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2025-01-17T04:52:51Z

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Mithilfe der '''Jordan-Wigner-Transformation''' können verschiedene eindimensionale [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Systeme aufeinander abgebildet werden. Genauer gesagt ist es möglich mit der Transformation eindimensionale [[Spin]]-1/2-Ketten auf [[Fermion]]en auf einer Kette abzubilden.

Die Jordan-Wigner-Transformation bildet die [[Drehimpulsoperator#Spinoperator|Spin-1/2-Operatoren]] und ihre Algebra (Algebra der [[Pauli-Matrix|Pauli-Matrizen]]) auf [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator]]en für Fermionen und deren Algebra ab. Mithilfe der Transformation kann die Äquivalenz zwischen dem [[Heisenbergmodell#1D-Heisenbergmodell|eindimensionalen Heisenbergmodell]] und Fermionen auf einem eindimensionalen Gitter mit nächster Nachbarwechselwirkung gezeigt werden.

Die Transformation wurde 1928 von [[Pascual Jordan]] und [[Eugene Wigner]] in der ''Zeitschrift für Physik'' veröffentlicht<ref>P. Jordan and E. Wigner, ''Über das Paulische Äquivalenzverbot'', Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631–651, {{DOI|10.1007/BF01331938}}.</ref>. 1961 benutzten [[Elliott Lieb]], T. Schultz, D. Mattis die Transformation bei der Einführung ihres exakt lösbaren eindimensionalen Spin-1/2-xy-Modells.<ref>Lieb, Schultz, Mattis, Annals of Physics, Band 16, 1961, S. 407</ref>

Die Jordan-Wigner-Transformation wurde auch auf zweidimensionale Spin-Systeme angewandt<ref>Oleg Derzho, Jordan-Wigner fermionization for spin-1/2 systems in two dimensions: A brief review, Journal of Physical Studies, Band 5, 2001, S. 49–64, [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0101188 Arxiv]</ref> und auf dreidimensionale Systeme. Die Anwendung auf zweidimensionale Systeme wurde als einer der Ersten von [[Eduardo Fradkin]] 1989 diskutiert.

[[Elliott Lieb]], T. Schultz, [[Daniel Mattis]] wandten die Transformation 1964 auf die Transfermatrix im zweidimensionalen [[Isingmodell]] an und leiteten damit die zuvor von [[Lars Onsager]] gefundene exakte Lösung ab.<ref>Lieb, Schultz, Mattis, Review of Modern Physics, Band 36, 1964, S. 856</ref>

== Grundlegende Idee ==
Betrachtet man [[Drehimpulsoperator#Spinoperator|Spin-1/2-Operatoren]] am Platz <math>j</math>, so findet man, dass diese den grundlegenden [[Fockraum|kanonischen (Anti-)Vertauschungsrelationen]] (Anti-Kommutatorrelationen) für Fermionen gehorchen:

:<math>\{S^+_j,S^-_j\}=1, \qquad \{S^+_j,S^+_j\}=0=\{S^-_j,S^-_j\},</math>

wobei <math>\{A,B\} = AB+BA</math>. Die Idee ist daher, die Spin-1/2-Operatoren als fermionische Operatoren zu betrachten. Allerdings erfüllen die Spin-1/2-Operatoren keine Anti-Kommutatorrelationen, sondern Kommutatorrelationen auf verschiedenen Gitterplätzen <math>j</math> und <math>k</math>:

:<math>[S^+_j,S^-_k]=0=[S^+_j,S^+_k]=[S^-_j,S^-_k],</math>

wobei <math>[A,B] = AB-BA</math>.

Jordan und Wigner haben erkannt, dass dies jedoch mit der Einführung eines Phasenoperators vor den Spin-1/2-Operatoren behoben werden kann. Es wird eine Wegorientierung definiert mit einem Phasenfaktor, der abhängig von der Anzahl der Up-Spins vor dem betrachteten Spin ist.

