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Ein '''Junktor''' (von [[Latein|lat.]] ''iungere'' „verknüpfen, verbinden“) ist eine [[logische Verknüpfung]] zwischen Aussagen innerhalb der [[Aussagenlogik]], also ein logischer [[Operator (Mathematik)|Operator]]. Junktoren werden auch logische Verknüpfungen genannt<ref>{{Literatur |Autor=Matthias Hieber |Titel=Analysis I |Auflage=1 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57537-6 |Seiten=3}}</ref> und als [[logische Partikel]] klassifiziert.

Sprachlich wird zwischen der jeweiligen Verknüpfung selbst (zum Beispiel der [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]) und dem sie bezeichnenden Wort beziehungsweise Sprachzeichen (zum Beispiel dem Wort „und“ beziehungsweise dem Zeichen „∧“) oft nicht unterschieden.

In [[Programmiersprache]]n werden ebenfalls aussagenlogische Junktoren verwendet, die sich aber in wesentlichen Punkten von den üblichen aussagenlogischen Junktoren unterscheiden. Sie werden dort überwiegend als [[logische Operatoren]] bezeichnet.

{{Junktoren der Aussagenlogik}}

== Aussagenverknüpfung ==
In der (formalen) [[Logik]] bezeichnet man eine Aussage, die mit Hilfe von sprachlichen Partikeln wie „und“, „oder“, „wenn–dann“ und „es ist nicht der Fall, dass“ aus anderen Aussagen zusammengesetzt ist, als ''komplexe'' oder ''zusammengesetzte Aussage'', bzw. als ''Aussagenverknüpfung''. Eine Aussage, die ''nicht'' aus anderen Aussagen zusammengesetzt ist, wird [[atomare Aussage]] genannt.

Beispiel: ''Wenn'' Anna Urlaub hat, ''dann'' fährt sie ans Meer.

In der klassischen Aussagenlogik (vgl. [[klassische Logik]]) sind die folgenden Junktoren am gebräuchlichsten (bezogen auf zwei Aussagen <math>P</math> und <math>Q</math>):<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Schurz |Titel=Logik: Grund- und Aufbaukurs in Aussagen- und Prädikatenlogik |Auflage=2 |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2020 |ISBN=978-3-11-069714-8 |Seiten=33}}</ref>

* die [[Negation]] <math>\neg P</math> entspricht einer Verneinung
* die [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] <math>P \land Q</math>, das logische Und: „Sowohl P als auch Q“
* die [[Disjunktion]] <math>P \vee Q</math>, das einschließende Oder: „Entweder P oder Q oder beide“
* die [[Implikation|materiale Implikation]], auch Subjunktion oder Konditional genannt, <math>P \rightarrow Q</math> beziehungsweise <math>P \Rightarrow Q</math>, entspricht der hinreichenden Bedingung „Wenn P, dann Q“
* die [[Kontravalenz]] <math>P \dot{\vee} Q</math> beziehungsweise <math>P \oplus Q</math>, auch Alternation oder ausschließendes Oder genannt: „entweder P oder Q, aber nicht beide“
* das [[Bikonditional]], auch oder Äquivalenz genannt, <math>P \leftrightarrow Q</math> beziehungsweise <math>P \Leftrightarrow Q</math>, entspricht einer hinreichenden und notwendigen Bedingung, „Q genau dann, wenn P“

== Extensionalität ==
Man nennt einen Operator ''[[wahrheitsfunktional]]'' oder ''extensional'', wenn der [[Wahrheitswert]] eines durch ihn gebildeten zusammengesetzten Satzes eindeutig durch die Wahrheitswerte seiner Teilsätze bestimmt ist.<ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Schurz |Titel=Logik: Grund- und Aufbaukurs in Aussagen-
und Prädikatenlogik |Auflage=2 |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2020 |ISBN=978-3-11-069714-8 |Seiten=13}}</ref> Die Junktoren der [[klassische Logik|klassischen Aussagenlogik]] sind in diesem Sinne extensional. Für eine genauere Definition von Extensionalität siehe [[Extensionalitätsprinzip]].

