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2026-03-21T20:54:18Z

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Die '''<math>K</math>-Funktion''' ist in der [[Mathematik]] eine spezielle [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die üblicherweise mit <math>K(z)</math> bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die [[Hyperfakultät]] <math>H(n)</math> auf die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]; analog der komplexen Erweiterung der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultätsfunktion]] zur [[Gammafunktion]].

Die Hyperfakultät einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n</math> ist definiert durch

:<math>H(n)=\prod_{i=1}^n i^i = 1^12^23^34^4\cdots n^n, \qquad n\in\N.</math><ref name="hyper" />

Für die <math>K</math>-Funktion soll nun gelten

:<math>K(n+1)=H(n), \qquad n\in\N,</math>

und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.

== Definitionen ==

Eine mögliche Definition der <math>K</math>-Funktion lautet:

:<math>K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\binom z2+\int\limits_0^{z-1} \ln(\Gamma(t+1))\;\mathrm dt\right],</math>

wobei <math>\tbinom z2</math> für die [[Binomialkoeffizient#Verallgemeinerung|komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten]] und Γ für die [[Gammafunktion]] steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

:<math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right],</math>

wobei <math>\zeta (z)</math> für die [[riemannsche Zetafunktion]] und <math>\zeta (a,z)</math> für die [[hurwitzsche Zeta-Funktion]] stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der <math>K</math>-Funktion zur [[Gammafunktion]] und der [[Barnessche G-Funktion|barnesschen <math>G</math>-Funktion]] wird durch die Formel

:<math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}</math>

zum Ausdruck gebracht.

== Werte ==

Für natürliche <math>n</math> stimmen die Werte <math>K(n)</math> der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert <math>H(n-1)</math> der [[Hyperfakultät]]sfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind
: 1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … ({{OEIS|A002109}}).

Der Wert <math>K(\tfrac12 )</math> ist explizit gegeben durch

:<math>K(\tfrac12 )=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}</math><ref name="hyper" /> = 1,2451432494…<ref name="wolfram" />

wobei <math>A</math> für die [[Konstante von Glaisher-Kinkelin]] steht.

== Weitere Zusammenhänge ==

Mit der [[Barnessche G-Funktion|barnesschen G-Funktion <math>G(z)</math>]] gilt

:<math>K(z)\cdot G(z) = \exp\left\{(z-1)\cdot \log [\Gamma (z)]\right\},</math><ref name="hyper" />

für alle <math>z\in\Complex.</math>

[[Benoit Cloitre]] zeigte 2003 folgende Formel:

:<math>\frac{1}{K(n)} = (-1)^n \operatorname{det}
\begin{vmatrix}
-1&-1&-1&\cdots&-1\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \cdots & \frac{1}{2^n}\\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{27} & \cdots & -\frac{1}{3^n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{(-1)^n}{n} & \frac{(-1)^n}{n^2} & \frac{(-1)^n}{n^3} & \cdots & \frac{(-1)^n}{n^n}\\
\end{vmatrix}</math>.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="hyper">
{{MathWorld|Hyperfactorial|Hyperfactorial}}
</ref>
<ref name="wolfram">
https://www.wolframalpha.com/input/?i=K-Function(1/2)
</ref>
</references>

== Literatur ==
* [[Hermann Kinkelin]]: ''Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung'', Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 ([https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0057 Göttinger Digitalisierungszentrum])

== Weblinks ==
* {{MathWorld|K-Function|K-Funktion}}

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

K-Funktion - Versionsgeschichte

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