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2025-03-18T22:06:09Z

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{{SEITENTITEL:k·p-Methode}}
Die '''k·p-Methode''' (auch '''KP-Methode''') ist eine [[Störungstheorie (Quantenmechanik)|störungstheoretische]] Methode der [[Quantenmechanik]] zur Berechnung der elektronischen [[Bandstruktur]] eines [[Festkörper]]s.<ref>{{Literatur |Autor=E.O. Kane |Titel=Energy band structure in p-type germanium and silicon |Sammelwerk=Journal of Physics and Chemistry of Solids |Band=1 |Nummer=1–2 |Datum=1956-09 |Sprache=en |DOI=10.1016/0022-3697(56)90014-2 |Seiten=82–99 |Online=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022369756900142 |Abruf=2023-02-22}}</ref> Sie bietet eine Näherung der Lösung der [[Schrödinger-Gleichung]] für [[Elektron]]en in [[Halbleiter]]n und anderen [[kristallin]]en Festkörpern. Die Methode erlaubt so auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der [[Mikroelektronik]] zu simulieren.

Die Bezeichnung stammt daher, dass in den [[Energie]]n der einzelnen [[Energieband|Energiebänder]] ein Ausdruck der Form <math>\vec k \cdot \vec p</math> auftritt, also das [[Skalarprodukt]] aus dem [[Wellenvektor]] <math>\vec k</math> und dem quantenmechanischen [[Impulsoperator]] <math>\vec p</math>.

== Beschreibung ==
Die Methode basiert auf einer Beschreibung der Elektronen als ''nicht'' miteinander wechselwirkende [[Teilchen]] in einem [[Periode (Physik)|periodischen]] [[Effektives Potential|effektiven Potential]]. Dieses beinhaltet die Wechselwirkung des beschriebenen Elektrons mit den Elektronen und [[Atomkern]]en des Festkörpers.

Ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Wellenvektor <math>\vec k_0</math> des Elektrons im [[Reziproker Raum|reziproken Raum]] aus anderen Methoden (z. B. der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]]) bekannt, so kann die Elektronen-Energie für Werte von <math>\vec k</math> in einer Umgebung von <math>\vec k_0</math> als [[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störung]] dieser Lösung bestimmt werden. Aus der Veränderung der Energie ([[Eigenwert]]e des in der Schrödinger-Gleichung auftretenden [[Hamilton-Operator]]s) mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkörpers bestimmt.

== Ansatz ==
Die [[Wellenfunktion]] des Elektrons genügt in der [[Hartree-Fock-Methode|Ein-Teilchen-Näherung]] der Schrödinger-Gleichung:

:<math>\left( \frac{p^2}{2m} + V(\vec{r}) \right) \psi(\vec{r}) = E \, \psi(\vec{r})</math>

mit
* dem quantenmechanischen Impulsoperator <math>\vec p</math>
* der Masse <math>m</math> des Elektrons
* dem effektiven [[Elektrisches Potential|elektrostatischen Potential]] <math>V</math>, das in einem kristallinen Material eine [[periodische Funktion]] mit derselben [[Periodizität]] wie der [[Kristall]] selbst ist.

[[Bloch-Funktion|Blochs Theorem]] besagt nun, dass die Lösung einer solchen periodischen [[Differentialgleichung]] wie folgt geschrieben werden kann:

:<math>\psi_{n,\vec{k}}(\vec{r}) = e^{\mathrm i\vec{k} \cdot \vec{r}} \, u_{n,\vec{k}}(\vec{r})</math>

dabei ist
* <math>n</math> ein diskreter Bandindex
* <math>\vec k</math> der Wellenvektor
* <math>u_{n,\vec k}</math> eine Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall.

Setzt man <math>\psi_{n, \vec{k}}</math> in die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung ein, so erhält man die folgende Differentialgleichung für <math>u_{n,\vec k}</math>:

:<math>\left( \frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar \vec{k}\cdot \vec{p}}{m} + \frac{\hbar^2k^2}{2m} + V(\vec{r}) \right) u_{n,\vec{k}} = E_{n,\vec{k}} u_{n,\vec{k}}\,.</math>

Für einen Wellenvektor <math>\vec k_0</math>, für den die Lösungen bekannt sind (oft am [[Brillouinzone|Γ-Punkt]] <math>\vec k_0 = 0</math>), behandelt die k·p-Methode nun den Term

:<math> \frac{\hbar (\vec{k} - \vec{k}_0)\cdot\vec{p}}{m}</math>

in obiger Gleichung als Störung (daher der Name). Ziel der [[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störungsrechnung]] ist es, näherungsweise Ausdrücke für die Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände zu finden.

