verallgemeinern, entwickelte Grothendieck einen neuen [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] <math>K(X)</math> auf der [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der [[Glatte Varietät|glatten]] [[Algebraische Varietät|algebraischen Varietäten]] <math>X</math>. Die Elemente von <math>K(X)</math> waren Klassen [[Algebraisches Vektorbündel|algebraischer Vektorbündel]] über <math>X</math>. Diese Theorie hatte analoge Eigenschaften zu [[Singuläre Kohomologie|klassischen Kohomologietheorien]]. [[Charakteristische Klasse]]n, insbesondere der [[Chern-Charakter]], definieren Morphismen von <math>K(X)</math> in Kohomologietheorien.

Unmittelbar nach Grothendieck betrachteten Atiyah und Hirzebruch eine analoge Konstruktion für beliebige kompakte Räume <math>X</math>, die [[topologische K-Theorie]] <math>K^{top}(X)</math>, heute meist als <math>K(X)</math> bezeichnet. Diese topologische K-Theorie ist einfacher zu berechnen als Grothendiecks K-Gruppen, zum Beispiel gibt der Chern-Charakter einen Isomorphismus <math>K^{top}(X)\otimes \Q\simeq H^*(X;\Q)</math> und man hat [[Bott-Periodizität]].

Topologische K-Theorie hat Kohomologie-Operationen, die mittels äußerer Produkte von Vektorbündeln definiert werden (sogenannte Adams-Operationen) und damit eine geometrischere Natur haben als die [[Steenrod-Operation]]en in [[Singuläre Kohomologie|singulärer Kohomologie]]. Diese Operationen hatten in den 60er Jahren spektakuläre Anwendungen. Zum Beispiel berechnete [[John Frank Adams|Frank Adams]] mit ihrer Hilfe die maximale Anzahl [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] [[Vektorfeld]]er auf [[Topologische Sphäre|Sphären]] beliebiger Dimension. Andere Anwendungen ergaben sich in [[Globale Analysis|globaler Analysis]] (einer der Beweise des [[Atiyah-Singer-Indexsatz]]es benutzte topologische K-Theorie) und der Theorie der C<sup>*</sup>-Algebren.

Die Verallgemeinerung der topologischen K-Theorie in der [[Nichtkommutative Geometrie|nichtkommutativen Geometrie]] führte zur [[K-Theorie von Banachalgebren]].

Die algebraischen K-Gruppen <math>K_1</math> wurden von [[Hyman Bass|Bass]] definiert, sie hatten Anwendungen bei Lösungen des [[Kongruenzuntergruppe|„congruence subgroup problem“]] und beim [[s-Kobordismus-Satz]].

Als Nächstes gab [[John Milnor|Milnor]] eine Definition der algebraischen K-Gruppen <math>K_2</math>. Ihre Berechnung für [[Körper (Algebra)|Körper]] ([[Satz von Matsumoto]]) war die Grundlage für Anwendungen von <math>K_2</math> in Algebra und [[Zahlentheorie]], in Zusammenhang mit der [[Brauer-Gruppe]] und [[Galois-Kohomologie]].

Es gab dann verschiedene Ansätze zur Definition höherer K-Gruppen. Die heute allgemein verwandte Definition wurde 1974 von [[Daniel Quillen]] auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress vorgeschlagen.

== Topologische ''K''-Theorie ==
{{Hauptartikel|Topologische K-Theorie}}

Es sei <math>X</math> ein fester [[Kompakter Raum|kompakter]] [[Hausdorff-Raum|Hausdorffraum]]. Dann ist <math>K(X)</math> der Quotient der [[Freie abelsche Gruppe|freien abelschen Gruppe]] auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über <math>X</math> nach der Untergruppe, die von Elementen der Form
:<math> [E\oplus F]-[E]-[F] </math>
für Vektorbündel <math>E,F</math> erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] aus den [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] nachempfunden ist, heißt ''[[Grothendieck-Gruppe]]'' (nach [[Alexander Grothendieck]]).

Zwei Vektorbündel <math>E</math> und <math>F</math> auf <math>X</math> definieren genau dann dasselbe Element in <math>K(X)</math>, wenn sie ''stabil äquivalent'' sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel <math>G</math> gibt, so dass
:<math>E\oplus G\cong F\oplus G</math>

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird <math>K(X)</math> zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der <math>K</math>-Theorie. Die reduzierte K-Theorie <math>\tilde K(X)</math> ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung <math>\tilde K^n(X)=\tilde K(S^nX)</math> ein; dabei bezeichnet <math>S</math> die reduzierte [[Einhängung]].

