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2026-04-28T09:10:35Z

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Das '''Jordan-Maß''', auch '''Jordan-Inhalt''' genannt,<ref>{{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Lehrbuch der Analysis |TitelErg=Band 2 |Auflage=14 |Verlag=Vieweg Teubner |Datum=2008 |ISBN=978-3-8351-0208-8}} Kapitel XXIII.</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]] |Titel=Analysis 2 |Auflage=5 |Verlag=Springer Nature |Datum=2002 |DOI=10.1007/978-3-642-55922-8}} § 7.</ref> ist ein mathematischer Begriff aus der [[Maßtheorie]]. Dieser geht auf [[Marie Ennemond Camille Jordan]] zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von [[Giuseppe Peano]] entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man gewissen [[Beschränkte Menge#Metrische Räume|beschränkten]] Teilmengen des <math>\R^n</math> einen Inhalt zuordnen, der für die Dimension <math>n = 1,2</math> bzw. <math>3</math> auch als Länge, [[Flächeninhalt]] bzw. [[Volumen]] aufgefasst werden kann. Das Jordan-Maß hängt eng mit dem [[Riemann-Integral#Mehrdimensionales riemannsches Integral|riemannschen Integralbegriff im <math>\R^n</math>]] zusammen.

== Definition ==
[[Bild:Jordan illustration.png|right|mini|Eine Menge <math>A\subset \R^2</math> (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus <math>\mathcal J^2</math> angenähert.]]
Es bezeichne für <math>a = (a_1, \ldots , a_n), b = (b_1, \ldots , b_n) \in \R^n</math>
:<math>[a,b[ \;:= \prod_{i=1}^n\; [a_i, b_i[</math>
das halboffene <math>n</math>-dimensionale [[Hyperrechteck]] und
:<math> J^n := \{ [a,b[ : a,b \in \R^n \}</math>
die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Zur Definition können alternativ auch halboffene Intervalle der Form <math>]a,b]</math> verwendet werden.
Weiter sei
:<math> \mathcal{J}^n := \left\{ \bigcup_{k=1}^m I_k: I_1, \ldots , I_m \in J^n,\ \text{paarweise disjunkt}\right\}</math>
die Menge aller endlichen Vereinigungen von [[paarweise disjunkt]]en Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter <math>\mu^n</math> den Inhalt, der für alle <math>a, b \in \R^n</math> mit <math>a_i \leq b_i</math> für alle <math>i = 1,\dots,n</math> durch
:<math>\mu^n\left([a,b[\right) = \prod_{j=1}^n(b_j - a_j)</math>
und <math> \mu^n (\emptyset) := 0</math> definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei
:<math> \underline{i^n}(A):= \sup\{\mu^n(M) : M \in \mathcal{J}^n, M \subset A\},</math>
ihr äußerer Inhalt sei
:<math>\overline{i^n}(A):=\inf\{\mu^n(N): N \in \mathcal{J}^n, N \supset A\}.</math>

Eine Menge <math>A \subset \R^n</math> heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn <math>A</math> beschränkt ist und <math>\overline{i^n}(A) = \underline{i^n}(A) </math>.

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge <math>A</math> ist durch <math>i^n(A):=\overline{i^n}(A) = \underline{i^n}(A) </math> gegeben.

Gilt <math>\overline{i^n}(A)=0</math> für ein beschränktes <math>A\subset \R^n</math>, so ist <math>A</math> Jordan-messbar und wird Jordan-[[Nullmenge]] genannt.

== Eigenschaften ==
# Das Jordan-Maß ist ein [[Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt]] und auch [[σ-Additivität|<math>\sigma</math>-additiv]] (da das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge gleich seinem Lebesgue-Maß ist und letzteres <math>\sigma</math>-additiv ist). Aber abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendigerweise Jordan-messbar sein (siehe auch Beispiel 2). Daher ist die Menge der Jordan-messbaren Mengen keine [[σ-Algebra]] und das Jordan-Maß im Sinne der [[Maßtheorie]] nur ein [[Prämaß]] (kein Maß).
# Ist <math>A \subset \R^n</math> Jordan-messbar, so ist <math>A</math> auch [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbar]], und es gilt <math>\lambda^n(A) = i^n(A)</math>. Dabei bezeichnet <math>\lambda^n(A)</math> das [[Lebesgue-Maß]] von <math>A</math>.
# Eine Menge <math>A \subset \R^n</math> ist genau dann Jordan-messbar, wenn <math>A</math> beschränkt ist und der Rand von <math>A</math> eine Jordan-Nullmenge ist.
# Eine beschränkte Menge <math>A \subset \R^n</math> ist genau dann Jordan-messbar, wenn <math>\lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A})</math> ist. Dann gilt auch <math>i^n(A) = \lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A})</math>.
# Eine kompakte Menge <math>A \subset \R^n</math> ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn <math>A</math> eine Jordan-Nullmenge ist.

== Beispiele ==
# Der [[Einheitskreis]] im <math>\R^n</math> ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
# Die Menge <math>A=[0,1]\cap \Q</math> ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge <math>A \supset M \in \mathcal{J}^1</math> gilt <math>M = \emptyset</math> und für jede Menge <math>A \subset N \in \mathcal{J}^1</math> gilt <math>[0,1] \subset N,</math> woraus <math>0 = \underline{i^1}(A) < \overline{i^1}(A) = 1</math> folgt. Für jedes <math>q\in A</math> gilt <math>\lambda^1(\{q\})=i^1(\{q\})=0</math>. Aufgrund der <math>\sigma</math>-Additivität des Lebesgue-Maßes gilt <math>\textstyle \lambda^1(A) = \sum_{q\in A}\lambda^1(\{q\})=\sum_{q\in A}0=0</math>. <math>A</math> ist also Lebesgue-Nullmenge. <math>A</math> lässt sich als abzählbare Vereinigung der rationalen Zahlen <math>q</math> in <math>[0,1]</math> darstellen, wobei jede der Mengen <math>\{q\}</math> Jordan-messbar ist. Da <math>A</math> nicht Jordan-messbar ist, folgt, dass die Jordan-messbaren Mengen keine [[σ-Algebra]] bilden. Damit zeigt das Beispiel, dass das Jordan-Maß (auf den Jordan-messbaren-Mengen) kein Maß ist.

== Literatur ==
* [[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]: ''Analysis'' (= ''Grundwissen Mathematik'' 4). 2. Band. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-54566-2, S. 224–226.

== Weblinks ==
* [http://www.jkrieger.de/mathe/analysis/node66.html Jordaninhalt und quadrierbare Mengen]
* [http://mitschriebwiki.nomeata.de/Ana2.pdf.17.pdf Quadrierbare Mengen im MitschriebWiki] (PDF; 389 kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Jordan-Maß - Versionsgeschichte

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