Die Energien und Eigenzustände werden mit zunehmender Ordnung zwar genauer, die Gleichungen jedoch immer komplexer. Man approximiert daher die gesuchten Ausdrücke mit Störungen zweiter Ordnung. Für alle betrachteten Zustände <math>u_{n,\vec k}</math> erhält man Gleichungen, in denen Wechselwirkungsterme in Form von [[Übergangsmatrixelement]]en zwischen den betrachteten Zuständen und allen anderen Zuständen <math>u_{n',\vec k}</math> auftreten. Man erhält also <math>n </math> Gleichungen mit jeweils <math>n'</math> Wechselwirkungstermen.

Für direkte Anwendungen betrachtet man nur Zustände in der Nähe der [[Bandlücke]], womit die Anzahl der Gleichungen reduziert wird. Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die [[Symmetriegruppe|Symmetrieeigenschaften]] der verschiedenen [[Kristallsystem]]e in Form der [[Gruppentheorie]], um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungsterme weiter stark zu reduzieren. Schließlich ergeben sich relativ wenige Gleichungen, welche man kompakt als [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] darstellt, um anschließend die gesuchten Energieeigenwerte <math>E_{n,\vec k}</math> und die zugehörigen Eigenzustände <math>\psi_{n,\vec k}</math> zu berechnen.

Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrücke für die [[Dispersionsrelation #Festkörperphysik|Dispersion]] <math>\tfrac{\mathrm d}{\mathrm d k}E_{n, \vec{k}}</math>, die [[effektive Masse]] der Elektronen und [[Auswahlregel]]n für die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmen.

Wichtig ist sie insbesondere im Fall [[Entartung (Quantenmechanik)|entarteter]] Bänder, da der <math>\vec k \cdot \vec p</math>-Term die Bänder miteinander koppelt, die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Störungstheorie|Festkörperphysik}}

=== Fachartikel ===

* {{Literatur |Autor=S. L. Chuang, C. S. Chang |Titel=k⋅p method for strained wurtzite semiconductors |Sammelwerk=Physical Review B |Band=54 |Nummer=4 |Datum=1996-07-15 |Sprache=en |DOI=10.1103/PhysRevB.54.2491 |Seiten=2491–2504}}
* {{Literatur |Autor=I J Robertson, M C Payne |Titel=k-point sampling and the k.p method in pseudopotential total energy calculations |Sammelwerk=Journal of Physics: Condensed Matter |Band=2 |Nummer=49 |Datum=1990-12-10 |Sprache=en |DOI=10.1088/0953-8984/2/49/010 |Seiten=9837–9852}}
* {{Literatur |Autor = Dorothy G. Bell |Titel = Group Theory and Crystal Lattices |Sammelwerk = Reviews of Modern Physics |Band = 26 |Datum = 1954-07-01 |Nummer = 3 |Seiten = 311–320 |DOI= 10.1103/RevModPhys.26.311|Sprache=en}}

=== Fachbücher ===
* {{Literatur |Autor=[[Chihiro Hamaguchi]] |Titel=Energy Band Structures of Semiconductors |Sammelwerk=Basic Semiconductor Physics |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2017 |Sprache=en |Reihe=[[Graduate Texts in Physics]] |ISBN=978-3-319-66859-8 |DOI=10.1007/978-3-319-66860-4_1 |Seiten=1–63}}
* {{Literatur |Autor=M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio |Titel=Group Theory |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2008 |Sprache=en |ISBN=978-3-540-32897-1 |DOI=10.1007/978-3-540-32899-5}}
* {{Literatur |Autor=Wilfried Schäfer, Martin Wegener |Titel=Semiconductor Optics and Transport Phenomena |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2002 |Sprache=en |Reihe=Advanced Texts in Physics |ISBN=978-3-642-08271-9 |DOI=10.1007/978-3-662-04663-0}}

=== Andere Beiträge ===

* {{Literatur |Autor=Christian Köpf |Titel=Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen |Ort=Wien |Datum=1997 |Online=https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/koepf/diss.html}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:KpMethode}}
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Computerchemie]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]

K·p-Methode - Versionsgeschichte

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