''K'' ist ein [[kontravarianter Funktor]] auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume. Er erfüllt [[Bott-Periodizität]] mit Periode 2.

Wenn man die analogen Konstruktionen mit reellen Vektorbündeln durchführt, erhält man die ''Reelle K-Theorie'' <math>KO(X)</math>. Für diese gilt Bott-Periodizität mit Periode <math>8</math>, d. h. <math>\tilde KO^{n+8}(X)=\tilde KO^n(X)</math>.

== Algebraische ''K''-Theorie ==
{{Hauptartikel|Algebraische K-Theorie}}

Sei <math>R</math> ein [[unitärer Ring]], <math>\textstyle GL(R)=\bigcup_{n\ge0}GL(n,R)</math> die Gruppe der invertierbaren Matrizen über <math>R</math> und <math>BGL(R)</math> der [[Klassifizierender Raum|klassifizierende Raum]] von <math>GL(R)</math>, das heißt ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe <math>GL(R)</math>. Weil die Gruppe der Elementarmatrizen <math>E(R)=\left[GL(R),GL(R)\right]</math> perfekt und ein [[Normalteiler]] ist, kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes <math>R</math> ist definiert als
:<math>K_i(R):=\pi_i(BGL^+(R))</math>
für <math>i\ge 1</math>.

Eine (für <math>i> 2</math> nicht zur oben definierten isomorphe) Variante der algebraischen K-Theorie ist [[Algebraische K-Theorie#Milnors K-Theorie|Milnors K-Theorie]]. Ihr Zusammenhang mit [[Etale Kohomologie|etaler Kohomologie]] ist Gegenstand der Milnorvermutung, für deren Beweis [[Wladimir Wladislawowitsch Wojewodski|Wladimir Wojewodski]] auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|internationalen Mathematikerkongress]] 2002 die [[Fieldsmedaille]] verliehen wurde. Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten [[Homotopietheorie]] algebraischer Varietäten und der von [[Beilinson]] und [[Lichtenbaum]] entworfenen motivischen Kohomologie.

Die umfassendste Definition einer algebraischen <math>K</math>-Theorie wurde von [[Daniel Gray Quillen|D. Quillen]] angegeben und benutzt die [[Algebraische K-Theorie#Quillens Q-Konstruktion|Q-Konstruktion]].

== K-Theorie für Banachalgebren ==
{{Hauptartikel|K-Theorie von Banachalgebren}}
Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die [[C*-Algebra|C*-Algebren]] eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume <math>X</math> kann als K-Theorie der Banachalgebren <math>C(X)</math> der stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung <math>X\mapsto C(X)</math> ein ''kontravianter'' Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

== Siehe auch ==
* [[KK-Theorie]]

== Literatur ==
* Michael Atiyah: '' K -theory.'' Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
* Jacek Brodzki: ''An Introduction to K-theory and Cyclic Cohomology.'' {{arXiv|funct-an/9606001}}.
* Allen Hatcher: ''Vector bundles and K-theory'' ([http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html math.cornell.edu]).
* Daniel Quillen: ''Higher algebraic K-theory: I.'' In: H. Bass (Hrsg.): ''Higher K-Theories.'' Lecture Notes in Mathematics, Band 341. Springer-Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-540-06434-6.
* Charles Weibel: ''An introduction to algebraic K-theory,'' ([https://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html math.rutgers.edu]).
* Bruce Blackadar: ''K-Theory for Operator Algebras.'' Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.
* Karlheinz Knapp: ''Vektorbündel.'' ([http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-03114-5/page/1 link.springer.com]).

== Weblinks ==
* Max Karoubi: [http://www.math.jussieu.fr/~karoubi/Publications/71.pdf ''Lectures on K-theory.''] (PDF; 400 kB).
* Christian Voigt: [http://www.maths.gla.ac.uk/~cvoigt/papers/KTheorie.pdf ''K-Theorie von Operatoralgebren.''] (PDF; 579 kB).
* Daniel Grayson: [http://www.math.uiuc.edu/~dan/Papers/KTheoryOfFields.pdf ''On the K-theory of fields.''] (PDF; 1,4 MB).

{{Normdaten|TYP=s|GND=4033335-8|LCCN=sh85071200|NDL=00566933}}

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]
[[Kategorie:Kohomologietheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Topologische Invariante]]

K-Theorie - Versionsgeschichte

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