=== Wahrheitstafeln ===
{|class="wikitable float-right" width="25%"
|
{| class="wikitable zebra hintergrundfarbe5" style="margin-left:1em; text-align:center; vertical-align:middle"
|+ Schema: Wahrheitstafel für einen zweistelligen Junktor einer zweiwertigen Logik
|-class="hintergrundfarbe6"
! <math>P</math> || <math>Q</math> ||width="75%"| <math>P\circ Q</math>
|-
| w || w ||<math>WHW(P\circ Q)</math>, für <math>WHW(P)=</math>w und <math>WHW(Q)=</math>w
|-
| w || f ||<math>WHW(P\circ Q)</math>, für <math>WHW(P)=</math>w und <math>WHW(Q)=</math>f
|-
| f || w ||<math>WHW(P\circ Q)</math>, für <math>WHW(P)=</math>f und <math>WHW(Q)=</math>w
|-
| f || f ||<math>WHW(P\circ Q)</math>, für <math>WHW(P)=</math>f und <math>WHW(Q)=</math>f
|}
|-
|„<math>P</math>“ und „<math>Q</math>“ sind zwei beliebige Aussagen, „<math>\circ</math>“ steht für die Verknüpfung als logische Operation, „<math>WHW</math>“ für Wahrheitswert, „w“ für den Wahrheitswert „Das Wahre“, „f“ für den Wahrheitswert „Das Falsche“.
|}

Eine Methode, den Wahrheitswertverlauf extensionaler Junktoren in einer Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten übersichtlich darzustellen, sind die sogenannten [[Wahrheitstafel]]n. Bei diesen wird in jeder Zeile für eine mittels des Junktors aus Einzelaussagen gebildete zusammengesetzte Gesamtaussage für jede mögliche ''Zuordnung'' von Wahrheitswerten zu den Einzelaussagen der Wahrheitswert der Gesamtaussage angegeben. Für einen zweistelligen Junktor einer zweistelligen Logik könnte eine Wahrheitstafel wie in der Tabelle rechts aussehen:

=== Mögliche Junktoren ===
Die Anzahl der Aussagen, die (beziehungsweise mit denen sich) ein Operator zu einer neuen Aussage verknüpft, nennt man seine [[Stelligkeit]]: Ein einstelliger Operator verbindet sich mit einer einzigen Aussage zu einer neuen Aussage, zweistellige Junktoren verbinden sich mit zwei Aussagen zu einer neuen Aussage und so weiter. Allgemein verbindet ein n-stelliger Junktor sich mit n Aussagen zu einer neuen.

Die Stelligkeit ist nicht zu verwechseln mit der Wertigkeit, d. h. mit der Frage, wie viele Wahrheitswerte zugelassen werden (vgl. [[Bivalenzprinzip]]).

In der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] ist der wichtigste einstellige Junktor die [[Negation]]. Wichtige zweistellige Junktoren sind die Konjunktion und die [[Disjunktion]] (oft werden nur diese beiden verwendet). Ebenso lassen sich klassische drei- und mehrstellige Junktoren auf Kombinationen ein- und zweistelliger Junktoren zurückführen.

Allgemein gibt es für eine <math>m</math>-wertige Logik, d. h. für eine Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten, deren Anzahl m ist, <math>m^{m^{n}}</math> <math>n</math>-stellige wahrheitsfunktionale Junktoren. Für die zweiwertige Aussagenlogik gibt es also <math>2^{2^{1}}=4</math> einstellige Junktoren und <math>2^{2^{2}}=16</math> zweistellige Junktoren. Schon für die dreiwertige Aussagenlogik gibt es <math>3^{3^{1}}=27</math> einstellige und <math>3^{3^{2}}=19\,683</math> zweistellige Junktoren.

Die sechzehn zweistelligen Junktoren der zweiwertigen Logik sind in nachfolgender Tabelle dargestellt.

