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Das '''Jones-Polynom''' ist eine der wichtigsten [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]] von [[Knotentheorie|Knoten]] und [[Verschlingung]]en, die in der [[Knotentheorie]], einem Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], untersucht wird. Es ist ein [[Laurent-Polynom]] in <math>\sqrt{t}</math>.

Es wurde 1984 von [[Vaughan F. R. Jones]] entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die [[Fields-Medaille]] erhielt.

== Definition durch Kauffman-Klammer ==

Sei <math>L</math> eine Verschlingung. Das [[Kauffman-Klammer|Kauffman-Klammerpolynom]] <math>\langle L \rangle </math> ist ein zu einem Diagramm von <math>L</math> assoziiertes [[Laurent-Polynom]] in <math>A</math>. Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel
<math>X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle </math>, wobei <math>w(L)</math> die [[Verwringung]] von <math>L</math> bezeichnet. <math>X(L)</math> ist invariant unter [[Reidemeister-Bewegungen]] und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom <math>V(L)</math> erhält man, indem man <math> A = t^{-1/4} </math> in <math>X(L)</math> substituiert.

== Definition durch Zopfgruppendarstellungen ==

Sei <math>L</math> eine Verschlingung. Nach einem Satz von [[James Alexander (Mathematiker)|Alexander]] ist <math>L</math> der Abschluss eines Zopfes mit <math>n</math> Komponenten.
Eine Darstellung <math>\rho</math> der [[Zopfgruppe]] <math>B_n</math> in die [[Temperley–Lieb-Algebra]] <math>TL_n</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb Z [A, A^{-1}]</math> und <math>\delta = -A^2 - A^{-2}</math> wird definiert, indem man den Erzeuger <math>\sigma_i</math> auf <math>A\cdot e_i + A^{-1}\cdot 1</math> abbildet, wobei <math>1, e_1, \dots, e_{n-1}</math> die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei <math>\sigma</math> der zu <math>L</math> assoziierte Zopf. Berechne <math>\delta^{n-1} \operatorname{tr} \rho(\sigma)</math>, wobei <math>\operatorname{tr}</math> die [[Markov-Spur]] ist. Das gibt das Klammerpolynom <math>\langle L \rangle</math>, aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

== Definition durch Skein-Relationen ==

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende ''Skein-Relation'' erfüllt:

:<math> (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}) \,,</math>

wobei <math>L_{+}</math>, <math>L_{-}</math> und <math>L_{0}</math> orientierte [[Linkdiagramm]]e sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

[[Datei:Skein (HOMFLY).svg|zentriert|200px|Skein-Relationen]]

== Definition durch Chern-Simons-Theorie ==

Das Jones-Polynom kann nach [[Edward Witten]] mit einer [[Topologische Quantenfeldtheorie|topologischen Quantenfeldtheorie]], der [[Chern-Simons-Funktional|Chern-Simons-Theorie]], definiert werden.<ref>Witten, op.cit.</ref>

== Anwendungen ==

[[Louis H. Kauffman|Kauffman]], [[Kunio Murasugi|Murasugi]] und [[Morwen Thistlethwaite|Thistlethwaite]] benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden [[Tait-Vermutung]]en zu beweisen: Für einen [[Alternierendes Knotendiagramm|alternierenden Knoten]] hat jedes [[Alternierendes Knotendiagramm#Kreuzungszahl|reduzierte Diagramm]] die kleinstmögliche [[Kreuzungszahl (Knotentheorie)|Kreuzungszahl]].

== Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom ==

Es ist eine offene Frage, ob der [[Trivialer Knoten|Unknoten]] der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben [[Mutation (Knotentheorie)|Mutationen]] eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

== Spezielle Werte ==
* Für einen Knoten ist <math>V(1)=1</math>, für eine Verschlingung mit <math>l\ge 2</math> Komponenten ist <math>V(1)=\frac{1}{2^{l-1}}</math>.
* Falls die [[Arf-Invariante]] definiert ist, ist <math>V(i)=(-\sqrt{2})^{l-1}(-1)^{Arf(L)}</math>.
* <math>V(e^{\frac{2\pi i}{3}})=1</math>.
* Die Werte in [[Einheitswurzel]]n sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

== Siehe auch ==

* [[Alexander-Polynom]]
* [[HOMFLY-Polynom]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Vaughan F. R. Jones
|Hrsg=Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore
|Titel=A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras
|Sammelwerk=Bulletin of the American Mathematical Society (New Series)
|Band=Vol. 12
|Nummer=1
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence RI
|Datum=1985
|ISSN=0273-0979
|Seiten=103–111
|Online=[https://www.ams.org/journals/bull/1985-12-01/S0273-0979-1985-15304-2/S0273-0979-1985-15304-2.pdf ams.org]
|Format=PDF
|KBytes=
|Abruf=2012-12-02
|DOI=10.1090/S0273-0979-1985-15304-2}}
* {{Literatur
|Autor=Louis H. Kauffman
|Titel=State models and the Jones polynomial
|Sammelwerk=Topology
|Band=Vol. 26
|Nummer=3
|Verlag=Elsevier
|Ort=Amsterdam
|Datum=1987
|ISSN=0040-9383
|Seiten=395–407
|Online=[http://knot.kaist.ac.kr/seminar/archive/24/24.pdf knot.kaist.ac.kr]
|Format=PDF
|KBytes=
|Abruf=2012-12-02
|DOI=10.1016/0040-9383(87)90009-7}}
* Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: ''On the Jones polynomial''. In: ''Enseign. Math.'' (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
* {{Literatur
|Autor=W. B. Raymond Lickorish
|Titel=An introduction to knot theory
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=175
|Verlag=Springer
|Ort=New York
|Datum=1997
|ISBN=0-387-98254-X}}

== Weblinks ==
* [[Edward Witten]]: [http://arxiv.org/pdf/1401.6996.pdf ''Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology''.] (PDF; 619 kB)
* Alan Chang: [http://www.math.uchicago.edu/~ac/alan_chang_junior_paper_spring2013.pdf ''On the Jones polynomial and its applications''.]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Knoteninvariante]]
[[Kategorie:Polynom]]

Jones-Polynom - Versionsgeschichte

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