:<math>c_j=e^{i\phi_j}S^-_j \qquad \text{mit} \quad \phi_j=\pi \sum_{k<j}S^+_kS^-_k</math>

Ist an der Stelle <math>j</math> ein Up-Spin, wird ein Phasenfaktor (−1) „aufgepickt“, bei einem Down-Spin passiert nichts (Phasenfaktor 1):

<math>e^{i\pi S^+_jS^-_j}=e^{i\pi n_j}=1-2n_j \qquad \text{mit} \quad n_j=S^+_jS^-_j</math>

Die so definierten fermionischen Operatoren erfüllen die Anti-Kommutatorrelationen auf verschiedenen Plätzen <math>j</math> und <math>k</math>:

:<math>\{c_j,c^\dagger_k\}=\delta_{jk}, \qquad \{c^\dagger_j,c^\dagger_k\}=0=\{c_j,c_k\}</math>

Besonders hilfreich sind folgende Zusammenhänge für die Abbildung zwischen verschiedenen Modellen:

:<math>
S^+_jS^-_{j+1}=\pm c^\dagger_j c_{j+1}
</math>
:<math>
S_z=S^+_jS^-_j-\frac{1}{2}=c^\dagger_jc_j-\frac{1}{2}
</math>

== Anwendungen ==
=== 1D-Heisenberg-Modell ===
Zur Veranschaulichung der Jordan-Wigner-Transformation wird sie auf das [[Heisenbergmodell#1D-Heisenbergmodell|eindimensionale Heisenberg-Modell]] angewandt. Die nötigen Produkte der verschiedenen Operatoren sind bereits im vorherigen Abschnitt aufgelistet. Der Hamiltonian <math>H_{\text{Heis}}</math> des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

:<math>
\begin{align}
H_{\text{Heis}}&=-J\sum^N_{n=1}\vec{S}_n\cdot \vec{S}_{n+1}=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})+S^z_nS^z_{n+1} \right] \\
&= -J\sum^N_{i=1}\left[ \frac{1}{2} \left(c^\dagger_i c_{i+1} +\text{h.c}\right)+ \left( ( c^\dagger_i c_i - \frac{1}{2})(c^\dagger_{i+1} c_{i+1} - \frac{1}{2} )\right) \right]\\
&= H_0 + H_J
\end{align}
</math>

Die Transformation zeigt also die Äquivalenz des 1D-Heisenberg Modells mit spinlosen Fermionen auf dem Gitter mit periodischen Randbedingungen und lediglich nächster Nachbarwechselwirkung. Der erste Term <math>H_0</math> beschreibt wechselwirkungsfreie Fermionen und der zweite Term <math>H_J</math> ist der Wechselwirkungsterm mit einer Wechselwirkung <math>U=-J</math> gegeben über die [[Kopplungskonstante]] des Heisenbergmodells.

=== 1D-XY-Modell ===
Ein weiteres Beispiel ist das eindimensionale [[XY-Modell]] als Spezialfall des 1D-Heisenberg-Modells. Der Hamiltonian <math>H_{\text{Heis}}</math> des XY-Modells kann geschrieben werden als:

:<math>
\begin{align}
H_{\text{XY}}&=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})\right] \\
&= -J\sum^N_{i=1} \frac{1}{2} \left(c^\dagger_i c_{i+1} + c^\dagger_{i+1} c_{i} \right) = H_0
\end{align}
</math>

Die Jordan-Wigner Transformation bildet das Spin-System also auf wechselwirkungsfreie spinlose Fermionen ab. Für dieses System kann man die [[Zustandssumme]] exakt angeben.

=== Quanteninformationstheorie ===
Die Transformation wurde in der [[Quanteninformatik|Quanteninformationstheorie]] benutzt, um ein System wechselwirkender [[Qubit]]s auf ein äquivalentes System wechselwirkender Fermionen abzubilden und umgekehrt.<ref>[[Michael Nielsen]], The fermionic canonical commutation relations and the Jordan-Wigner transform, 2005 [http://michaelnielsen.org/blog/complete-notes-on-fermions-and-the-jordan-wigner-transform/ Online] als ''Complete notes on fermions and the Jordan-Wigner transform.'' </ref> Außerdem konnte damit durch [[Raymond Laflamme]] und Kollegen<ref>R. Somma, G. Ortiz, J. E. Gubernatis, E. Knill, R. Laflamme, ''Simulating physical phenomena by quantum networks'', Physical Review A, Band 65, 2002, S. 042323, [https://arxiv.org/abs/quant-ph/0108146 Arxiv]</ref> das Problem der Simulation fermionischer quantenmechanischer Systeme in Quantencomputern gelöst werden, ein Problem das in der Pionierarbeit von [[Richard Feynman]] von 1982<ref>Richard Feynman, Simulating physics with computers, Int. J. Theor. Phys., Band 21, 1982, S. 467–488</ref> noch offen war.

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Transformation]]

Jordan-Wigner-Transformation - Versionsgeschichte

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