:{| class="wikitable center zebra hintergrundfarbe5" style="margin-left:1em; text-align:center; vertical-align:middle; width:50%"
|+ Tafel der zweistelligen Junktoren einer zweiwertigen Logik
|- class="hintergrundfarbe6"
!width="30%"| Namen !!colspan="4" width="30%"| Wahrheitswerte !! Symbole !! Formel
|-
|
|
{|
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>P</math>
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>Q</math>
|-
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|w
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|w
|}
|
{|
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>P</math>
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>Q</math>
|-
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|w
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|f
|}
|
{|
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>P</math>
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>Q</math>
|-
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|f
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|w
|}
|
{|
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>P</math>
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|<math>Q</math>
|-
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|f
|style="border:none; padding:0px; border-collapse: collapse;"|f
|}
| ||
|-
| [[Kontradiktion]] || f || f || f || f || <math>\bot</math>||<math> P ~ \land ~ \neg P</math>
|-
| [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] || w || f || f || f || <math>\wedge</math> || <math> P ~ \land ~ Q </math>
|-
| Postsektion, Nur P || f || w || f || f || <math>\not\rightarrow</math>, <math>\not\supset</math> || <math> P ~ \land ~ \neg Q</math>
|-
| Präpendenz, Identität von P || w || w || f || f || <math>\rfloor</math> || <math> P </math>
|-
| Präsektion, Nur Q || f || f || w || f || <math>\not\leftarrow</math>, <math>\not\subset</math> || <math> ~ \neg P ~ \land ~ Q </math>
|-
| Postpendenz, [[Identität]] von Q || w || f || w || f || <math>\lfloor</math> || <math> Q </math>
|-
| [[Kontravalenz]], ausschließende Disjunktion, [[XOR]] || f || w || w || f || <math>\not\leftrightarrow</math>, <math>\not\equiv</math>, <math>\veebar</math>, <math>\dot\vee</math>, <math>\oplus</math> || <math> \neg (P ~ \leftrightarrow ~ Q)</math>
|-
| [[Disjunktion]], Adjunktion || w || w || w || f || <math>\vee</math> || <math> P ~ \lor ~ Q </math>
|-
| [[Peirce-Funktion]], NOR, Nihilition, Rejektion || f || f || f || w || <math>\downarrow</math>, <math>\overline\vee</math> || <math> ~ \neg P ~ \land ~ \neg Q</math>
|-
| [[Bikonditional]], [[Bijunktion]], Äquivalenz || w || f || f || w || <math>\leftrightarrow</math>, <math>\equiv</math> || <math> P ~\leftrightarrow ~ Q </math>
|-
| Postnonpendenz, [[Negation]] von Q || f || w || f || w || <math>\lceil</math> || <math>\neg Q</math>
|-
| {{Anker|Replikation_(Logik)}}Replikation || w || w || f || w || <math>\leftarrow</math>, <math>\subset</math> || <math> P ~\leftarrow ~ Q </math>
|-
| Pränonpendenz, [[Negation]] von P || f || f || w || w || <math>\rceil</math> || <math> \neg P</math>
|-
| [[Subjunktion]], [[Implikation#Wahrheitsfunktionale Implikation|Implikation]], Konditional || w || f || w || w || <math>\rightarrow</math>, <math>\supset</math> || <math> P ~\rightarrow ~ Q </math>
|-
| [[Shefferscher Strich|Sheffer-Funktion]], [[NAND-Gatter|NAND]], Exklusion || f || w || w || w ||<math>\mid</math>, <math>\uparrow</math>, <math>\barwedge</math>|| <math> ~ \neg P ~ \lor ~ \neg Q</math>
|-
| [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] || w || w || w || w || <math>\top</math> || <math> P ~ \lor ~ \neg P</math>
|}

Um die enge Verbindung von Aussagenlogik und [[Mengenlehre]] zu betonen, können Wahrheitstafeln auch [[Mengendiagramm#Euler-Diagramme|Eulerdiagramm]]-ähnlich dargestellt werden (siehe folgende Beispiele).
:{| style="float:left; margin-right:2em;"
|-
|style="text-align:right;"| '''w'''
|style="text-align:center;"|<math>\wedge</math>
| '''w'''
|style="text-align:right; padding-left:0.5em;"| w
|style="text-align:center;"|<math>\wedge</math>
| f
|-
|style="text-align:right;"| f
|style="text-align:center;"|<math>\wedge</math>
| w
|style="text-align:right;"| f
|style="text-align:center;"|<math>\wedge</math>
| f
|-

| colspan="6" style="text-align:center;"| Konjunktion
|}

{| style="float:left; margin-right:2em;"
|-
|style="text-align:right;"| '''w'''
|style="text-align:center;"|<math>\vee</math>
| '''w'''
|style="text-align:right; padding-left:0.5em;"| '''w'''
|style="text-align:center;"|<math>\vee</math>
| '''f'''
|-
|style="text-align:right;"| '''f'''
|style="text-align:center;"|<math>\vee</math>
| '''w'''
|style="text-align:right;"| f
|style="text-align:center;"|<math>\vee</math>
| f
|-
| colspan="6" style="text-align:center;"| Disjunktion
|}

