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2024-10-20T10:48:13Z

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Der '''Jonckheere-Terpstra-Test''' ist ein [[Parameterfreie Statistik|parameterfreier]] [[statistischer Test]], mit dem ähnlich
wie beim [[Kruskal-Wallis-Test]] im Rahmen einer [[Varianzanalyse]] verglichen wird, ob sich verschiedene [[unabhängige Stichprobe]]n (Gruppen) hinsichtlich einer [[Ordinalskala|ordinalskalierten]] [[Statistische Variable|Variable]] unterscheiden.
Der Unterschied zum [[Kruskal-Wallis-Test]] ist, dass hier auf das Vorliegen eines Trends zwischen den Gruppen getestet wird.

Die [[Nullhypothese]] H<sub>0</sub> lautet, dass alle Stichprobenwerte aus Grundgesamtheiten <math>G_i</math> mit identischer Verteilung gezogen wurden:
<math>G_1 = G_2 = \dots = G_c</math>

Als [[Alternativhypothese]] H<sub>A</sub> gilt: <math>G_1 \leq G_2 \leq \dots \leq G_c</math>, wobei mindestens eine strikte
[[Ungleichung]] gilt.

== Berechnung ==
Die Teststatistik <math>J</math> lautet für eine Anzahl <math>c</math> von Gruppen <math>G_i</math> mit jeweils <math>n_i</math> Messungen:

: <math>J = \sum_{i<j}^c U_{ij} = \sum_{i=1}^{c-1} \sum_{j=i+1}^{c}U_{ij} </math>

Dabei ist <math>U_{ij}</math> definiert als

: <math>U_{ij} = \sum_{s=1}^{n_i} \sum_{t=1}^{n_j}\Psi (X_{jt} - X_{is})</math>

mit

: <math>\Psi (u) = \begin{cases}
1 & \text{wenn } u > 0 \\
0 & \text{wenn } u \leq 0
\end{cases}\ </math> oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten) <math>\ \Psi (u) = \begin{cases}
1 & \text{wenn } u > 0 \\
1/2 & \text{wenn } u = 0 \\
0 & \text{wenn } u < 0
\end{cases}</math>

Die berechnete Prüfgröße <math>J</math> wird größer, wenn ein Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen ist die Prüfgröße <math>J</math> näherungsweise [[Normalverteilung|normalverteilt]].
Für den Erwartungswert <math>\mu _J</math> und die Varianz <math>\sigma _J</math> gelten folgende Formeln:

: <math>\mu _J = \frac{N^2 - \sum_{i=1}^{c}n_i^2}{4}\ </math>

und

: <math>\ \sigma _J = \sqrt{\frac{N^2(2N + 3) - \sum_{i=1}^{c}n_i^2(2n_i+3)}{72}}</math>

Die daraus durch Standardisierung erhaltene Variable <math>Z</math> ist näherungsweise standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl <math>N</math> aller Stichprobenwerte größer als 12 ist:

: <math>Z = \frac{J - \mu _J}{\sigma _J}</math>

Oder anders ausgedrückt: Bei einem [[Einseitiger Test|einseitigen Test]] auf 5 % Niveau ([[Fehler 1. Art]]) ist der Test [[Statistische Signifikanz|signifikant]], wenn

: <math>J > \mu _J + 1{,}645\,\sigma _J</math>.

== Verallgemeinerung ==
Es lassen sich neben einem monotonen Trend auch Modelle bearbeiten, bei denen ein anfänglicher Aufwärtstrend an einem
bestimmten Punkt in einen Abwärtstrend übergeht.
Dieses ist dann die Verallgemeinerung des Jonckheere-Terpsta-Tests, der
[[Umbrella-Test]] nach Mack und Wolfe.<ref>{{Literatur |Autor=D. A. Wolfe, H. B. Mack |Titel=K-sample rank tests for umbrella alternatives |Sammelwerk=J. Amer. Statist. Ass. |Band=76 |Datum=1981 |Seiten=175-181 |DOI=10.1080/01621459.1981.10477625 |JSTOR=2287064}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=A. R. Jonckheere
|Titel=A distribution-free k-sample test against ordered alternatives
|Sammelwerk=Biometrica
|Band=41
|Datum=1954
|Seiten=133-145
|DOI=10.1093/biomet/41.1-2.133
|JSTOR=2333011}}
* {{Literatur
|Autor=A. R. Jonckheere
|Titel=A test of significance for the relation between ''m'' rankings and ''k'' ranked categories
|Sammelwerk=British Journal of Statistical Psychology
|Band=7
|Datum=1954
|Seiten=93-100
|DOI=10.1111/j.2044-8317.1954.tb00148.x}}
* {{Literatur
|Autor=T. J. Terpstra
|Titel=The asymptotic normality and consistency of Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking
|Sammelwerk=Indagationes Mathematicae
|Band=14
|Datum=1952
|Seiten=327-333}}
* {{Literatur
|Autor=W. J. Conover
|Titel=Practical Nonparametric Statistics
|Auflage=3
|Verlag=John Wiley & Sons
|Ort=New York
|Datum=1999
|ISBN=0-471-16068-7
|Seiten=5.4}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]

Jonckheere-Terpstra-Test - Versionsgeschichte

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