{| style="float:left; margin-right:2em;"
|-
|style="text-align:right;"| '''w'''
|style="text-align:center;"|<math>\rightarrow</math>
| '''w'''
|style="text-align:right; padding-left:0.5em;"| w
|style="text-align:center;"|<math>\rightarrow</math>
| f
|-
|style="text-align:right;"| '''f'''
|style="text-align:center;"|<math>\rightarrow</math>
| '''w'''
|style="text-align:right;"|''' f'''
|style="text-align:center;"|<math>\rightarrow</math>
| '''f'''
|-
| colspan="6" style="text-align:center;"| Subjunktion
|}

{| style="float:left;"
|-
|style="text-align:right;"| '''w'''
|style="text-align:center;"|<math>\leftrightarrow</math>
| '''w'''
|style="text-align:right; padding-left:0.5em;"| w
|style="text-align:center;"|<math>\leftrightarrow</math>
| f
|-
|style="text-align:right;"| f
|style="text-align:center;"|<math>\leftrightarrow</math>
| w
|style="text-align:right;"|''' f'''
|style="text-align:center;"|<math>\leftrightarrow</math>
| '''f'''
|-
| colspan="6" style="text-align:center;"| Bikonditional
|}
<div style="clear: both;"></div>
Die Terme in Fettschrift sind wahr, die in Normalschrift falsch.

=== Reduzierbarkeit und funktionale Vollständigkeit ===
Es ist möglich, einzelne Verknüpfungen durch andere auszudrücken; zum Beispiel lässt sich die Konjunktion <math>A \land B</math> durch Disjunktion und Negation als <math>\neg (\neg A \lor \neg B)</math> oder [[Implikation|Konditional]] <math>P \rightarrow Q</math> durch die [[Disjunktion]] <math>\neg P \vee Q</math> ausdrücken. Allgemein heißt eine Menge von Junktoren bezogen auf ein logisches System ''funktional vollständig'' oder ''semantisch vollständig'', wenn mit Hilfe der betroffenen Konnektive alle anderen Konnektive des logischen Systems ausgedrückt werden können. Für die klassische Aussagenlogik sind zum Beispiel die Junktorenmengen <math>\{{\neg},{\land}\}</math>, <math>\{{\neg},{\lor}\}</math> und <math>\{{\neg},{\rightarrow}\}</math> funktional vollständig. Das bedeutet, dass sich alle Junktoren der klassischen Aussagenlogik wahlweise auf Negation und Konjunktion, auf Negation und Disjunktion oder auf Negation und Konditional zurückführen lassen. Häufig verwendete Junktorenmengen sind <math>\{{\neg},{\land},{\lor}\}</math>, <math>\{{\neg},{\land}\}</math>, <math>\{{\neg},{\lor}\}</math>.

Tatsächlich ist es möglich, alle Verknüpfungen allein mit Hilfe ''einer einzigen'' Verknüpfung darzustellen, und zwar mit der Shefferfunktion (NAND), aber auch mit der Peirce-Funktion (NOR).

=== Sheffer-Operatoren ===
Wenn sich mit einem Junktor allein, d. h. ganz ohne Hinzunahme weiterer Junktoren alle anderen Junktoren ausdrücken lassen, dann wird dieser Junktor ''Sheffer-Operator'' oder ''Shefferfunktion'' (nach [[Henry Maurice Sheffer]]) genannt. Für die klassische Aussagenlogik gibt es genau zwei Sheffer-Operatoren: den [[Shefferscher Strich|Shefferstrich]], auch NAND genannt (<math>\uparrow</math> oder <math>\vert</math>) und den [[Peirce-Funktion|Peirce-Operator]], auch NOR genannt <math>\downarrow</math>.

== Intensionale Operatoren ==
Logische Operatoren, bei denen der Wahrheitswert eines aus ihnen gebildeten Satzes nicht eindeutig von den Wahrheitswerten ihrer Teilsätze bestimmt ist, heißen ''intensionale Junktoren''. Intensional sind z. B. die einstelligen Modaloperatoren „es ist notwendig, dass“ und „es ist möglich, dass“ (siehe [[Modallogik]]): Dass eine Aussage wahr ist, bedeutet noch nicht, dass diese Aussage auch notwendig ist. Dass eine Aussage falsch ist, bedeutet noch nicht, dass sie unmöglich ist. Wahrheitsfunktional lässt sich den Modalitäten daher wohl nicht beikommen.

Zur Interpretation intensionaler Junktoren benötigt man komplexere Modelle als die extensionalen Wahrheitstabellen. Die erste bedeutende [[formale Semantik]] intensionaler Junktoren ist wohl die von [[Saul Kripke]] ursprünglich zur Interpretation der Modallogik entwickelte Kripke-Semantik (siehe [[Modallogik]]). Kripke-Semantik eignet sich auch zur Interpretation intuitionistischer Logik.

{{Siehe auch|titel1=Philosophische Logik|Logik#Philosophische_Logiken}}

== Beispiele ==
{| class="wikitable" style="padding:0.5em; width:80%"
|-class="hintergrundfarbe6"
!width="25%"| Wahrheitstafel für die Konjunktion in der zweiwertigen klassischen Logik
!width="25%"| Wahrheitstafel für die [[Disjunktion]] in der zweiwertigen klassischen Logik
!width="25%"| Wahrheitstafel für die materiale [[Implikation]] in der zweiwertigen klassischen Logik
!width="25%"| Wahrheitstafel für den Konjunktor in der dreiwertigen Logik Ł3 von [[Jan Łukasiewicz]] (1920)
|-
|
{| class="wikitable center" style="padding:1em; width:80%; margin-left:10%"
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>P \land Q</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch || falsch
|-
| falsch || wahr || falsch
|-
| falsch || falsch || falsch
|}
|
{| class="wikitable center" style="padding:1em; width:80%; margin-left:10%"
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>P \lor Q</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch || wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}
|
{| class="wikitable center" style="padding:1em; width:80%; margin-left:10%"
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>P \rightarrow Q</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch || falsch
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || wahr
|}
|
{| class="wikitable center" style="padding:1em; width:80%; margin-left:10%"
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>P \land Q</math>
|-
| 1 || 1 || 1
|-
| 1 || ½ || ½
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| ½ || 1 || ½
|-
| ½ || ½ || ½
|-
| ½ || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 0 || ½ || 0
|-
| 0 || 0 || 0
|}
|- class="hintergrundfarbe6"
!width="20%"| Wahrheitstafel für den Konjunktor in der dreiwertigen Logik B3 von [[Dimitri Anatoljewitsch Bočvar]] (1938)
!colspan="3"|In der [[Dialogische Logik|Dialogischen Logik]]
|-
|
{| class="wikitable center" style="padding:1em; width:80%; margin-left:10%"
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>P \land Q</math>
|-
| 1 || 1 || 1
|-
| 1 || ½ || ½
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| ½ || 1 || ½
|-
| ½ || ½ || ½
|-
| ½ || 0 || ½
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 0 || ½ || ½
|-
| 0 || 0 || 0
|}
|colspan="3"|
{| class="wikitable center" style="padding:1em; width:80%; margin-left:10%"
!width="20%"| Opponent ||width="20%"| Proponent||
|-
| || <math>P \rightarrow Q</math>
|-
| <math>P?</math> || ||Die Subjunktionsbehauptung wird angegriffen nach der Subjunktionsregel: Die voranstehende <math>P</math> wird behauptet.
|-
| || <math>Q</math> ||Als Verteidigung wird das nachstehende <math>Q</math> genannt, dies kann durch eine Übernahme des <math>P</math> der vorigen Zeile verteidigt werden. Es kann – je nach Regelsatz – auch erst die Aussage <math>P</math> angegriffen werden.
|}
|}

== Literatur ==
* [[Benjamin Schnieder]]: ''Junktoren'', in: Nikola Kompa (Hrsg.): ''Handbuch Sprachphilosophie''. Metzler, Stuttgart 2015, ISBN 978-3-476-02509-8, S. 166–173.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Junktor}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Aussagenlogik]]
[[Kategorie:Sprachphilosophie]]

Junktor - Versionsgeschichte

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